Kontinuum (festgelegte Theorie)

Im mathematischen Bereich von Mengenlehre, das Kontinuum Bedeutet die reale Nummern, oder das entsprechende (unendliche) Kardinalzahl, bezeichnet durch ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$.^[1][2] Georg Cantor bewies, dass die Kardinalität ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ist größer als die kleinste Unendlichkeit, nämlich, ${\ displayStyle \ Aleph _ {0}}$.Er hat das auch bewiesen ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ist gleich ${\ displayStyle 2^{\ Aleph _ {0}} \!}$die Kardinalität der Leistungssatz des natürliche Zahlen.

Das Kardinalität des Kontinuums ist der Größe der reellen Zahlen.Das Kontinuumshypothese wird manchmal angegeben, indem man sagt, dass nein Kardinalität liegt zwischen dem des Kontinuums und dem des natürliche Zahlen, ${\ displayStyle \ Aleph _ {0}}$oder alternativ das ${\ displayStyle {\ mathfrak {c}} = \ Aleph _ {1}}$.^[1]

Linear continuum

Entsprechend Raymond Wilder (1965) gibt es vier Axiome, die einen Satz machen C und die Beziehung <in a lineares Kontinuum:

• C ist einfach bestellt in Bezug auf <.
• Wenn [A, b] ist ein Schnitt von Cdann entweder A hat ein letztes Element oder B hat ein erstes Element.(vergleichen Dedekind Cut)
• Es gibt eine nicht leere, zählbar Teilmenge S von C so dass, wenn x, y ∈ C so dass x < ydann gibt es da z ∈ S so dass x < z < y. (Trennbarkeits -Axiom)
• C Hat kein erstes Element und kein letztes Element.(Unglanze Axiom)

Diese Axiome charakterisieren die Auftragsart des reelle Zahlenzeile.

Siehe auch

• Aleph Null
• Suslins Problem
• Transfinite Zahl

Verweise

Literaturverzeichnis

• Raymond L. Wilder (1965) Die Grundlagen der Mathematik, 2. Aufl., Seite 150, John Wiley & Sons.