Kontinuierliche Funktion

Im Mathematik, a kontinuierliche Funktion ist ein Funktion so dass a kontinuierliche Variation (Das ist eine Veränderung ohne Sprung) der Streit induziert eine kontinuierliche Variation der Wert der Funktion. Dies bedeutet, dass es keine abrupten Wertänderungen gibt, bekannt als Diskontinuitäten. Genauer gesagt ist eine Funktion kontinuierlich, wenn willkürlich kleine Wertänderungen durch Einschränken auf ausreichend kleine Veränderungen seines Arguments einschränken können. EIN diskontinuierliche Funktion ist eine Funktion, die ist nicht kontinuierlich. Bis zum 19. Jahrhundert stützten sich die Mathematiker weitgehend auf intuitiv Vorstellungen der Kontinuität und berücksichtigte nur kontinuierliche Funktionen. Das Epsilon -Delta -Definition einer Grenze wurde eingeführt, um die Definition von Kontinuität zu formalisieren.

Kontinuität ist eines der Kernkonzepte von Infinitesimalrechnung und Mathematische Analyse, wo Argumente und Werte von Funktionen sind real und Komplex Zahlen. Das Konzept wurde auf Funktionen verallgemeinert zwischen metrischen Räumen und zwischen topologischen Räumen. Letztere sind die allgemeinsten kontinuierlichsten Funktionen, und ihre Definition ist die Grundlage für Topologie.

Eine stärkere Form der Kontinuität ist einheitliche Kontinuität. Im Ordnungstheorie, besonders in Domain -Theorie, ein verwandtes Konzept der Kontinuität ist Scott -Kontinuität.

Als Beispiel die Funktion H(t) Bezeichnet die Höhe einer wachsenden Blume zur Zeit t würde als kontinuierlich angesehen. Im Gegensatz dazu die Funktion M(t) Bezeichnung des Geldbetrags auf einem Bankkonto zum Zeitpunkt t würde als diskontinuierlich angesehen, da es zu jedem Zeitpunkt "springt", wenn Geld hinterlegt oder zurückgezogen wird.

Geschichte

Eine Form der Epsilon -Delta -Definition von Kontinuität wurde zuerst durch gegeben von Bernard Bolzano 1817. Augustin-Louis Cauchy definierte Kontinuität von ${\ displayStyle y = f (x)}$ wie folgt: ein unendlich kleines Inkrement ${\ displayStyle \ alpha}$ der unabhängigen Variablen x erzeugt immer eine unendlich kleine Veränderung ${\ displayStyle f (x+\ alpha) -f (x)}$ der abhängigen Variablen y (Siehe z. Kurse d'Alalyze, p. 34). Cauchy definierte unendlich kleine Mengen in Bezug auf variable Mengen, und seine Definition von Kontinuität entspricht eng mit der heute verwendeten Infinitesimal -Definition (siehe Mikrokontinuität). Die formale Definition und die Unterscheidung zwischen punktueller Kontinuität und einheitliche Kontinuität wurden zuerst von Bolzano in den 1830er Jahren gegeben, aber die Arbeiten erst in den 1930er Jahren veröffentlicht. Wie Bolzano,^[1] Karl Weierstrass^[2] verweigerte die Kontinuität einer Funktion an einem Punkt c es sei denn, es wurde auf und auf beiden Seiten von definiert c, aber Édouard Goursat^[3] erlaubte, dass die Funktion nur auf und auf einer Seite von definiert werden konnte c, und Camille Jordan^[4] erlaubte es auch dann, wenn die Funktion nur bei definiert wurde c. Alle drei nicht jeweiligen Definitionen der punktuellen Kontinuität werden noch verwendet.^[5] Eduard Heine lieferte die erste veröffentlichte Definition der einheitlichen Kontinuität im Jahr 1872, basierte diese Ideen jedoch auf Vorträge, die von gegeben wurden Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1854.^[6]

Echte Funktionen

Definition

A echte Funktion, das ist ein Funktion aus reale Nummern zu realen Zahlen kann durch a dargestellt werden Graph in dem Kartesische Ebene; Eine solche Funktion ist kontinuierlich, wenn das Diagramm ungefähr ein einzelnes Unbuken ist Kurve Deren Domain ist die gesamte echte Linie. Eine mathematischere Definition ist unten angegeben.^[8]

Die Kontinuität der realen Funktionen wird normalerweise in Bezug auf Grenzen. Eine Funktion f mit variabler x ist kontinuierlich bei das reelle Zahl c, wenn die Grenze von ${\ displayStyle f (x),}$ wie x neigt dazu c, ist gleich ${\ displayStyle f (c).}$

Es gibt verschiedene Definitionen einer (globalen) Kontinuität einer Funktion, die von der Art von IE abhängt Domain.

Eine Funktion ist bei einem kontinuierlich Offenes Intervall Wenn das Intervall in der Domäne der Funktion enthalten ist und die Funktion an jedem Punkt des Intervalls kontinuierlich ist. Eine Funktion, die im Intervall kontinuierlich ist ${\ displayStyle (-\ Infty,+\ Infty)}$ (das Ganze echte Linie) wird oft einfach als kontinuierliche Funktion bezeichnet; Man sagt auch, dass eine solche Funktion ist überall kontinuierlich. Zum Beispiel alle Polynomfunktionen sind überall kontinuierlich.

Eine Funktion ist kontinuierlich bei a halboffen oder ein abgeschlossen Interval Die Variable tendiert vom Innenraum des Intervalls zum Endpunkt. Zum Beispiel die Funktion ${\ displayStyle f (x) = {\ sqrt {x}}}$ ist in seiner gesamten Domäne kontinuierlich, was das geschlossene Intervall ist ${\ displayStyle [0,+\ inty).}$

Viele häufig auftretende Funktionen sind Teilfunktionen die eine Domäne haben, die von allen reellen Zahlen gebildet wird, außer einigen Isolierte Punkte. Beispiele sind die Funktionen ${\ textstyle x \ mapsto {\ frac {1} {x}}}$ und ${\ displayStyle x \ MapSto \ tan x.}$ Wenn sie in einigen Kontexten kontinuierlich in ihrer Domäne sind, sind sie kontinuierlich, obwohl sie nicht überall kontinuierlich sind. In anderen Kontexten, vor allem, wenn man sich an ihrem Verhalten in der Nähe der außergewöhnlichen Punkte interessiert, sagt man, dass sie diskontinuierlich sind.

Eine Teilfunktion ist diskontinuierlich An einem Punkt, wenn der Punkt dem gehört Topologischer Verschluss seiner Domäne, und entweder gehört der Punkt nicht zur Domäne der Funktion, oder die Funktion ist am Punkt nicht kontinuierlich. Zum Beispiel die Funktionen ${\ textstyle x \ mapsto {\ frac {1} {x}}}$ und ${\ textStyle x \ mapsto \ sin ({\ frac {1} {x}})}$ sind diskontinuierlich bei 0, und bleiben diskontinuierlich, welcher Wert ausgewählt wird, um sie zu definieren 0. Ein Punkt, an dem eine Funktion diskontinuierlich genannt wird Diskontinuität.

Unter Verwendung mathematischer Notation gibt es verschiedene Möglichkeiten, um kontinuierliche Funktionen in jedem der drei oben genannten Sinne zu definieren.

Lassen

eine Funktion sein, die auf a definiert ist Teilmenge ${\ displayStyle d}$ des Satzes ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ realer Zahlen.

Diese Teilmenge ${\ displayStyle d}$ ist die Domäne von f. Einige mögliche Entscheidungen umfassen

• ${\ displayStyle d = \ mathbb {r}}$: d.h.,, ${\ displayStyle d}$ ist der gesamte Satz realer Zahlen) oder, für a und b reale Nummern,
• $oder$: ${\ displayStyle d}$ ist ein geschlossenes Intervall, oder
• ${\ displayStyle d = (a, b) = \ {x \ in \ mathbb {r} \ mid a <x <b \}}$: ${\ displayStyle d}$ ist ein Offenes Intervall.

Im Falle der Domäne ${\ displayStyle d}$ definiert als offenes Intervall, ${\ displayStyle a}$ und ${\ displayStyle B}$ gehören nicht zu ${\ displayStyle d}$und die Werte von ${\ displayStyle f (a)}$ und ${\ displayStyle f (b)}$ egal für die Kontinuität auf ${\ displayStyle d}$.

Definition in Bezug auf Funktionen der Funktionen

Die Funktion f ist irgendwann kontinuierlich c seiner Domäne, wenn die Grenze von ${\ displayStyle f (x),}$ wie x Ansätze c durch den Bereich von f, existiert und ist gleich ${\ displayStyle f (c).}$^[9] In der mathematischen Notation wird dies als geschrieben als

Im Detail bedeutet dies drei Bedingungen: Erstens, f muss definiert werden c (garantiert durch die Anforderung, dass c ist in der Domäne von f). Zweitens muss die Grenze auf der linken Seite dieser Gleichung existieren. Drittens muss der Wert dieser Grenze gleich sein ${\ displayStyle f (c).}$

(Hier haben wir angenommen, dass die Domäne von f Hat keine Isolierte Punkte.))

Definition in Bezug auf Nachbarschaften

A Nachbarschaft von einem Punkt c ist ein Satz, der zumindest alle Punkte in einem festen Abstand von enthält c. Intuitiv ist eine Funktion an einem Punkt kontinuierlich c Wenn der Bereich von f über die Nachbarschaft von c schrumpft zu einem einzigen Punkt ${\ displayStyle f (c)}$ als die Breite der Nachbarschaft herum c schrumpft auf Null. Genauer gesagt eine Funktion f ist an einem Punkt kontinuierlich c seiner Domäne, wenn, für eine Nachbarschaft ${\ displayStyle n_ {1} (f (c))}$ Es gibt eine Nachbarschaft ${\ displayStyle n_ {2} (c)}$ in seiner Domäne so dass ${\ displayStyle f (x) \ in n_ {1} (f (c))}$ Wann immer ${\ displayStyle x \ in n_ {2} (c).}$

Diese Definition erfordert nur, dass die Domäne und die Codomäne sind Topologische Räume und ist somit die allgemeinste Definition. Aus dieser Definition folgt, dass eine Funktion f ist bei jedem automatisch kontinuierlich isolierter Punkt seiner Domäne. Als spezifisches Beispiel ist jede real geschätzte Funktion auf dem Satz der Ganzzahlen kontinuierlich.

Definition in Bezug auf die Grenzen von Sequenzen

Man kann das stattdessen für jeden benötigen Reihenfolge ${\ displayStyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {n}}}$ von Punkten in der Domäne, die konvergiert zu c, die entsprechende Sequenz ${\ displayStyle \ links (f (x_ {n}) \ rechts) _ {n \ in \ mathbb {n}}}$ konvergiert zu ${\ displayStyle f (c).}$ In mathematischer Notation,

Weierstrass- und Jordan -Definitionen (Epsilon -Delta) von kontinuierlichen Funktionen

Ausdrücklich die Definition der Grenze einer Funktion einbezieht, erhalten wir eine in sich geschlossene Definition: eine Funktion gegeben ${\ displayStyle f: d \ to \ mathbb {r}}$ wie oben und ein Element ${\ displayStyle x_ {0}}$ der Domäne ${\ displayStyle d}$, ${\ displayStyle f}$ soll an dem Punkt kontinuierlich sein ${\ displayStyle x_ {0}}$ Wenn Folgendes gilt: für eine positive reelle Zahl ${\ displayStyle \ varepsilon> 0,}$ So klein, es gibt eine positive reale Anzahl ${\ displayStyle \ Delta> 0}$ so dass für alle ${\ displayStyle x}$ im Bereich von ${\ displayStyle f}$ mit ${\ displaystyle x_ {0}-\ delta <x <x_ {0}+\ delta,}$ der Wert von ${\ displayStyle f (x)}$ zufrieden

Alternativ geschrieben, Kontinuität von ${\ displayStyle f: d \ to \ mathbb {r}}$ bei ${\ displayStyle x_ {0} \ in d}$ bedeutet das für jeden ${\ displayStyle \ varepsilon> 0,}$ Es gibt a ${\ displayStyle \ Delta> 0}$ so dass für alle ${\ displayStyle x \ in d}$:

Intuitiver können wir sagen, wenn wir alle bekommen wollen ${\ displayStyle f (x)}$ Werte, um in einigen kleinen zu bleiben Nachbarschaft um ${\ displayStyle f \ links (x_ {0} \ rechts),},}$ Wir müssen einfach eine ausreichend kleine Nachbarschaft für die wählen ${\ displayStyle x}$ Werte um ${\ displayStyle x_ {0}.}$ Wenn wir das tun können, egal wie klein die ${\ displayStyle f (x_ {0})}$ Nachbarschaft ist dann ${\ displayStyle f}$ ist kontinuierlich bei ${\ displayStyle x_ {0}.}$

In modernen Begriffen wird dies durch die Definition der Kontinuität einer Funktion in Bezug auf a verallgemeinert Basis für die Topologie, hier die Metrische Topologie.

Weierstrass hatte das Intervall benötigt ${\ displaystyle x_ {0}-\ delta <x <x_ {0}+\ delta}$ sich vollständig innerhalb der Domäne befinden ${\ displayStyle d}$, aber Jordan hat diese Einschränkung entfernt.

Definition in Bezug auf die Kontrolle des Restes

In Beweisen und numerischen Analysen müssen wir häufig wissen, wie schnell die Grenzen konvergieren oder mit anderen Worten die Kontrolle über den Rest. Wir können dies zu einer Definition der Kontinuität formalisieren. Eine Funktion $oder$ wird als Kontrollfunktion bezeichnet, wenn

• C ist nicht dekretierend
• ${\ displayStyle \ inf _ {\ delta> 0} c (\ delta) = 0}$

Eine Funktion ${\ displayStyle f: d \ bis r}$ ist C-Kontinuier bei ${\ displayStyle x_ {0}}$ wenn

Eine Funktion ist kontinuierlich in ${\ displayStyle x_ {0}}$ Wenn es so ist C-Kontinuier für eine Kontrollfunktion C.

Dieser Ansatz führt natürlich dazu, den Begriff der Kontinuität durch Einschränkung der zulässigen Kontrollfunktionen zu verfeinern. Für eine bestimmte Reihe von Kontrollfunktionen ${\ displayStyle {\ mathcal {c}}}$ Eine Funktion ist ${\ displayStyle {\ mathcal {c}}}$-Kontinuier Wenn es so ist ${\ displayStyle c}$-Kontinuier für einige ${\ displayStyle c \ in {\ mathcal {c}}.}$ Zum Beispiel die Lipschitz und Höllder -kontinuierliche Funktionen Exponent α Im Folgenden sind die Kontrollfunktionen definiert

beziehungsweise

Definition mit Schwingung

Kontinuität kann auch in Bezug auf definiert werden Schwingung: eine Funktion f ist an einem Punkt kontinuierlich ${\ displayStyle x_ {0}}$ wenn und nur wenn seine Schwingung an diesem Punkt Null ist;^[10] In Symbolen, ${\ displayStyle \ Omega _ {f} (x_ {0}) = 0.}$ Ein Vorteil dieser Definition ist, dass sie quantifiziert Diskontinuität: Die Schwingung gibt wie wie viel Die Funktion ist an einem Punkt diskontinuierlich.

Diese Definition ist nützlich in Beschreibende festgelegte Theorie Untersuchung des Satzes der Diskontinuitäten und kontinuierlichen Punkte - die kontinuierlichen Punkte sind der Schnittpunkt der Sätze, an denen die Schwingung geringer ist als ${\ displayStyle \ varepsilon}$ (daher a ${\ displayStyle g _ {\ delta}}$ einstellen) - und gibt einen sehr schnellen Beweis für eine Richtung der Lebesgue Integrierbarkeitsbedingung.^[11]

Die Schwingung entspricht der ${\ displayStyle \ varepsilon -\ delta}$ Definition durch eine einfache Neuarrangement und durch Verwendung einer Grenze (Lim sup, Lim Inf) Oszillation zu definieren: wenn (zu einem bestimmten Punkt) für eine gegebene ${\ displayStyle \ varepsilon _ {0}}$ es gibt kein ${\ displayStyle \ Delta}$ das erfüllt das ${\ displayStyle \ varepsilon -\ delta}$ Definition, dann ist die Schwingung zumindest ${\ displayStyle \ varepsilon _ {0},}$ und umgekehrt, wenn für jeden ${\ displayStyle \ varepsilon}$ Es gibt einen gewünschten ${\ displayStyle \ Delta,}$ Die Schwingung ist 0. Die Oszillationsdefinition kann natürlich auf Karten von einem topologischen Raum zu a verallgemeinert werden metrischer Raum.

Definition unter Verwendung der Hyperreals

Cauchy Definierte Kontinuität einer Funktion in den folgenden intuitiven Begriffen: a infinitesimal Die Änderung der unabhängigen Variablen entspricht einer infinitesimalen Änderung der abhängigen Variablen (siehe Kurse d'Alalyze, Seite 34). Nicht standardmäßige Analyse ist eine Möglichkeit, diese mathematisch streng zu machen. Die reale Linie wird durch die Zugabe von unendlichen und infinitesimalen Zahlen zur Bildung des Hyperreale Zahlen. In der nicht standardmäßigen Analyse kann Kontinuität wie folgt definiert werden.

(sehen Mikrokontinuität). Mit anderen Worten, eine infinitesimale Erhöhung der unabhängigen Variablen erzeugt immer zu einer infinitesimalen Veränderung der abhängigen Variablen, was einen modernen Ausdruck gibt Augustin-Louis Cauchy'S Definition der Kontinuität.

Konstruktion kontinuierlicher Funktionen

Die Überprüfung der Kontinuität einer bestimmten Funktion kann vereinfacht werden, indem eine der oben genannten Eigenschaften für die Bausteine ​​der angegebenen Funktion überprüft wird. Es ist unkompliziert zu zeigen, dass die Summe von zwei Funktionen, die kontinuierlich auf einer Domäne kontinuierlich sind, auch in dieser Domäne kontinuierlich ist. Gegeben

dann ist die Summe der kontinuierlichen Funktionen (definiert von ${\ displayStyle s (x) = f (x)+g (x)}$ für alle ${\ displayStyle x \ in d}$) ist kontinuierlich in ${\ displayStyle D.}$

Das gleiche gilt für die Produkt kontinuierlicher FunktionenAnwesend

(definiert von ${\ displayStyle p (x) = f (x) \ cdot g (x)}$ für alle ${\ displayStyle x \ in d}$) ist kontinuierlich in ${\ displayStyle D.}$

Kombination der oben genannten Konservierungen der Kontinuität und der Kontinuität von ständige Funktionen und von der Identitätsfunktion ${\ displayStyle i (x) = x}$ an ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$, man kommt auf die Kontinuität von allen Polynomfunktionen an ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$, wie zum Beispiel

(rechts abgebildet).

Ebenso kann gezeigt werden, dass die gegenseitig einer kontinuierlichen Funktion

(definiert von ${\ displayStyle r (x) = 1/f (x)}$ für alle ${\ displayStyle x \ in d}$ so dass ${\ displayStyle f (x) \ neq 0}$) ist kontinuierlich in ${\ displayStyle d \ setminus \ {x: f (x) = 0 \}.}$

Dies impliziert das, ausgenommen die Wurzeln von ${\ displayStyle g,}$ das Quotient der kontinuierlichen Funktionen

(definiert von ${\ displayStyle q (x) = f (x)/g (x)}$ für alle ${\ displayStyle x \ in d}$, so dass ${\ displayStyle g (x) \ neq 0}$) ist auch kontinuierlich auf ${\ displayStyle d \ setminus \ {x: g (x) = 0 \}}$.

Zum Beispiel die Funktion (abgebildet)

ist für alle reellen Zahlen definiert ${\ displayStyle x \ neq -2}$ und ist an jedem solchen Punkt kontinuierlich. Somit ist es eine kontinuierliche Funktion. Die Frage der Kontinuität bei ${\ displayStyle x = -2}$ entsteht nicht, da seitdem ${\ displayStyle x = -2}$ ist nicht im Bereich von ${\ displayStyle y.}$ Es gibt keine kontinuierliche Funktion ${\ displayStyle f: \ mathbb {r} \ to \ mathbb {r}}$ das stimmt mit ${\ displayStyle y (x)}$ für alle ${\ displayStyle x \ neq -2.}$

Seit der Funktion Sinus ist kontinuierlich bei allen Reals, die SINC -Funktion ${\ displayStyle g (x) = \ sin (x)/x,}$ ist definiert und kontinuierlich für alle real ${\ displayStyle x \ neq 0.}$ Im Gegensatz zum vorherigen Beispiel, jedoch G kann auf eine kontinuierliche Funktion auf erweitert werden alle reelle Zahlen, von Definition der Wert ${\ displayStyle g (0)}$ 1 sein, was die Grenze von ist ${\ displayStyle g (x),}$ Wenn x Ansätze 0, d. h.,

Somit durch Einstellen

$oder x = 0, \ end {cases}}}$

Die Sinc-Funktion wird zu einer kontinuierlichen Funktion in allen reellen Zahlen. Der Begriff Abnehmbare Singularität wird in solchen Fällen verwendet, wenn (erneut) Werte einer Funktion definiert werden, die mit den entsprechenden Grenzen übereinstimmt, die an bestimmten Punkten eine Funktion kontinuierlich machen.

Eine stärkere Konstruktion kontinuierlicher Funktionen ist die Funktionszusammensetzung. Mit zwei kontinuierlichen Funktionen

ihre Komposition, bezeichnet als als${\ displayStyle c = g \ circ f: d_ {f} \ to \ mathbb {r},},},},},}$ und definiert durch ${\ displayStyle c (x) = g (f (x)),}$ ist kontinuierlich.

Diese Konstruktion ermöglicht beispielsweise das

ist für alle kontinuierlich ${\ displayStyle x> 0.}$

Beispiele für diskontinuierliche Funktionen

Ein Beispiel für eine diskontinuierliche Funktion ist die Heaviside -Schrittfunktion ${\ displayStyle H}$, definiert von

$oder$

Zum Beispiel auswählen ${\ displayStyle \ varepsilon = 1/2}$. Dann gibt es keine ${\ displayStyle \ Delta}$-Nachbarschaft um ${\ displayStyle x = 0}$, d.h. kein offenes Intervall ${\ displayStyle (-\ Delta, \; \ Delta)}$ mit ${\ displayStyle \ Delta> 0,}$ das wird alle erzwingen ${\ displayStyle h (x)}$ Werte, die innerhalb der sind ${\ displayStyle \ varepsilon}$-Nachbarschaft von ${\ displayStyle H (0)}$, d.h. innerhalb ${\ displayStyle (1/2, \; 3/2)}$. Intuitiv können wir uns diese Art von Diskontinuität als plötzlich vorstellen springen in Funktionswerten.

Ebenso das signalisieren oder Zeichenfunktion

$oder = 0 \\-1 & {\ text {if}} x <0 \ end {cases}}}$

ist diskontinuierlich bei ${\ displayStyle x = 0}$ Aber überall sonst kontinuierlich. Ein weiteres Beispiel: die Funktion

$oder x = 0 \ end {cases}}}$

ist überall ununterbrochen abgesehen von ${\ displayStyle x = 0}$.

Neben plausiblen Kontinuitäten und Diskontinuitäten wie oben gibt es auch Funktionen mit einem Verhalten, das oft geprägt ist pathologisch, zum Beispiel, Thomaes FunktionAnwesend

$oder oder$

ist bei allen irrationalen Zahlen kontinuierlich und bei allen rationalen Zahlen diskontinuierlich. In ähnlicher Weise, Dirichlets Funktion, das Indikatorfunktion Für die rationalen Zahlen,

$oder {\ text {if}} x {\ text {ist rational}} (\ in \ mathbb {q}) \ end {cases}}}$

ist nirgendwo kontinuierlich.

Eigenschaften

Ein nützliches Lemma

Lassen ${\ displayStyle f (x)}$ eine Funktion sein, die an einem Punkt kontinuierlich ist ${\ displayStyle x_ {0},},}$ und ${\ displayStyle y_ {0}}$ ein Wert sein, der ${\ displayStyle f \ links (x_ {0} \ rechts) \ neq y_ {0}.}$ Dann ${\ displayStyle f (x) \ neq y_ {0}}$ in einer Nachbarschaft von ${\ displayStyle x_ {0}.}$^[13]

Nachweisen: Durch die Definition von Kontinuität nehmen $oder$ dann gibt es da ${\ displayStyle \ Delta> 0}$ so dass

Angenommen, es gibt einen Punkt in der Nachbarschaft ${\ displayStyle | X-X_ {0} | <\ Delta}$ für welche ${\ displayStyle f (x) = y_ {0};}$ Dann haben wir den Widerspruch

Zwischenwert -Theorem

Das Zwischenwert -Theorem ist ein Existenzsatz, basierend auf der realen Zahl Eigenschaft von Vollständigkeitund Staaten:

Wenn die realbewertete Funktion f ist kontinuierlich auf der geschlossenes Intervall ${\ displayStyle [a, b],}$ und k ist eine Reihe zwischen dazwischen ${\ displayStyle f (a)}$ und ${\ displayStyle f (b),}$ Dann gibt es eine Nummer ${\ displayStyle c \ in [a, b],}$ so dass ${\ displayStyle f (c) = k.}$

Wenn beispielsweise ein Kind zwischen zwei und sechs Jahren zwischen 1 m und 1,5 m wächst, muss die Größe des Kindes zu einem Zeitpunkt zwischen zwei und sechs Jahren 1,25 m beträgt.

Infolgedessen, wenn f ist kontinuierlich ${\ displayStyle [a, b]}$ und ${\ displayStyle f (a)}$ und ${\ displayStyle f (b)}$ unterscheiden sich in Schilddann irgendwann irgendwann ${\ displayStyle c \ in [a, b],}$ ${\ displayStyle f (c)}$ muss gleich Null.

Extremwert -Theorem

Das Extremwert -Theorem gibt das an, wenn eine Funktion f ist in einem geschlossenen Intervall definiert ${\ displayStyle [a, b]}$ (oder eine geschlossene und begrenzte Menge) und ist dort kontinuierlich, dann erreicht die Funktion ihr Maximum, d. H. Es gibt es ${\ displayStyle c \ in [a, b]}$ mit ${\ displayStyle f (c) \ geq f (x)}$ für alle ${\ displayStyle x \ in [a, b].}$ Gleiches gilt für das Minimum von f. Diese Aussagen sind im Allgemeinen nicht wahr, wenn die Funktion in einem offenen Intervall definiert ist ${\ displayStyle (a, b)}$ (oder eine Menge, die nicht sowohl geschlossen als auch begrenzt ist), wie zum Beispiel die kontinuierliche Funktion ${\ displayStyle f (x) = {\ frac {1} {x}},},},}$ Auf dem offenen Intervall (0,1) definiert, erreicht er kein Maximum, das oben unbegrenzt ist.

Beziehung zu Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit

Jeder Differenzierbare Funktion

ist kontinuierlich, wie gezeigt werden kann. Das umgekehrt gilt nicht: zum Beispiel die absoluter Wert Funktion

$oder Ende {Fälle}}}$

ist überall kontinuierlich. Es ist jedoch nicht differenzierbar bei ${\ displayStyle x = 0}$ (Aber ist so überall sonst). Weierstrass 'Funktion ist auch überall kontinuierlich, aber nirgends differenzierbar.

Das Derivat ${\ displayStyle f (x)}$ einer differenzierbaren Funktion f(x) muss nicht kontinuierlich sein. Wenn f'(x) ist kontinuierlich, f(x) wird gesagt, dass kontinuierlich differenzierbar. Die Menge solcher Funktionen wird bezeichnet ${\ displayStyle c^{1} ((1, b)).}$ Allgemeiner die Funktionen der Funktionen

(aus einem offenen Intervall (oder Offene Teilmenge von ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$) ${\ displayStyle \ Omega}$ zu den realen) so dass f ist ${\ displayStyle n}$ mal differenzierbar und so, dass die ${\ displayStyle n}$-D -Ableitung von f ist kontinuierlich bezeichnet ${\ displayStyle c^{n} (\ Omega).}$ Sehen Differenzierbarkeitsklasse. Im Bereich der Computergrafik, Eigenschaften verwandt (aber nicht identisch) bis ${\ displaystyle c^{0}, c^{1}, c^{2}}$ werden manchmal genannt ${\ displayStyle g^{0}}$ (Kontinuität der Position),, ${\ displayStyle g^{1}}$ (Kontinuität der Tangenz) und ${\ displayStyle g^{2}}$ (Kontinuität der Krümmung); sehen Glätte von Kurven und Oberflächen.

Jede kontinuierliche Funktion

ist integrierbar (Zum Beispiel im Sinne des Riemann Integral). Das Gegenteil gilt nicht als (integrierbar, aber diskontinuierlich) Zeichenfunktion zeigt an.

Punktuelle und gleichmäßige Grenzen

Angenommen Reihenfolge

von Funktionen so, dass die Grenze existiert für alle ${\ displayStyle x \ in d,}$, die resultierende Funktion ${\ displayStyle f (x)}$ wird als die bezeichnet punktuelle Grenze der Abfolge der Funktionen ${\ displaystyle \ links (f_ {n} \ rechts) _ {n \ in n}.}$ Die punktiöse Grenzfunktion muss nicht kontinuierlich sein, auch wenn alle Funktionen ${\ displayStyle f_ {n}}$ sind kontinuierlich, wie die Animation in der richtigen zeigt. Jedoch, f ist kontinuierlich, wenn alle Funktionen ${\ displayStyle f_ {n}}$ sind kontinuierlich und die Sequenz konvergiert gleichmäßig, bis zum einheitlicher Konvergenzsatz. Dieser Satz kann verwendet werden, um zu zeigen, dass die Exponentialfunktionen, Logarithmen, Quadratwurzel Funktion und trigonometrische Funktionen sind kontinuierlich.

Richtungs- und Halbkontinuität

Diskontinuierliche Funktionen können auf eingeschränkte Weise diskontinuierlich sein, was zum Konzept der Richtungskontinuität (oder der rechten und linken kontinuierlichen Funktionen) führt Halbkontinuität. Grob gesagt ist eine Funktion rechtskontinuierlich Wenn kein Sprung auftritt, wenn der Grenzpunkt von rechts angesprochen wird. Formal, f soll an dem Punkt rechtskontinuierlich sein c Wenn Folgendes gilt: für eine beliebige Zahl ${\ displayStyle \ varepsilon> 0}$ So klein, es gibt eine Reihe von Anzahl ${\ displayStyle \ Delta> 0}$ so dass für alle x im Bereich mit ${\ displayStyle c <x <c+\ delta,}$ der Wert von ${\ displayStyle f (x)}$ wird befriedigen

Dies ist die gleiche Bedingung wie bei kontinuierlichen Funktionen, außer dass es erforderlich ist, für zu halten x streng größer als c nur. Benötigen es stattdessen für alle x mit ${\ displayStyle c- \ delta <x <c}$ liefert den Begriff von links kontinuierlich Funktionen. Eine Funktion ist kontinuierlich, wenn sie nur dann sowohl rechtskontinuierlich als auch links kontinuierlich ist.

Eine Funktion f ist niedrigere halbkontinuierliche Wenn etwa alle Sprünge, die auftreten könnten, nur untergehen, aber nicht aufsteigen. Das heißt für jeden ${\ displayStyle \ varepsilon> 0,}$ Es gibt eine Nummer ${\ displayStyle \ Delta> 0}$ so dass für alle x im Bereich mit ${\ displayStyle | x-c | <\ delta,}$ der Wert von ${\ displayStyle f (x)}$ zufrieden

Der umgekehrte Zustand ist obere Halbkontinuität.

Kontinuierliche Funktionen zwischen metrischen Räumen

Das Konzept der kontinuierlichen Funktionen mit echten Wert kann auf Funktionen zwischen verallgemeinert werden Metrikräume. Ein metrischer Raum ist ein Satz ${\ displayStyle x}$ ausgestattet mit einer Funktion (genannt metrisch) ${\ displayStyle d_ {x},},}$ Das kann als Messung des Abstands von zwei Elementen in betrachtet werden X. Formal ist die Metrik eine Funktion

Das erfüllt eine Reihe von Anforderungen, insbesondere die Dreiecksungleichung. Mit zwei Metrikplätzen gegeben ${\ displayStyle \ links (x, d_ {x} \ rechts)}$ und ${\ displayStyle \ links (y, d_ {y} \ rechts)}$ und eine Funktion dann ${\ displayStyle f}$ ist an dem Punkt kontinuierlich ${\ displayStyle c \ in x}$ (in Bezug auf die angegebenen Metriken) Wenn für eine positive reelle Zahl ${\ displayStyle \ varepsilon> 0,}$ Es gibt eine positive reale Zahl ${\ displayStyle \ Delta> 0}$ so dass alles ${\ displayStyle x \ in x}$ befriedigend ${\ displayStyle d_ {x} (x, c) <\ delta}$ wird auch befriedigen ${\ displayStyle d_ {y} (f (x), f (c)) <\ varepsilon.}$ Wie bei den obigen realen Funktionen entspricht dies der Bedingung, dass für jede Sequenz ${\ displayStyle \ links (x_ {n} \ rechts)}$ in ${\ displayStyle x}$ mit Grenze ${\ displaystyle \ lim x_ {n} = c,}$ wir haben ${\ displaystyle \ lim f \ links (x_ {n} \ rechts) = f (c).}$ Der letztere Zustand kann wie folgt geschwächt werden: ${\ displayStyle f}$ ist an dem Punkt kontinuierlich ${\ displayStyle c}$ wenn und nur wenn für jede konvergente Sequenz ${\ displayStyle \ links (x_ {n} \ rechts)}$ in ${\ displayStyle x}$ mit Grenze ${\ displayStyle c}$, die Sequenz ${\ displaystyle \ links (f \ links (x_ {n} \ rechts) \ rechts)}$ ist ein Cauchy -Sequenz, und ${\ displayStyle c}$ ist in der Domäne von ${\ displayStyle f}$.

Der Satz von Punkten, an denen eine Funktion zwischen metrischen Räumen kontinuierlich ist ${\ displayStyle g _ {\ delta}}$ einstellen- Dies folgt aus dem ${\ displayStyle \ varepsilon -\ delta}$ Definition der Kontinuität.

Dieser Begriff der Kontinuität wird beispielsweise in angewendet Funktionsanalyse. Eine Schlüsselaussage in diesem Bereich besagt, dass a linearer Bediener

zwischen Normierte Vektorräume ${\ displayStyle v}$ und ${\ displayStyle W}$ (welche sind Vektorräume ausgestattet mit einem kompatiblen Norm, bezeichnet ${\ displayStyle \ | x \ |}$) ist kontinuierlich, wenn und nur wenn es ist begrenztdas heißt, es gibt eine Konstante ${\ displayStyle K}$ so dass für alle ${\ displayStyle x \ in V.}$

Uniform-, Hölder- und Lipschitz -Kontinuität

Das Konzept der Kontinuität für Funktionen zwischen metrischen Räumen kann auf verschiedene Weise gestärkt werden, indem der Weg einschränkt ${\ displayStyle \ Delta}$ kommt drauf an ${\ displayStyle \ varepsilon}$ und c in der obigen Definition. Intuitiv eine Funktion f wie oben ist gleichmäßig kontinuierlich Wenn die ${\ displayStyle \ Delta}$ hängt nicht von dem Punkt ab c. Genauer gesagt, es ist erforderlich, dass für jeden reelle Zahl ${\ displayStyle \ varepsilon> 0}$ Es gibt es ${\ displayStyle \ Delta> 0}$ so dass für jeden ${\ displayStyle c, b \ in x}$ mit ${\ displayStyle d_ {x} (b, c) <\ delta,}$ wir haben das ${\ displayStyle d_ {y} (f (b), f (c)) <\ varepsilon.}$ Somit ist jede gleichmäßig kontinuierliche Funktion kontinuierlich. Das Gegenteil gilt nicht im Allgemeinen, sondern gilt, wenn der Domänenraum X ist kompakt. Einheitlich kontinuierliche Karten können in der allgemeineren Situation von definiert werden einheitliche Räume.^[14]

Eine Funktion ist Hölder kontinuierlich mit Exponent α (eine reelle Zahl), wenn es eine Konstante gibt K so dass für alle ${\ displayStyle b, c \ in x,}$ die Ungleichheit

hält. Jede kontinuierliche Hölder -Funktion ist einheitlich kontinuierlich. Der spezielle Fall ${\ displayStyle \ alpha = 1}$ wird bezeichnet als Lipschitz -Kontinuität. Das heißt, eine Funktion ist Lipschitz kontinuierlich, wenn es eine Konstante gibt K so dass die Ungleichheit hält für jeden ${\ displayStyle b, c \ in X.}$^[15] Der Lipschitz -Zustand tritt beispielsweise in der Picard -Lindelöf -Theorem in Bezug auf die Lösungen von gewöhnliche Differentialgleichungen.

Kontinuierliche Funktionen zwischen topologischen Räumen

Ein weiterer, abstrakterer Begriff der Kontinuität ist die Kontinuität der Funktionen zwischen Topologische Räume in dem es im Allgemeinen keinen formalen Begriff der Entfernung gibt, wie es im Fall von gibt Metrikräume. Ein topologischer Raum ist ein Satz X zusammen mit einer Topologie auf X, was ein Satz von ist Untergruppen von X Erfüllen Sie einige Anforderungen in Bezug auf ihre Gewerkschaften und Schnittpunkte, die die Eigenschaften des Offene Bälle in metrischen Räumen, während sie dennoch über die sprechen können Nachbarschaften eines bestimmten Punktes. Die Elemente einer Topologie werden genannt Offene Untergruppen von X (in Bezug auf die Topologie).

Eine Funktion

zwischen zwei topologischen Räumen X und Y ist kontinuierlich, wenn für jeden offenen Satz ${\ displayStyle v \ subseteq y,}$ das umgekehrtes Bild ist eine offene Teilmenge von X. Das ist, f ist eine Funktion zwischen den Sätzen X und Y (Nicht über die Elemente der Topologie ${\ displayStyle t_ {x}}$), aber die Kontinuität von f hängt von den verwendeten Topologien ab X und Y.

Dies entspricht der Bedingung, dass die Vorbereitungen des geschlossene Sets (Welche Ergänzungen der offenen Untergruppen sind in Y sind geschlossen in X.

Ein extremes Beispiel: Wenn ein Satz X wird gegeben Diskrete Topologie (in dem jede Untergruppe geöffnet ist) alle Funktionen

zu jedem topologischen Raum T sind kontinuierlich. Andererseits, wenn X ist mit dem ausgestattet Indiskrete Topologie (in dem die einzigen offenen Untergruppen das leere Set sind und X) und der Raum T Set ist mindestens T₀Dann sind die einzigen kontinuierlichen Funktionen die ständigen Funktionen. Umgekehrt ist jede Funktion, deren Bereich indiskret ist, kontinuierlich.

Kontinuität an einem Punkt

Die Übersetzung in der Sprache der Nachbarschaften der ${\ displayStyle (\ varepsilon, \ delta)}$-definition der Kontinuität führt zu einer folgenden Definition der Kontinuität an einem Punkt:

Eine Funktion ${\ displayStyle f: x \ bis y}$ ist an einem Punkt kontinuierlich ${\ displayStyle x \ in x}$ wenn und nur wenn für eine Nachbarschaft V von ${\ displayStyle f (x)}$ in YEs gibt eine Nachbarschaft U von x so dass ${\ displayStyle f (u) \ subseteq v.}$

Diese Definition entspricht derselben Aussage mit Nachbarschaften, die auf offene Nachbarschaften beschränkt sind und kann auf verschiedene Weise durch Verwendung von Wiederholungen angezeigt werden Vorbereitungen eher als Bilder.

Auch wie jedes Set, das eine Nachbarschaft enthält, ist auch eine Nachbarschaft und ${\ displayStyle f^{-1} (v)}$ ist die größte Teilmenge U von X so dass ${\ displayStyle f (u) \ subseteq v,}$ Diese Definition kann vereinfacht werden in:

Eine Funktion ${\ displayStyle f: x \ bis y}$ ist an einem Punkt kontinuierlich ${\ displayStyle x \ in x}$ dann und nur dann, wenn ${\ displayStyle f^{-1} (v)}$ ist eine Nachbarschaft von x Für jede Nachbarschaft V von ${\ displayStyle f (x)}$ in Y.

Als offener Satz ist ein Set, das eine Nachbarschaft aller seiner Punkte ist, eine Funktion ${\ displayStyle f: x \ bis y}$ ist an jedem Punkt von kontinuierlich X Wenn und nur wenn es sich um eine kontinuierliche Funktion handelt.

Wenn X und Y sind metrische Räume, es ist gleichbedeutend, die zu berücksichtigen Nachbarschaftssystem von Offene Bälle zentriert um x und f(x) anstelle aller Nachbarschaften. Dies gibt das oben genannte zurück ${\ displayStyle \ varepsilon -\ delta}$ Definition der Kontinuität im Kontext von metrischen Räumen. Im Allgemeinen topologische Räume gibt es keinen Vorstellung von Neiigkeit oder Entfernung. Wenn jedoch der Zielraum a ist Hausdorff RaumEs ist immer noch wahr, dass f ist kontinuierlich bei a wenn und nur wenn die Grenze von f wie x Ansätze a ist f(a). An einem isolierten Punkt ist jede Funktion kontinuierlich.

Gegeben ${\ displayStyle x \ in x,}$ eine Landkarte ${\ displayStyle f: x \ bis y}$ ist kontinuierlich bei ${\ displayStyle x}$ wenn und nur wenn wann immer ${\ displaystyle {\ mathcal {b}}}$ ist ein Filter auf ${\ displayStyle x}$ das konvergiert zu ${\ displayStyle x}$ in ${\ displayStyle x,}$ was durch Schreiben ausgedrückt wird ${\ displayStyle {\ mathcal {b}} \ bis x,}$ dann notwendigerweise ${\ displayStyle f ({\ mathcal {b}}) \ bis f (x)}$ in ${\ displayStyle Y.}$ Wenn ${\ displayStyle {\ mathcal {n}} (x)}$ bezeichnet die Nachbarschaftsfilter bei ${\ displayStyle x}$ dann ${\ displayStyle f: x \ bis y}$ ist kontinuierlich bei ${\ displayStyle x}$ dann und nur dann, wenn ${\ displayStyle f ({\ mathcal {n}} (x)) \ bis f (x)}$ in ${\ displayStyle Y.}$^[16] Darüber hinaus geschieht dies nur, wenn die Vorfilter ${\ displayStyle f ({\ mathcal {n}} (x))}$ ist ein Filterbasis für den Nachbarschaftsfilter von ${\ displayStyle f (x)}$ in ${\ displayStyle Y.}$^[16]

Alternative Definitionen

Mehrere Äquivalente Definitionen für eine topologische Struktur existieren und somit gibt es mehrere äquivalente Möglichkeiten, eine kontinuierliche Funktion zu definieren.

Sequenzen und Netze

In mehreren Kontexten ist die Topologie eines Raum Punkte begrenzen. In vielen Fällen wird dies erreicht, indem angegeben wird, wann ein Punkt der ist Grenze einer SequenzAber für einige Räume, die in gewissem Sinne zu groß sind, gibt man auch an, wenn ein Punkt die Grenze für allgemeinere Punktesätze ist indiziert durch eine gerichteter Satz, bekannt als Netze. Eine Funktion ist (heine-) nur kontinuierlich, wenn sie Grenzen von Sequenzen für Sequenzen begrenzt. Im ersteren Fall reicht auch die Erhaltung der Grenzen aus; In letzterem kann eine Funktion alle Grenzen der Sequenzen bewahren, dennoch nicht kontinuierlich sein, und die Erhaltung von Netzen ist ein notwendiger und ausreichender Zustand.

Im Detail eine Funktion ${\ displayStyle f: x \ bis y}$ ist nacheinander kontinuierlich Wenn immer eine Sequenz ${\ displayStyle \ links (x_ {n} \ rechts)}$ in ${\ displayStyle x}$ konvergiert zu einer Grenze ${\ displayStyle x,}$ die Sequenz ${\ displaystyle \ links (f \ links (x_ {n} \ rechts) \ rechts)}$ konvergiert zu ${\ displayStyle f (x).}$ So sequentiell kontinuierliche Funktionen "bewahren sequentielle Grenzen". Jede kontinuierliche Funktion ist nacheinander kontinuierlich. Wenn ${\ displayStyle x}$ ist ein Erster zahlreicher Raum und Zählbare Auswahl Hält, dann gilt auch das Gegenteil: Jede Funktionsbehörden der sequentiellen Grenzwerte sind kontinuierlich. Insbesondere wenn, wenn ${\ displayStyle x}$ ist ein metrischer Raum, eine anschließende Kontinuität und Kontinuität sind gleichwertig. Für nicht erster zählbare Räume könnte eine sequentielle Kontinuität streng schwächer sein als die Kontinuität. (Die Räume, für die die beiden Eigenschaften gleichwertig sind Sequentielle Räume.) Dies motiviert die Berücksichtigung von Netzen anstelle von Sequenzen in allgemeinen topologischen Räumen. Kontinuierliche Funktionen bewahren Netzgrenzen und in der Tat charakterisiert diese Eigenschaft kontinuierliche Funktionen.

Betrachten Sie beispielsweise den Fall von realen Funktionen einer realen Variablen:^[17]

Verschlussoperator und Innenoperator Definitionen

In Bezug auf die Innere Operator, eine Funktion ${\ displayStyle f: x \ bis y}$ zwischen topologischen Räumen ist ununterbrochen, wenn und nur dann für jede Untergruppe ${\ displayStyle b \ subseteq y,}$

In Bezug auf die Schließung Operator, ${\ displayStyle f: x \ bis y}$ ist kontinuierlich, wenn und nur wenn für jede Untergruppe ${\ displayStyle a \ subseteq x,},}$

Das heißt, angesichts eines beliebigen Elements ${\ displayStyle x \ in x}$ Das gehört zur Schließung einer Teilmenge ${\ displayStyle a \ subseteq x,},}$ ${\ displayStyle f (x)}$ gehört notwendigerweise zur Schließung von ${\ displayStyle f (a)}$ in ${\ displayStyle Y.}$ Wenn wir das einen Punkt erklären ${\ displayStyle x}$ ist nahe bei Eine Teilmenge ${\ displayStyle a \ subseteq x}$ wenn ${\ displaystyle x \ in \ operatorname {cl} _ {x} a,},}$ Dann erlaubt diese Terminologie a einfaches Englisch Beschreibung der Kontinuität: ${\ displayStyle f}$ ist kontinuierlich, wenn und nur wenn für jede Untergruppe ${\ displayStyle a \ subseteq x,},}$ ${\ displayStyle f}$ Kartenpunkte, die nahe stehen ${\ displayStyle a}$ zu Punkten, die nahe stehen ${\ displayStyle f (a).}$ Ähnlich, ${\ displayStyle f}$ ist an einem festgelegten Punkt kontinuierlich ${\ displayStyle x \ in x}$ wenn und nur wenn wann immer ${\ displayStyle x}$ ist nahe an einer Untergruppe ${\ displayStyle a \ subseteq x,},}$ dann ${\ displayStyle f (x)}$ liegt in der Nähe ${\ displayStyle f (a).}$

Anstatt topologische Räume durch ihre anzugeben Offene Untergruppen, jede Topologie auf ${\ displayStyle x}$ kann Alternativ bestimmt werden durch eine Verschlussbetreiber oder von an Innenoperator. Insbesondere die Karte, die eine Teilmenge sendet ${\ displayStyle a}$ einen topologischen Raum ${\ displayStyle x}$ zu seinem Topologischer Verschluss ${\ displayStyle \ operatorname {cl} _ {x} a}}$ erfüllt das Kuratowski -Verschluss Axiome. Umgekehrt für jeden Verschlussbetreiber ${\ displayStyle a \ mapstow \ operatorname {cl} a}$ Es gibt eine einzigartige Topologie ${\ displayStyle \ tau}$ an ${\ displayStyle x}$ (speziell, $oder$) so dass für jede Untergruppe ${\ displayStyle a \ subseteq x,},}$ ${\ displayStyle \ operatorname {cl} a}}$ ist gleich dem topologischen Verschluss ${\ displayStyle \ operatorname {cl} _ {(x, \ tau)} a}$ von ${\ displayStyle a}$ in ${\ displayStyle (x, \ tau).}$ Wenn die Sets ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ sind jeweils mit Verschlussbetreibern verbunden (beide bezeichnet durch ${\ displayStyle \ operatorname {cl}}$) Dann eine Karte ${\ displayStyle f: x \ bis y}$ ist kontinuierlich, wenn und nur wenn $oder$ Für jede Untergruppe ${\ displayStyle a \ subseteq X.}$

In ähnlicher Weise sendet die Karte, die eine Teilmenge sendet ${\ displayStyle a}$ von ${\ displayStyle x}$ zu seinem Topologisches Innenraum ${\ displayStyle \ operatorname {int} _ {x} a}}$ definiert an Innenoperator. Umgekehrt jeder Innenpersonal ${\ displayStyle a \ mapstow \ operatorname {int} a}$ induziert eine einzigartige Topologie ${\ displayStyle \ tau}$ an ${\ displayStyle x}$ (speziell, ${\ displayStyle \ tau: = \ {\ operatorname {int} a: a \ subseteq x \}}$) so dass für jeden ${\ displayStyle a \ subseteq x,},}$ ${\ displayStyle \ operatorname {int} a}}$ ist gleich dem topologischen Innenraum ${\ displayStyle \ operatorname {int} _ {(x, \ tau)} a}$ von ${\ displayStyle a}$ in ${\ displayStyle (x, \ tau).}$ Wenn die Sets ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ sind jeweils mit Innenoperatoren verbunden (beide bezeichnet durch ${\ displayStyle \ operatorname {int}}$) Dann eine Karte ${\ displayStyle f: x \ bis y}$ ist kontinuierlich, wenn und nur wenn $oder$ Für jede Untergruppe ${\ displayStyle b \ subseteq y.}$^[18]

Filter und Vorfilter

Kontinuität kann auch in Bezug auf die Art charakterisiert werden Filter. Eine Funktion ${\ displayStyle f: x \ bis y}$ ist ununterbrochen, wenn und nur wenn ein Filter ${\ displaystyle {\ mathcal {b}}}$ an ${\ displayStyle x}$ konvergiert in ${\ displayStyle x}$ bis zu einem Punkt ${\ displayStyle x \ in x,}$ dann ist die Vorfilter ${\ displayStyle f ({\ mathcal {b}})}$ konvergiert ein ${\ displayStyle y}$ zu ${\ displayStyle f (x).}$ Diese Charakterisierung bleibt wahr, wenn das Wort "Filter" durch "Präfilter" ersetzt wird.^[16]

Eigenschaften

Wenn ${\ displayStyle f: x \ bis y}$ und ${\ displayStyle g: y \ bis z}$ sind kontinuierlich, dann auch die Komposition ${\ displayStyle g \ circ f: x \ bis z.}$ Wenn ${\ displayStyle f: x \ bis y}$ ist kontinuierlich und

• X ist kompakt, dann f(X) ist kompakt.
• X ist in Verbindung gebracht, dann f(X) Ist verbunden.
• X ist Pfad verbunden, dann f(X) ist Pfad verbunden.
• X ist Lindelöf, dann f(X) ist Lindelöf.
• X ist trennbar, dann f(X) ist trennbar.

Die möglichen Topologien auf einem festen Satz X sind teilweise bestellt: Eine Topologie ${\ displayStyle \ Tau _ {1}}$ wird gesagt, dass Größe als eine andere Topologie ${\ displayStyle \ Tau _ {2}}$ (Notation: ${\ displayStyle \ tau _ {1} \ subseteq \ tau _ {2}}$) Wenn jede offene Teilmenge in Bezug auf ${\ displayStyle \ Tau _ {1}}$ ist auch offen in Bezug auf ${\ displayStyle \ Tau _ {2}.}$ Dann ist die Identitätskarte

ist kontinuierlich, wenn und nur wenn ${\ displayStyle \ tau _ {1} \ subseteq \ tau _ {2}}$ (siehe auch Vergleich von Topologien). Allgemeiner eine kontinuierliche Funktion bleibt ununterbrochen, wenn die Topologie ${\ displayStyle \ Tau _ {y}}$ wird durch a ersetzt Grobere Topologie und/oder ${\ displayStyle \ tau _ {x}}$ wird durch a ersetzt feinere Topologie.

Homomorphismen

Symmetrisch zum Konzept einer kontinuierlichen Karte ist eine MAP OPENfür welche Bilder von offenen Sets sind offen. In der Tat, wenn eine offene Karte f hat an Umkehrfunktion, diese Inverse ist kontinuierlich und wenn eine kontinuierliche Karte g hat eine umgekehrte, diese Umkehrung ist offen. Angenommen Bijektiv Funktion f zwischen zwei topologischen Räumen, der umgekehrten Funktion ${\ displayStyle f^{-1}}$ muss nicht kontinuierlich sein. Eine bijektive kontinuierliche Funktion mit kontinuierlicher inverser Funktion wird als a genannt Homomorphismus.

Wenn eine kontinuierliche Bijection als seine hat Domain a Kompaktraum und seine Codomäne ist HausdorffDann ist es ein Homeomorphismus.

Topologien über kontinuierliche Funktionen definieren

Eine Funktion beigefügt

wo X ist ein topologischer Raum und S ist ein Satz (ohne bestimmte Topologie), die Endtopologie an S wird definiert, indem die offenen Sätze von gelassen werden S Seien Sie diese Teilmengen A von S für welche ${\ displayStyle f^{-1} (a)}$ ist offen in X. Wenn S hat eine bestehende Topologie, f ist in Bezug auf diese Topologie kontinuierlich, wenn die vorhandene Topologie ist Größe als die endgültige Topologie auf S. Somit kann die endgültige Topologie als die beste Topologie charakterisiert werden S das macht f kontinuierlich. Wenn f ist surjektivDiese Topologie ist kanonisch mit dem identifiziert Quotiententopologie unter dem Äquivalenzbeziehung definiert von f.

Doppelt für eine Funktion f von einem Set S zu einem topologischen Raum X, das Ersttopologie an S wird definiert, indem jede Teilmenge als offener Set festgelegt wird A von S so dass ${\ displayStyle a = f^{-1} (u)}$ Für eine offene Untergruppe U von X. Wenn S hat eine bestehende Topologie, f ist in Bezug auf diese Topologie kontinuierlich, wenn die vorhandene Topologie feiner ist als die erste Topologie auf S. Somit kann die anfängliche Topologie als die grobste Topologie an charakterisiert werden S das macht f kontinuierlich. Wenn f ist injektiv, diese Topologie ist kanonisch mit dem identifiziert Subspace -Topologie von S, als Teilmenge von angesehen von X.

Eine Topologie an einem Set S wird einzigartig durch die Klasse aller kontinuierlichen Funktionen bestimmt ${\ displayStyle s \ bis x}$ in alle topologischen Räume X. DoppeltEine ähnliche Idee kann auf Karten angewendet werden ${\ displayStyle x \ bis S.}$

Verwandte Vorstellungen

Wenn ${\ displayStyle f: s \ bis y}$ ist eine kontinuierliche Funktion von einer Teilmenge ${\ displayStyle S}$ einen topologischen Raum ${\ displayStyle x}$ dann ein kontinuierliche Erweiterung von ${\ displayStyle f}$ zu ${\ displayStyle x}$ ist eine kontinuierliche Funktion ${\ displayStyle f: x \ bis y}$ so dass ${\ displayStyle f (s) = f (s)}}$ für jeden ${\ displayStyle s \ in s,}$ Welches ist eine Bedingung, die oft als geschrieben wurde ${\ displayStyle f = f {\ big \ vert} _ {s}.}$ In Worten ist es jede kontinuierliche Funktion ${\ displayStyle f: x \ bis y}$ das einschränken zu ${\ displayStyle f}$ an ${\ displayStyle S.}$ Dieser Begriff wird zum Beispiel in der verwendet Tietze -Erweiterungstheorem und die Hahn -Banach -Theorem. War ${\ displayStyle f: s \ bis y}$ Nicht kontinuierlich, dann konnte es unmöglich eine kontinuierliche Erweiterung haben. Wenn ${\ displayStyle y}$ ist ein Hausdorff Raum und ${\ displayStyle S}$ ist ein dichte Untergruppe von ${\ displayStyle x}$ dann eine kontinuierliche Erweiterung von ${\ displayStyle f: s \ bis y}$ zu ${\ displayStyle x,}$ Wenn einer existiert, wird sie einzigartig sein. Das Blumberg -Theorem stellt fest, dass wenn ${\ displayStyle f: \ mathbb {r} \ to \ mathbb {r}}$ ist eine willkürliche Funktion, dann gibt es eine dichte Untergruppe ${\ displayStyle d}$ von ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ so dass die Einschränkung ${\ displayStyle f {\ big \ vert} _ {d}: d \ to \ mathbb {r}}$ ist kontinuierlich; Mit anderen Worten, jede Funktion ${\ displaystyle \ mathbb {r} \ to \ mathbb {r}}$ Kann auf eine dichte Untergruppe beschränkt werden, auf der sie kontinuierlich ist.

Verschiedene andere mathematische Bereiche verwenden das Konzept der Kontinuität in verschiedenen, aber verwandten Bedeutungen. Zum Beispiel in Ordnungstheorie, eine Bestellvorstellungsfunktion ${\ displayStyle f: x \ bis y}$ zwischen bestimmten Arten von teilweise bestellte Sets ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ ist kontinuierlich, wenn für jeden gerichtete Untergruppe ${\ displayStyle a}$ von ${\ displayStyle x,}$ wir haben ${\ displayStyle \ sup f (a) = f (\ sup a).}$ Hier ${\ displayStyle \, \ sup \,}$ ist der Supremum in Bezug auf die Auftragungen in ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y,}$ beziehungsweise. Dieser Begriff der Kontinuität entspricht der topologischen Kontinuität, wenn die teilweise geordneten Sets angegeben sind Scott -Topologie.^[19][20]

Im Kategoriestheorie, a Functor

zwischen zwei Kategorien wird genannt kontinuierlich Wenn es mit klein pendelt Grenzen. Das heißt, für alle kleinen (dh durch einen Satz indiziert ${\ displayStyle I,}$ im Gegensatz zu a Klasse) Diagramm von Objekte in ${\ displayStyle {\ mathcal {c}}}$.

A Kontinuitätsraum ist eine Verallgemeinerung von metrischen Räumen und Positionen,^[21][22] das nutzt das Konzept von Quantalesund das kann verwendet werden, um die Vorstellungen von metrischen Räumen zu vereinen und Domänen.^[23]

Siehe auch

• Richtungsversicherungsfunktion - Ein Analogon einer kontinuierlichen Funktion in diskreten Räumen.

Verweise

Literaturverzeichnis

• Dugundji, James (1966). Topologie. Boston: Allyn und Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
• "Kontinuierliche Funktion", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press, 2001 [1994]