Bau von T-Norms

In Mathematik, T-Norms sind eine besondere Art von binären Operationen im realen Einheitsintervall [0, 1]. Verschiedene Konstruktionen von T-NormsEntweder durch explizite Definition oder durch Transformation aus zuvor bekannten Funktionen liefern Sie eine Pension von Beispielen und Klassen von T-Norms. Dies ist wichtig, z. B. für das Finden Gegenbeispiele oder Lieferung von T-Norms mit bestimmten Eigenschaften für die Verwendung in technischen Anwendungen von Fuzzy Logic. Zu den wichtigsten Konstruktionsweisen von T-Norms gehört die Verwendung Generatoren, definieren Parametrische Klassen von T-Norms, Rotationen, oder Ordinale Summen von T-Norms.

Relevanter Hintergrund finden Sie in dem Artikel über T-Norms.

Generatoren von T-Norms

Die Methode zur Konstruktion von T-Norms durch Generatoren besteht darin, eine unäre Funktion zu verwenden (Generator) um einige bekannte binäre Funktion (meistens Zugabe oder Multiplikation) in einen T-Norm zu verwandeln.

Um die Verwendung von nicht-bijektiven Generatoren zu ermöglichen, die nicht die haben Umkehrfunktion, der folgende Begriff von Pseudoinversenfunktion ist angestellt:

Lassen f: [aAnwesendb] → [cAnwesendd] eine monotonische Funktion zwischen zwei geschlossenen Subintervalen von sein erweiterte reale Linie. Das Pseudoinversenfunktion zu f ist die Funktion f ^(–1): [cAnwesendd] → [aAnwesendb] definiert als

$oder } f {\ text {nicht dekreting}} \\\ sup \ {x \ in [a, b] \ mid f (x)> y \} & {\ text {für}} f {\ text {nicht Erhöhen.}} \ end {cases}}}$

Additivgeneratoren

Die Konstruktion von T-Norms durch Additivgeneratoren basiert auf dem folgenden Satz:

Lassen f: [0, 1] → [0,+∞] sei eine streng abnehmende Funktion, so dass f(1) = 0 und f(x) + f(y) liegt im Bereich von f oder gleich f(0⁺) oder +∞ für alle x, y in [0, 1]. Dann die Funktion T: [0, 1]² → [0, 1] definiert als

T(x, y) = f ^(-1)(f(x) + f(y))

ist ein T-Norm.

Alternativ kann man vermeiden, den Begriff der Pseudo-Invers-Funktion zu verwenden, indem man es hat ${\ displayStyle t (x, y) = f^{-1} \ links (\ min \ links (f (0^{+}), f (x)+f (y) \ rechts) \ rechts)}}$. Das entsprechende Rückstand kann dann als ausgedrückt werden als ${\ displayStyle (x \ rightarrow y) = f^{-1} \ links (\ max \ links (0, f (y) -f (x) \ rechts) \ rechts)}$. Und das biresiduum als ${\ displayStyle (x \ leftrightarrow y) = f^{-1} \ links (\ links | f (x) -f (y) \ rechts | \ rechts)}}$.

Wenn ein T-Norm T Ergebnisse der letzteren Konstruktion durch eine Funktion f das ist in 0 rechtskontinuierlich f wird als ein genannt Additivgenerator von T.

Beispiele:

• Die Funktion f(x) = 1 - x zum x In [0 ist 1] ein Additivgenerator des łukaSiewicz-T-Norms.
• Die Funktion f definiert als f(x) = –Log (x) Wenn 0 <<< x ≤ 1 und f(0) = +∞ ist ein additiver Generator des Produkt-T-Norms.
• Die Funktion f definiert als f(x) = 2 - x wenn 0 ≤ x < 1 and f(1) = 0 ist ein Additivgenerator des drastischen T-Norms.

Grundlegende Eigenschaften von Additivgeneratoren werden vom folgenden Satz zusammengefasst:

Lassen f: [0, 1] → [0,+∞] Sei ein Additivgenerator eines T-Norms T. Dann:

• T ist ein archimedanischer T-Norm.
• T ist kontinuierlich, wenn und nur wenn f ist kontinuierlich.
• T ist streng monoton, wenn und nur wenn f(0) = +∞.
• Jedes Element von (0, 1) ist ein nilpotentes Element von T wenn und nur wenn f (0) < +∞.
• Das Vielfache von f durch eine positive Konstante ist auch ein Additivgenerator von T.
• T Hat keine nicht trivialen Idempotente. (Folglich hat der Mindest-T-Norm keinen additiven Generator.)

Multiplikative Generatoren

Der Isomorphismus zwischen Addition auf [0,+∞] und Multiplikation auf [0, 1] durch den Logarithmus und die exponentielle Funktion ermöglichen eine Zwei-Wege-Transformationen zwischen additiven und multiplikativen Generatoren eines T-Norms. Wenn f ist ein additiver Generator eines T-Norms Tdann die Funktion h: [0, 1] → [0, 1] definiert als h(x) = e^−f(x) ist ein multiplikativer Generator von Tdas heißt eine Funktion h so dass

• h ist streng zunehmend
• h(1) = 1
• h(x) · h(y) liegt im Bereich von h oder gleich 0 oder gleich h(0+) für alle x, y In [0, 1]
• h ist in 0 rechtskontinuierlich
• T(x, y) = h ^(–1)(h(x) · h(y)).

Umgekehrt, wenn h ist ein multiplikativer Generator von T, dann f: [0, 1] → [0,+∞] definiert durch f(x) = −log (h(x)) ist ein Additivgenerator von T.

Parametrische Klassen von T-Norms

Viele Familien verwandter T-Norms können je nach Parameter durch eine explizite Formel definiert werden p. In diesem Abschnitt sind die bekanntesten parametrisierten Familien von T-Norms aufgeführt. Die folgenden Definitionen werden in der Liste verwendet:

• Eine Familie von T-Norms T_p parametrisiert durch p ist zunehmen wenn T_p(x, y) ≤ T_q(x, y) für alle x, y in [0, 1] wann immer p ≤ q (Ähnlich für abnehmen und streng zunehmen oder abnehmen).
• Eine Familie von T-Norms T_p ist kontinuierlich in Bezug auf den Parameter p wenn

${\ displayStyle \ lim _ {p \ to p_ {0}} t_ {p} = t_ {p_ {0}}}$

für alle Werte p₀ des Parameters.

Schweizer-Spalt-T-Norms

Diagramm (3D und Konturen) des Schweizer-Spalt-T-Norms mit p = 2

Die Familie von Schweizer-Spalt-T-Norms, eingeführt von Berthold Schweizer und Abe Sklar In den frühen 1960er Jahren wird die parametrische Definition angegeben

$oder \\ (x^{p}+y^{p} -1)^{1/p} & {\ text {if}}-\ infty <p <0 \\ t _ {\ mathrm {prod}} (x , y) & {\ text {if}} p = 0 \\ (\ max (0, x^{p}+y^{p} -1))^{1/p} & {\ text {if} } 0 <p <+\ infty \\ t _ {\ mathhrm {d}} (x, y) & {\ text {if}} p =+\ infty. \ End {cases}}}$

Ein Schweizer-Spalt-T-Norm ${\ displayStyle t_ {p}^{\ mathrm {ss}}}$ ist

• Archimedan, wenn und nur wenn p > −∞
• Kontinuierlich, wenn und nur wenn p < +∞
• Streng, wenn und nur wenn −∞ < p ≤ 0 (für p = −1 Es ist das Hamacher -Produkt)
• Nilpotent wenn und nur wenn 0 <<<< p < +∞ (for p = 1 Es ist das łukaSiewicz t-Norm).

Die Familie nimmt streng ab für p ≥ 0 und kontinuierlich in Bezug auf p in [−∞,+∞]. Ein Additivgenerator für ${\ displayStyle t_ {p}^{\ mathrm {ss}}}$ für −∞ < p < +∞ is

$oder P}} {P}} & {\ text {sonst.}} \ end {cases}}}$

Hamacher-T-Norms

Die Familie von Hamacher-T-Norms, eingeführt von Horst Hamacher Ende der 1970er Jahre, wird durch die folgende parametrische Definition für 0 ≤ gegeben p ≤ +∞:

$oder +\ infty \\ 0 & {\ text {if}} p = x = y = 0 \\ {\ frac {xy} {p+(1-p) (x+y-xy)}} & {\ text {sonst .}} \ end {cases}}}$

Der T-Norm ${\ displayStyle t_ {0}^{\ mathrm {h}}}$ wird genannt Hamacher -Produkt.

Hamacher-T-Norms sind die einzigen T-Norms, die rationale Funktionen sind. Der Hamacher T-Norm ${\ displayStyle t_ {p}^{\ mathrm {h}}}$ ist streng, wenn und nur wenn p < +∞ (for p = 1 Es ist das Produkt t-Norm). Die Familie nimmt streng ab und ständig in Bezug auf p. Ein Additivgenerator von ${\ displayStyle t_ {p}^{\ mathrm {h}}}$ zum p < +∞ is

$oder \ log {\ frac {p+(1-p) x} {x}} & {\ text {sonst.}} \ end {cases}}}$

Frank T-Norms

Die Familie von Frank T-Norms, eingeführt von M. J. Frank Ende der 1970er Jahre, wird durch die parametrische Definition für 0 ≤ gegeben p ≤ +∞ wie folgt:

$oder 0 \\ t _ {\ mathhrm {prod}} (x, y) & {\ text {if}} p = 1 \\ t _ {\ mathhrm {luk}} (x, y) & {\ text {if}} P =+\ Infty \\\ log _ {p} \ links (1+{\ frac {(p^{x} -1) (p^{y} -1)} {p-1}} \ rechts) & {\ text {sonst.}} \ end {cases}}}$

Der Frank T-Norm ${\ displayStyle t_ {p}^{\ mathrm {f}}}$ ist streng, wenn p < +∞. The family is strictly decreasing and continuous with respect to p. Ein Additivgenerator für ${\ displayStyle t_ {p}^{\ mathrm {f}}}$ ist

$oder } p =+\ infty \\\ log {\ frac {p-1} {p^{x} -1}} & {\ text {ansonsten.} \ end {cases}}}}}}}$

Yager-T-Norms

Grafik des Yager-T-Norms mit p = 2

Die Familie von Yager-T-Norms, eingeführt in den frühen 1980er Jahren von Ronald R. Yager, ist für 0 ≤ gegeben p ≤ +∞ durch

$oder 0 \\\ Max \ links (0,1-((1-x)^{p}+(1-y)^{p})^{1/p} \ rechts) & {\ text {if}} 0 <p <+\ infty \\ t _ {\ mathhrm {min}} (x, y) & {\ text {if}} p =+\ infty \ end {cases}}}}}}$

Der Yager T-Norm ${\ displayStyle t_ {p}^{\ mathrm {y}}}$ ist nilpotent, wenn und nur wenn 0 <<<< p < +∞ (for p = 1 Es ist das łukaSiewicz t-Norm). Die Familie nimmt streng zu und kontinuierlich in Bezug auf p. Der Yager T-Norm ${\ displayStyle t_ {p}^{\ mathrm {y}}}$ für 0 << p < +∞ arises from the Łukasiewicz t-norm by raising its additive generator to the power of p. Ein Additivgenerator von ${\ displayStyle t_ {p}^{\ mathrm {y}}}$ für 0 << p < +∞ is

${\ displayStyle f_ {p}^{\ mathrm {y}} (x) = (1-x)^{p}.}$

Aczél-Alsina-T-Norms

Die Familie von Aczél-Alsina-T-Norms, eingeführt in den frühen 1980er Jahren von János Aczél und Claudi Alsina, ist für 0 ≤ gegeben p ≤ +∞ durch

$oder 0 \\ e^{-\ links (| \ log x |^{p}+| \ log y |^{p} \ rechts)^{1/p}} & {\ text {if}} 0 <P. <+\ infty \\ t _ {\ mathrm {min}} (x, y) & {\ text {if}} p =+\ infty \ end {cases}}}$

Der Aczél-Alsina-T-Norm ${\ displayStyle t_ {p}^{\ mathrm {aa}}}$ ist streng, wenn und nur wenn 0 <<< p < +∞ (for p = 1 Es ist das Produkt t-Norm). Die Familie nimmt streng zu und kontinuierlich in Bezug auf p. Der Aczél-Alsina-T-Norm ${\ displayStyle t_ {p}^{\ mathrm {aa}}}$ für 0 << p < +∞ arises from the product t-norm by raising its additive generator to the power of p. Ein Additivgenerator von ${\ displayStyle t_ {p}^{\ mathrm {aa}}}$ für 0 << p < +∞ is

${\ displayStyle f_ {p}^{\ mathrm {aa}} (x) = (-\ log x)^{p}.}$

Dombi-T-Norms

Die Familie von Dombi-T-Norms, eingeführt von József Dombi (1982), ist für 0 ≤ angegeben p ≤ +∞ durch

$oder T _ {\ mathhrm {d}} (x, y) & {\ text {if}} p = 0 \\ t _ {\ mathrm {min}} (x, y) & {\ text {if}} p =+ \ Infy \\ {\ frac {1} {1+ \ links (\ links ({\ frac {1-x} {x} \ \ rechts)^{P}+\ links ({\ frac {1-y} oder$

Der Dombi t-Norm ${\ displayStyle t_ {p}^{\ mathrm {d}}}$ ist streng, wenn und nur wenn 0 <<< p < +∞ (for p = 1 Es ist das Hamacher -Produkt). Die Familie nimmt streng zu und kontinuierlich in Bezug auf p. Der Dombi t-Norm ${\ displayStyle t_ {p}^{\ mathrm {d}}}$ für 0 << p < +∞ arises from the Hamacher product t-norm by raising its additive generator to the power of p. Ein Additivgenerator von ${\ displayStyle t_ {p}^{\ mathrm {d}}}$ für 0 << p < +∞ is

$oder$

Sugeno-Weber-T-Norms

Die Familie von Sugeno-Weber-T-Norms wurde Anfang der 1980er Jahre von Siegfried Weber eingeführt; das dual T-Konformen wurden bereits in den frühen 1970er Jahren von Michio Sugeno definiert. Es ist für -1 ≤ gegeben p ≤ +∞ durch

$oder -1 \\\ max \ links (0, {\ frac {x+y-1+pxy} {1+p}} \ rechts) & {\ text {if}}-1 <p <+\ infty \\ T _ {\ mathhrm {prod}} (x, y) & {\ text {if}} p =+\ infty \ end {cases}}}$

Der Sugeno-Weber-T-Norm ${\ displayStyle t_ {p}^{\ mathrm {sw}}}$ ist nilpotent, wenn und nur wenn –1 < p < +∞ (for p = 0 Es ist das łukaSiewicz t-Norm). Die Familie nimmt streng zu und kontinuierlich in Bezug auf p. Ein Additivgenerator von ${\ displayStyle t_ {p}^{\ mathrm {sw}}}$ für 0 << p < +∞ [sic] is

$oder (1+px) & {\ text {sonst.}} \ End {cases}}}$

Ordinale Summen

Das Ordinale Summe Konstruiert ein T-Norm aus einer Familie von T-Norms, indem sie in disjunkte Subintervalen des Intervalls [0, 1] und das T-Norm vervollständigt werden, indem das Minimum auf dem Rest des Einheitsquadrats verwendet wird. Es basiert auf dem folgenden Satz:

Lassen T_i zum i in einem Indexsatz I eine Familie von T-Norms sein und (a_iAnwesendb_i) Eine Familie von paarweisen disjunkten (nicht leeren) offenen Subintervalen von [0, 1]. Dann die Funktion T: [0, 1]² → [0, 1] definiert als

$oder }} {b_ {i} -a_ {i}}}, {\ frac {y-a_ {i}} {b_ {i} -a_ {i}} \ rechts) & {\ text {if}} {if}} {if}} x , y \ in [a_ {i}, b_ {i}]^{2} \\\ min (x, y) & {\ text {sonst}} \ end {cases}}}$

ist ein T-Norm.

Ordinale Summe des T-Norms łukasiewicz im Intervall [0,05, 0,45] und des Produkt-T-Norms im Intervall [0,55, 0,95]

Das resultierende T-Norm wird als das genannt Ordinale Summe der Summen (T_i, a_i, b_i) zum i in I, bezeichnet durch

$oder$

oder $oder$ wenn I ist endlich.

Ordinale Summen von T-Norms genießen die folgenden Eigenschaften:

• Jedes T-Norm ist eine triviale Ordnungssumme von sich selbst im gesamten Intervall [0, 1].
• Die leere ordinale Summe (für den leeren Indexsatz) ergibt den Mindest-T-Norm T_Mindest. Summen mit dem minimalen T-Norm können willkürlich hinzugefügt oder weggelassen werden, ohne das resultierende T-Norm zu ändern.
• Es kann ohne Verlust der Allgemeinheit angenommen werden, die der Indexsatz ist zählbar, seit der echte Linie kann nur zu zähnen disjunkten Subintervalen enthalten.
• Eine ordinale Summe von T-Norm ist kontinuierlich, wenn jeder Summe ein kontinuierlicher T-Norm ist. (Analog für die linke Kontinuität.)
• Eine ordinale Summe ist archimedan, wenn es nur dann eine triviale Summe eines archimedischen T-Norms im gesamten Einheitsintervall ist.
• Eine ordinale Summe hat null Divisors, wenn und nur wenn für einen Index i, a_i = 0 und T_i hat keine Divisoren. (Analog für nilpotente Elemente.)

Wenn $oder$ ist ein linkskontinuierlicher T-Norm, dann sein Rückstand R wird wie folgt gegeben:

$oder i} \ links ({\ frac {x-a_ {i}} {b_ {i} -a_ {i}}, {\ frac {y-a_ {i}} {b_ {i} -a_ {i} }} \ rechts) & {\ text {if}} a_ {i} <y <x \ leq b_ {i} \\ y & {\ text {sonst.}} \ end {cases}}}$

wo R_i ist das Rückstand von T_i, für jeden i in I.

Ordinale Summen kontinuierlicher T-Norms

Die ordinale Summe einer Familie kontinuierlicher T-Norms ist ein kontinuierlicher T-Norm. Durch den Mostert-Shields-Theorem ist jeder kontinuierliche T-Norm als ordinale Summe der archimedischen kontinuierlichen T-Norms ausdrücklich. Da letztere entweder nilpotent (und dann isomorph für den łukasiewicz t-Norm) oder streng (dann isomorph für das Produkt t-Norm) sind, ist jeder kontinuierliche T-Norm isomorph für die ordinale Summe von łukasiewicz und Produkt-T-Norms.

Wichtige Beispiele für ordinale Summen kontinuierlicher T-Norms sind die folgenden:

• Dubois-Prade-T-Norms, Vorgestellt von Didier Dubois und Henri Prade in den frühen 1980er Jahren sind die ordinalen Summen des Produkts T-Norm auf [0,,p] für einen Parameter p in [0, 1] und dem (Standard) Mindest-Norm auf dem Rest des Einheitsintervalls. Die Familie von Dubois-Prade-T-Norms nimmt in Bezug auf p..
• Bürgermeister-Kunst-T-Norms, eingeführt von Gaspar Bürgermeister und Joan Torrens Anfang der neunziger Jahre sind die ordinalen Summen des łukasiewicz t-Norms auf [0,,p] für einen Parameter p in [0, 1] und dem (Standard) Mindest-Norm auf dem Rest des Einheitsintervalls. Die Familie der Bürgermeister-Kunst-T-Norms nimmt in Bezug auf die Familie ab und kontinuierlich p..

Rotationen

Der Bau von T-Norms durch Rotation wurde von Sándor Jenei (2000) eingeführt. Es basiert auf dem folgenden Satz:

Lassen T ein linkskontinuierlicher T-Norm ohne sein Zero Divisors, N: [0, 1] → [0, 1] Die Funktion, die 1 - zuweist - x zu x und t = 0,5. Lassen T₁ die lineare Transformation von sein T hinein [t, 1] und ${\ displayStyle r_ {t_ {1}} (x, y) = \ sup \ {z \ mid t_ {1} (z, x) \ leq y \}.}$ Dann die Funktion

$oder {T_ {1}} (x, n (y))) & {\ text {if}} x \ in (t, 1] {\ text {und}} y \ in [0, t] \\ n (( R_ {t_ {1}} (y, n (x))) & {\ text {if}} x \ in [0, t] {\ text {und}} y \ in (t, 1] \\ 0 & {\ text {if}} x, y \ in [0, t] \ end {cases}}}$

ist ein linkskontinuierlicher T-Norm, der genannt wird Drehung des T-Norms T.

Das Nilpotent Minimum als Rotation der Minimum T-Norm

Geometrisch kann die Konstruktion als erstes Schrumpfen des T-Norms beschrieben werden T auf das Intervall [0,5, 1] ​​und drehen Sie ihn dann im Winkel 2π/3 in beiden Richtungen um die Linie, die die Punkte (0, 0, 1) und (1, 1, 0) verbinden.

Rotationen der ŁukaSiewicz, Produkt, Nilpotent Minimum, und drastisch T-Norm

Der Satz kann verallgemeinert werden N irgendein starke Negationdas heißt, eine involutive streng abnehmende kontinuierliche Funktion auf [0, 1] und für t das Einzigartige nehmen Fixpunkt vonN.

Das resultierende T-Norm genießt Folgendes Rotationsinvarianz Eigentum in Bezug aufN:

T(x, y) ≤ z dann und nur dann, wenn T(y, N(z)) ≤ N(x) für alle x, y, z in [0, 1].

Die Negation durch T_verrotten ist die Funktion N, das ist, N(x) = R_verrotten(x, 0) für alle x, wo R_verrotten ist das Rückstand vonT_verrotten.

Siehe auch

• T-Norm
• T-Norm Fuzzy Logics

Verweise

• Klement, Erich Peter; Mesiar, Radko; und Pap, Endre (2000), Dreieckige Normen. Dordrecht: Kluwer. ISBN0-7923-6416-3.
• Fodor, János (2004), "Linkskontinuierliche T-Norms in Fuzzy Logic: Ein Überblick". Acta Polytechnica hungarica 1(2), ISSN 1785-8860 [1]
• Dombi, József (1982), "Eine allgemeine Klasse von Fuzzy -Operatoren, der Demorgan -Klasse von Fuzzy -Operatoren und Fuzziness -Maßnahmen, die von Fuzzy -Operatoren induziert wurden". Fuzzy -Sets und -Systeme 8, 149–163.
• Jenei, Sándor (2000), "Struktur von linken kontinuierlichen T-Norms mit starken induzierten Negationen. (I) Rotationskonstruktion". Journal of Applied Nonclassical Logics 10, 83–92.
• Navara, Mirko (2007), "Dreieckliche Normen und Conorms", Scholarpedia [2].