Kontroverse um Cantors Theorie

Im Mathematische Logikdie Theorie von Unendliche Sets wurde zuerst von entwickelt von Georg Cantor. Obwohl diese Arbeit zu einer durch und durch klassischen Standardeinrichtung geworden ist MengenlehreEs wurde in mehreren Bereichen von Mathematikern und Philosophen kritisiert.

Cantors Theorem impliziert, dass es Sets gibt Kardinalität größer als die unendliche Kardinalität des Satzes von natürliche Zahlen. Cantors Argument für diesen Satz wird mit einer kleinen Veränderung präsentiert. Dieses Argument kann durch die Verwendung einer Definition, die er später angegeben hat, verbessert werden. Das resultierende Argument verwendet nur fünf Axiome der festgelegten Theorie.

Cantors Set -Theorie war zu Beginn umstritten, wurde aber später weitgehend akzeptiert. Insbesondere die meisten modernen mathematischen Lehrbücher verwenden implizit Cantors Ansichten auf Mathematische Unendlichkeitsogar auf der Bildungsebene. Zum Beispiel a Linie wird im Allgemeinen als unendlicher Satz seiner Punkte dargestellt, und es wird allgemein gelehrt, dass es mehr reelle Zahlen als rationale Zahlen gibt (siehe Kardinalität des Kontinuums).

Kantors Argument

Cantors erster Beweis Diese unendlichen Sets können unterschiedlich sein Kardinalitäten wurde 1874 veröffentlicht. Dieser Beweis zeigt, dass der Satz natürlicher Zahlen und der Satz von reale Nummern unterschiedliche Kardinalitäten haben. Es verwendet den Satz, dass ein begrenzter Anstieg Reihenfolge realer Zahlen hat a Grenze, was durch die Verwendung von Cantors oder nachgewiesen werden kann Richard DedekindKonstruktion der irrationale Zahlen. Da Leopold Kronecker Cantor war diese Konstruktionen nicht akzeptiert, und war motiviert, einen neuen Beweis zu entwickeln.[1]

1891 veröffentlichte er "einen viel einfacheren Beweis ... der nicht davon abhängt, die irrationalen Zahlen zu berücksichtigen."[2] Sein neuer Beweis verwendet seine diagonales Argument um zu beweisen, dass es einen unendlichen Set mit einer größeren Anzahl von Elementen (oder größerer Kardinalität) gibt als die natürliche Anzahl von natürlichen Zahlen N= {1, 2, 3, ...}. Dieser größere Satz besteht aus den Elementen (x1Anwesendx2Anwesendx3, ...), wo jeder xn entweder m oder w.[3] Jedes dieser Elemente entspricht a Teilmenge von N- nämlich das Element (x1Anwesendx2Anwesendx3, ...) entspricht {nN:xn=w}. Das Argument von Cantor impliziert also, dass die Menge aller Teilmengen von N hat größere Kardinalität als N. Die Menge aller Teilmengen von N wird bezeichnet durch P(N), das Leistungssatz von N.

Cantor verallgemeinert sein Argument auf ein willkürliches Set A und der Satz, der aus allen Funktionen besteht A zu {0, 1}.[4] Jede dieser Funktionen entspricht einer Teilmenge von ASein verallgemeinertes Argument impliziert den Satz: die Machtmenge P(A) hat eine größere Kardinalität als A. Dies ist bekannt als als Cantors Theorem.

Das unten stehende Argument ist eine moderne Version von Cantors Argument, die Machtsätze verwendet (für sein ursprüngliches Argument siehe Cantors diagonales Argument). Durch die Präsentation eines modernen Arguments ist es möglich zu sehen, welche Annahmen von Axiomatische Set -Theorie werden verwendet. Der erste Teil des Arguments beweist das N und P(N) haben unterschiedliche Kardinalitäten:

  • Es gibt mindestens ein unendliches Set. Diese Annahme (nicht formell von Cantor festgelegt) wird in der formalen festgelegten Theorie von der erfasst Axiom der Unendlichkeit. Dieses Axiom impliziert das N, die Menge aller natürlichen Zahlen, existiert.
  • P(N), die Menge aller Teilmengen von N, existiert. In der formalen festgelegten Theorie wird dies durch die impliziert Leistungssatz Axiom, was besagt, dass es für jeden Set eine Reihe aller Teilmengen gibt.
  • Das Konzept, "die gleiche Zahl zu haben" oder "die gleiche Kardinalität haben" kann durch die Idee von erfasst werden Eins-zu-eins-Korrespondenz. Diese (rein definierte) Annahme wird manchmal als bekannt als Humes Prinzip. Wie Frege sagte: "Wenn ein Kellner sicher sein möchte, genau so viele Messer auf einem Tisch wie Teller zu legen, muss er keine von ihnen zählen. Alles, was er tun muss, ist sofort rechts von jedem Teller mit einem Messer zu liegen. Achten Sie darauf, dass jedes Messer auf dem Tisch sofort rechts von einer Platte liegt. Teller und Messer sind somit eins zu eins. "[5] Sätze in einer solchen Korrelation werden genannt äquinumischund die Korrelation wird als Eins-zu-Eins-Korrespondenz bezeichnet.
  • Ein Satz kann nicht mit seinem Leistungssatz in eins zu eins Korrespondenz gebracht werden. Dies impliziert das N und P(N) haben unterschiedliche Kardinalitäten. Es hängt von sehr wenigen Annahmen ab Mengenlehre, und wie John P. Mayberry Setzt es aus, ist ein "einfaches und schönes Argument", das "mit Konsequenzen schwanger" ist.[6] Hier ist das Argument:
    Lassen ein Set sein und Sei sein Leistungssatz. Der folgende Satz wird nachgewiesen: wenn ist eine Funktion von zu dann ist es nicht auf zu. Dieser Satz impliziert, dass es keine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen gibt und Da eine solche Korrespondenz auf sein muss. Beweis des Satzes: Definieren Sie die diagonale Untergruppe Seit das für alle beweisen wird das implizieren ist nicht auf. Lassen Dann was impliziert Also wenn dann und wenn dann Da eine dieser Sets enthält und der andere nicht, Deswegen, ist nicht in der Bild von , Also ist nicht auf.

Nächster Cantor zeigt das ist äquinumisch mit einer Teilmenge von . Von diesem und der Tatsache, dass und unterschiedliche Kardinalitäten haben, kommt er zu dem Schluss, dass hat größere Kardinalität als . Diese Schlussfolgerung verwendet seine Definition von 1878: wenn A und B haben unterschiedliche Kardinalitäten, dann entweder B ist äquinumisch mit einer Teilmenge von A (in diesem Fall, B hat weniger Kardinalität als A) oder A ist äquinumisch mit einer Teilmenge von B (in diesem Fall, B hat größere Kardinalität als A).[7] Diese Definition lässt den Fall, wo A und B sind äquinumisch mit einer Teilmenge des anderen Satzes - das heißt, A ist äquinumisch mit einer Teilmenge von B und B ist äquinumisch mit einer Teilmenge von A. Weil Cantor implizit angenommen hat, dass Kardinalitäten sind linear bestelltDieser Fall kann nicht auftreten.[8] Nach seiner Definition von 1878 erklärte Cantor, dass er in einem Artikel von 1883 bewiesen hat, dass Kardinalitäten sind geordnet, was impliziert, dass sie linear geordnet sind.[9] Dieser Beweis verwendete sein gutes Prinzip "Jedes Set kann gut geordnet werden", das er als "Denkrecht" bezeichnete.[10] Das ordnungsgemäße Prinzip entspricht dem Axiom der Wahl.[11]

Um 1895 begann Cantor, das gut ordnungsgezogene Prinzip als Theorem zu betrachten, und versuchte, es zu beweisen.[12] Im Jahr 1895 gab Cantor auch eine neue Definition von "größer als", die dieses Konzept ohne Hilfe seines gut ordnungsgemäßen Prinzips korrekt definiert.[13] Durch die Verwendung der neuen Definition von Cantor das moderne Argument, das P(N) hat eine größere Kardinalität als N kann mit schwächeren Annahmen abgeschlossen werden als sein ursprüngliches Argument:

  • Das Konzept von "größerer Kardinalität" kann durch die Definition von Cantor von 1895 erfasst werden: B hat größere Kardinalität als A Wenn (1) A ist äquinumisch mit einer Teilmenge von B, und 2) B ist mit einer Teilmenge von nicht gleichwertig A.[13] Klausel (1) sagt B ist mindestens so groß wie A, was mit unserer Definition von "die gleiche Kardinalität" übereinstimmt. Klausel (2) impliziert, dass der Fall wo A und B sind äquinumisch mit einer Teilmenge des anderen Satzes ist falsch. Da sagt Klausel (2) das A ist nicht mindestens so groß wie B, die beiden Klauseln zusammen sagen das B ist größer (hat größere Kardinalität) als A.
  • Das Leistungssatz hat größere Kardinalität als das impliziert das P(N) hat eine größere Kardinalität als N. Hier ist der Beweis:
    1. Definieren Sie die Teilmenge Definieren welche Karten auf zu Seit impliziert ist eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz von zu Deswegen, ist äquinumisch mit einer Teilmenge von
    2. Verwendung Beweis durch Widerspruch, annehmen, dass eine Teilmenge von ist äquinumisch mit . Dann gibt es eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz aus zu Definieren aus zu wenn dann wenn dann Seit Karten auf zu Karten auf zu widersprechen dem ober oben genannten Satz, dass eine Funktion von zu ist nicht auf. Deswegen, ist mit einer Teilmenge von nicht gleichwertig

Neben den Axiomen der Unendlichkeit und der Kraftmenge die Axiome von Trennung, Verlängerung, und Paarung wurden im modernen Argument verwendet. Zum Beispiel wurde das Axiom der Trennung verwendet, um die diagonale Untergruppe zu definieren Das Axiom der Verlängerung wurde verwendet, um zu beweisen und das Paar der Paarung wurde in der Definition der Untergruppe verwendet

Rezeption des Arguments

Anfangs war die Theorie von Cantor unter Mathematikern und (später) Philosophen umstritten. Wie Leopold Kronecker behauptete: "Ich weiß nicht, was in Cantors Theorie vorherrscht - Philosophie oder Theologie, aber ich bin sicher, dass es dort keine Mathematik gibt." Viele Mathematiker stimmten Kronecker zu, dass die Unendlich abgeschlossen kann Teil von sein Philosophie oder Theologie, aber dass es keinen richtigen Platz in der Mathematik hat. Logiker Wilfrid Hodges(1998) hat die Energie kommentiert, die sich der Niederlage dieses "harmlosen kleinen Arguments" (d. H. Cantors diagonales Argument) fragte: "Was hatte es jemandem angetan, ihn wütend darauf zu machen?"[14] Mathematiker Solomon Feferman hat Cantors Theorien als „für die alltägliche Mathematik einfach nicht relevant“ bezeichnet.[15]

Vor Cantor wurde der Begriff der Unendlichkeit oft als nützliche Abstraktion angesehen, die den Mathematikern half, über die endliche Welt zu verweisen. Zum Beispiel die Verwendung von unendlichen Grenzenfällen in Infinitesimalrechnung. Der Unendliche wurde eher als eine potenzielle Existenz als eine tatsächliche Existenz angesehen.[16] "Tatsächliche Unendlichkeit existiert nicht. Was wir Infinite nennen, ist nur die endlose Möglichkeit, neue Objekte zu erstellen, egal wie viele bereits existieren."[17] Carl Friedrich Gauß"Ansichten zu diesem Thema können als:" Unendlichkeit ist nichts anderes als eine Redefigur, die uns hilft, über Grenzen zu sprechen. Der Begriff einer fertigen Unendlichkeit gehört nicht zur Mathematik. "[18] Mit anderen Worten, der einzige Zugang, den wir zum Unendlichen haben, ist der Begriff der Grenzen, und daher dürfen wir unendliche Sätze nicht so behandeln, als hätten sie eine Existenz, die genau mit der Existenz endlicher Sätze vergleichbar ist.

Cantors Ideen wurden letztendlich weitgehend akzeptiert, stark unterstützt von David Hilbert, unter anderem. Hilbert sagte voraus: "Niemand wird uns aus dem Paradies fahren, das Cantor für uns geschaffen hat."[19] Zu welchem Wittgenstein antwortete: "Wenn eine Person es als Paradies von Mathematikern ansehen kann, warum sollte es dann nicht als Witz sehen?"[20] Die Ablehnung der unendlichen Ideen von Cantor beeinflusste die Entwicklung von Mathematikschulen wie Konstruktivismus und Intuitionismus.

Wittgenstein lehnte keinen Einwände gegen den Großhandel des mathematischen Formalismus, sondern hatte eine endkarische Sicht auf den Beweis von Cantor. Der Philosoph behauptete, dass der Glaube an Unendlichkeiten aus der intensionalen Natur der mathematischen Gesetze mit der Verlängerung der Sets, Sequenzen, Symbole usw. entsteht Aus Punkten besteht ein Gesetz, das Punkte oder erneut ein Gesetz befolgen, nach dem Punkte konstruiert werden können. "

Er beschrieb auch das diagonale Argument als "Hocus pocus" und beweist nicht, was es vorgibt.

Einwand gegen das Axiom der Unendlichkeit

Ein häufiger Einwand gegen Cantors Theorie der unendlichen Zahl betrifft die Axiom der Unendlichkeit (was in der Tat ein Axiom und nicht a ist Logische Wahrheit). Mayberry hat festgestellt, dass "... die set-theoretischen Axiome, die die moderne Mathematik aufrechterhalten Kaum jeder Anspruch auf Selbstverständlichkeit ... "[21]

Ein weiterer Einwand ist, dass die Verwendung von unendlichen Sätzen nicht analog zu endlichen Sätzen ausreichend gerechtfertigt ist. Hermann Weyl schrieb:

... klassische Logik wurde aus der Mathematik endlicher Sets und ihrer Untergruppen abstrahiert. Vergesslich dieses begrenzte Ursprungs hat diese Logik für etwas oben und vor allen Mathematik danach verwirrt und schließlich ohne Rechtfertigung auf die Mathematik unendlicher Sets angewendet. Dies ist der Fall und die Erbsünde von [Cantors] festgelegte Theorie ... "[22]

Die Schwierigkeit mit dem Finitismus besteht darin, Fundamente der Mathematik mithilfe von Finitistenannahmen zu entwickeln, die das beinhalten, was jeder vernünftigerweise als Mathematik betrachtet würde (z. B. einschließlich der Einschlüsse Echte Analyse).

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Dauben 1979, S. 67–68, 165.
  2. ^ Cantor 1891, p. 75; Englische Übersetzung: Ewald p. 920.
  3. ^ Dauben 1979, p. 166.
  4. ^ Dauben 1979, S. 166–167.
  5. ^ Frege 1884, trans. 1953, §70.
  6. ^ Mayberry 2000, p. 136.
  7. ^ Cantor 1878, p. 242. Cantor 1891, p. 77; Englische Übersetzung: Ewald p. 922.
  8. ^ Hallett 1984, p. 59.
  9. ^ Cantor 1891, p. 77; Englische Übersetzung: Ewald p. 922.
  10. ^ Moore 1982, p. 42.
  11. ^ Moore 1982, p. 330.
  12. ^ Moore 1982, p. 51. Eine Diskussion über Cantors Beweise ist in Absoluter unendlicher, gut ordnungsender Theorem und Paradoxe. Teil von Cantors Beweis und ZermeloDie Kritik daran liegt in einem Referenznotiz.
  13. ^ a b Cantor 1895, S. 483–484; Englische Übersetzung: Cantor 1954, S. 89–90.
  14. ^ Hodges, Wilfrid (1998), "Ein Redakteur erinnert an einige hoffnungslose Papiere", Das Bulletin der symbolischen Logik, Assoziation für symbolische Logik, Vol. 4, nein. 1, S. 1–16, Citeseerx 10.1.1.27.6154, doi:10.2307/421003, JStor 421003, S2CID 14897182
  15. ^ Wolcover, Natalie. "Streit um Unendlichkeit teilt die Mathematiker". Wissenschaftlicher Amerikaner. Abgerufen 2. Oktober 2014.
  16. ^ Zenkin, Alexander (2004), "Logik der tatsächlichen Unendlichkeit und G. Cantors diagonaler Beweis für die Unaufmerksamkeit des Kontinuums", Die Überprüfung der modernen Logik, vol. 9, nein. 30, S. 27–80
  17. ^ (Poincaré Zitiert von Kline 1982)
  18. ^ Dunham, William (1991). Reise durch Genie: die großen Theoreme der Mathematik. Pinguin. p.254. ISBN 9780140147391.
  19. ^ (Hilbert, 1926)
  20. ^ (RFM V. 7)
  21. ^ Mayberry 2000, p. 10.
  22. ^ Weyl, 1946

Verweise

"AUS Dem Paradies, Das Cantor ungesschaffen, Soll uns Niemand Vertreiben Können."
Übersetzt in Van Heijenoort, Jean, Auf dem Unendlichen, Harvard University Press
  • Kline, Morris (1982), Mathematik: Der Verlust der Gewissheit, Oxford, ISBN 0-19-503085-0
  • Mayberry, J.P. (2000), Die Grundlagen der Mathematik in der Theorie der Sets, Encyclopedia of Mathematics und ihre Anwendungen, vol. 82, Cambridge University Press
  • Moore, Gregory H. (1982), Zermelos Axiom der Wahl: seine Herkunft, Entwicklung und Einfluss, Springer, ISBN 978-1-4613-9480-8
  • Poincaré, Henri (1908), Die Zukunft der Mathematik (PDF), Revue Generale des Sciences Piles et Appliquees, Vol. 23, archiviert aus das Original (PDF) Am 2003-06-29 (Ansprache an den vierten internationalen Kongress der Mathematiker)
  • Sainsbury, R.M. (1979), Russell, London
  • Weyl, Hermann (1946), "Mathematik und Logik: Eine kurze Umfrage, die als Vorwort zu einer Überprüfung von dient Die Philosophie von Bertrand Russell",", Amerikanischer mathematischer Monat, vol. 53, S. 2–13, doi:10.2307/2306078, JStor 2306078
  • Wittgenstein, Ludwig; A. J. P. Kenny (Trans.) (1974), Philosophische Grammatik, Oxford
  • Wittgenstein; R. Hargreaves (trans.); R. White (Trans.) (1964), Philosophische Bemerkungen, Oxford
  • Wittgenstein (2001), Remarks on the Foundations of Mathematics (3. Aufl.), Oxford

Externe Links