Konsistenz

Im klassisch deduktive Logik, a konsistent Theorie ist einer, der nicht zu einer logischen führt Widerspruch.^[1] Der Mangel an Widerspruch kann in beiden definiert werden semantisch oder syntaktisch Bedingungen. Die semantische Definition besagt, dass eine Theorie konsistent ist, wenn sie a hat Modell, d.h. es gibt eine Deutung unter was alle Formeln in der Theorie sind wahr. Dies ist der Sinn, der in traditioneller Verwendung verwendet wird Aristotelische Logik, obwohl in der zeitgenössischen mathematischen Logik der Begriff erfüllbar wird stattdessen verwendet. Die syntaktische Definition zeigt eine Theorie an ${\ displayStyle t}$ ist konsistent, wenn es keine gibt Formel ${\ displayStyle \ varphi}$ so dass beide ${\ displayStyle \ varphi}$ und seine Negation ${\ displayStyle \ lnot \ varphi}$ sind Elemente der Konsequenzen von ${\ displayStyle t}$ . Lassen ${\ displayStyle a}$ ein Satz von sein geschlossene Sätze (informell "Axiome") und ${\ displayStyle \ Langle a \ rangle}$ die Menge der geschlossenen Sätze von bewertet von ${\ displayStyle a}$ unter einigen (angegebenen, möglicherweise implizit) formalen deduktiven System. Der Satz von Axiomen ${\ displayStyle a}$ ist konsistent Wenn ${\ displayStyle \ varphi, \ lnot \ varphi \ in \ Langle a \ rangle}$ für keine Formel ${\ displayStyle \ varphi}$ .^[2]

Wenn es ein deduktives System gibt, für das diese semantischen und syntaktischen Definitionen für jede Theorie in einem bestimmten Deduktion entspricht Logik, die Logik heißt Komplett. Die Vollständigkeit der Sential Calculus wurde nachgewiesen von Paul Bernays 1918^[3] und Emil Post im Jahr 1921,^[4] Während die Vollständigkeit von Prädikatkalkül wurde nachgewiesen von Kurt Gödel 1930,,^[5] und Konsistenznachweise für Arithmetika, die in Bezug auf die beschränkt sind Induktions -Axiom -Schema wurden von Ackermann (1924), von Neumann (1927) und Herbrand (1931) bewiesen.^[6] Stärkere Logik, wie z. Logik zweiter Ordnung, sind nicht vollständig.

A Konsistenzbeweis ist ein mathematischer Beweis dass eine bestimmte Theorie konsistent ist.^[7] Die frühe Entwicklung der Mathematik Beweistheorie wurde von dem Wunsch getrieben, für alle Mathematik im Rahmen von Findary -Konsistenznachweisen für alle Mathematik zu liefern Hilberts Programm. Hilberts Programm wurde stark von der betroffen Unvollständigkeitstheoreme, was zeigte, dass ausreichend starke Beweistheorien ihre eigene Konsistenz nicht beweisen können (vorausgesetzt, sie sind tatsächlich konsistent).

Obwohl Konsistenz durch die Modelltheorie bewiesen werden kann, wird sie häufig auf rein syntaktische Weise durchgeführt, ohne dass ein Modell der Logik verweist. Das Schnitteliminierung (oder gleichwertig die Normalisierung des zugrunde liegende Kalkül Wenn es eine gibt) impliziert die Konsistenz des Kalküls: Da es keinen geschnittenen Nachweis der Falschheit gibt, gibt es im Allgemeinen keinen Widerspruch.

Konsistenz und Vollständigkeit in der Arithmetik und der festgelegten Theorie

In Theorien der Arithmetik, wie z. Peano -ArithmetikEs gibt eine komplizierte Beziehung zwischen der Konsistenz der Theorie und ihrer Vollständigkeit. Eine Theorie ist vollständig, wenn für jede Formel φ in ihrer Sprache mindestens eines von φ oder ¬φ eine logische Folge der Theorie ist.

Presburger -Arithmetik ist ein Axiom -System für die natürlichen Zahlen, die sich ergänzt. Es ist sowohl konsistent als auch vollständig.

Gödels unvollständige Theoreme zeigen, dass alle ausreichend stark sind rekursiv aufgezählt Die Theorie der Arithmetik kann nicht vollständig und konsequent sein. Gödels Satz gilt für die Theorien von Peano -Arithmetik (Pa) und Primitive rekursive Arithmetik (PRA), aber nicht zu Presburger -Arithmetik.

Darüber hinaus zeigt Gödels zweites Unvollständigkeitssatz, dass die Konsistenz von ausreichend stark rekursiv aufzählbaren Arithmetiktheorien auf bestimmte Weise getestet werden kann. Eine solche Theorie ist konsistent, wenn und nur wenn dies der Fall ist nicht Beweisen Sie einen bestimmten Satz, der als Gödel -Satz der Theorie bezeichnet wird und eine formalisierte Aussage der Behauptung ist, dass die Theorie tatsächlich konsistent ist. Somit kann die Konsistenz einer ausreichend starken, rekursiv aufzählbaren, konsistenten Arithmetheorie in diesem System selbst niemals nachgewiesen werden. Das gleiche Ergebnis gilt für rekursiv aufzählbare Theorien, die ein ausreichend ausreichend arithmetisches Fragment beschreiben können - darunter gesetzte Theorien wie z. Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie (ZF). Diese festgelegten Theorien können ihren eigenen Gödel -Satz nicht beweisen - vorgesehen, dass sie konsistent sind, was allgemein angenommen wird.

Da die Konsistenz von ZF in ZF nicht nachweisbar ist, ist der schwächere Begriff relative Konsistenz ist in der festgelegten Theorie interessant (und in anderen ausreichend ausdrucksstarken axiomatischen Systemen). Wenn T ist ein Theorie und A ist zusätzlich Axiom, T + A soll im Vergleich zu konsequent sein T (oder einfach das A stimmt mit T) Wenn nachgewiesen werden kann, wenn T ist dann konsistent T + A ist konsistent. Wenn beides A und ¬A Stimmen überein mit T, dann A wird gesagt, dass unabhängig von T.

Logik erster Ordnung

Notation

${\ displayStyle \ vdash}$ (Drehstilsymbol) im folgenden Kontext von Mathematische Logik, bedeutet "nachweisbar von". Das ist, ${\ displayStyle a \ vdash b}$ liest: b ist nachweisbar von a (in einigen angegebenen formalen Systemen). Sehen Liste der Logiksymbole. In anderen Fällen kann das Drehsymbol bedeuten; erlaubt die Ableitung von. Sehen: Liste der mathematischen Symbole.

Definition

Eine Menge von Formeln ${\ displayStyle \ phi}$ In der Logik erster Ordnung ist Logik konsistent (geschrieben ${\ displayStyle \ operatorname {con} \ phi}$ ) Wenn es keine Formel gibt ${\ displayStyle \ varphi}$ so dass ${\ displaystyle \ phi \ vdash \ varphi}$ und ${\ displayStyle \ phi \ vdash \ lnot \ varphi}$ . Andernfalls ${\ displayStyle \ phi}$ ist inkonsistent (geschrieben ${\ displayStyle \ operatorname {Inc} \ phi}$ ).
${\ displayStyle \ phi}$ wird gesagt, dass Einfach konsequent Wenn für keine Formel ${\ displayStyle \ varphi}$ von ${\ displayStyle \ phi}$ , beide ${\ displayStyle \ varphi}$ und die Negation von ${\ displayStyle \ varphi}$ sind Theoreme von ${\ displayStyle \ phi}$ .^{[Klarstellung erforderlich]}
${\ displayStyle \ phi}$ wird gesagt, dass absolut konsequent oder Post konsequent Wenn mindestens eine Formel in der Sprache von ${\ displayStyle \ phi}$ ist kein Satz von ${\ displayStyle \ phi}$ .
${\ displayStyle \ phi}$ wird gesagt, dass Maximal konsistent wenn ${\ displayStyle \ phi}$ ist konsistent und für jede Formel ${\ displayStyle \ varphi}$ , ${\ displaystyle \ operatorname {con} (\ phi \ cup \ {\ varphi \})}$ impliziert ${\ displayStyle \ varphi \ in \ phi}$ .
${\ displayStyle \ phi}$ wird gesagt zu Zeugen enthalten Wenn für jede Formel der Form ${\ displayStyle \ existiert x \, \ varphi}$ Es gibt a Begriff ${\ displayStyle t}$ so dass ${\ displayStyle (\ existiert x \, \ varphi \ to \ varphi {t \ over x}) \ in \ phi}$ , wo ${\ displayStyle \ varphi {t \ over x}}$ bezeichnet die Auswechslung von jedem ${\ displayStyle x}$ in ${\ displayStyle \ varphi}$ durch eine ${\ displayStyle t}$ ; siehe auch Logik erster Ordnung.

Grundlegende Ergebnisse

Das Folgende ist gleichwertig:
1. ${\ displayStyle \ operatorname {Inc} \ phi}$
2. Für alle ${\ displayStyle \ varphi, \; \ phi \ vdash \ varphi.}$
Jeder zufriedenbare Satz von Formeln ist konsistent, wobei ein Satz von Formeln ${\ displayStyle \ phi}$ ist befriedigend, wenn und nur wenn es ein Modell gibt ${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}}$ so dass ${\ displaystyle {\ mathfrak {i}} \ vdash \ phi}$ .
Für alle ${\ displayStyle \ phi}$ $\Phi$ und ${\ displayStyle \ varphi}$ $\varphi$ :
1. wenn nicht ${\ displaystyle \ phi \ vdash \ varphi}$ , dann $oder$ ;
2. wenn ${\ displayStyle \ operatorname {con} \ phi}$ und ${\ displaystyle \ phi \ vdash \ varphi}$ , dann ${\ displaystyle \ operatorname {con} \ links (\ phi \ cup \ {\ varphi \} \ rechts)}}$ ;
3. wenn ${\ displayStyle \ operatorname {con} \ phi}$ , dann ${\ displaystyle \ operatorname {con} \ links (\ phi \ cup \ {\ varphi \} \ rechts)}}$ oder $oder$ .
Lassen ${\ displayStyle \ phi}$ $\Phi$ ein maximal konsistenter Satz von Formeln sein und vermuten, dass es enthält Zeugen. Für alle ${\ displayStyle \ varphi}$ $\varphi$ und ${\ displayStyle \ psi}$ $\psi$ :
1. wenn ${\ displaystyle \ phi \ vdash \ varphi}$ , dann ${\ displayStyle \ varphi \ in \ phi}$ ,
2. entweder ${\ displayStyle \ varphi \ in \ phi}$ oder ${\ displayStyle \ lnot \ varphi \ in \ phi}$ ,
3. ${\ displayStyle (\ varphi \ lor \ psi) \ in \ phi}$ dann und nur dann, wenn ${\ displayStyle \ varphi \ in \ phi}$ oder ${\ displayStyle \ psi \ in \ phi}$ ,
4. wenn ${\ displayStyle (\ varphi \ to \ psi) \ in \ phi}$ und ${\ displayStyle \ varphi \ in \ phi}$ , dann ${\ displayStyle \ psi \ in \ phi}$ ,
5. ${\ displayStyle \ existiert x \, \ varphi \ in \ phi}$ Wenn und nur wenn es einen Begriff gibt ${\ displayStyle t}$ so dass ${\ displayStyle \ varphi {t \ over x} \ in \ phi}$ .

Henkin's Theorem

Lassen ${\ displayStyle S}$ sei a Satz von Symbolen. Lassen ${\ displayStyle \ phi}$ maximal konsequent sein ${\ displayStyle S}$ -formulas enthalten Zeugen.

Definiere an Äquivalenzbeziehung ${\ displayStyle \ Sim}$ am Set von ${\ displayStyle S}$ -terms von ${\ displayStyle t_ {0} \ sim t_ {1}}$ wenn ${\ displaystyle \; t_ {0} \ äquiv t_ {1} \ in \ phi}$ , wo ${\ displayStyle \ äquiv}$ bezeichnet Gleichberechtigung. Lassen ${\ displayStyle {\ overline {t}}}$ bezeichnen die Äquivalenzklasse von Begriffen enthalten ${\ displayStyle t}$ ; und lass $oder$ wo ${\ displayStyle t^{s}}$ ist der Satz von Begriffen basierend auf dem Satz von Symbolen ${\ displayStyle S}$ .

Definiere das ${\ displayStyle S}$ -Struktur ${\ displayStyle {\ mathfrak {t}} _ {\ phi}}$ Über ${\ displayStyle t _ {\ phi}}$ , auch die genannt Termstruktur korrespondierend zu ${\ displayStyle \ phi}$ , durch:

für jeden ${\ displayStyle n}$ -ary Relationssymbol ${\ displayStyle r \ in s}$ , definieren $oder$ wenn ${\ displayStyle \; rt_ {0} \ ldots t_ {n-1} \ in \ phi;}$ ^[8]
für jeden ${\ displayStyle n}$ -ary Funktionsymbol ${\ displayStyle f \ in s}$ , definieren $oder {ft_ {0} \ ldots t_ {n-1}}};};$
Für jedes konstante Symbol ${\ displayStyle c \ in s}$ , definieren ${\ displaystyle c^{{\ mathfrak {t}} _ {\ phi}}: = {\ overline {c}}.}.}.$

Definieren Sie eine variable Zuordnung ${\ displayStyle \ Beta _ {\ phi}}$ durch ${\ displayStyle \ Beta _ {\ phi} (x): = {\ bar {x}}}$ Für jede Variable ${\ displayStyle x}$ . Lassen $oder$ sei der Begriff Deutung verknüpft mit ${\ displayStyle \ phi}$ .

Dann für jeden ${\ displayStyle S}$ -Formel ${\ displayStyle \ varphi}$ :

${\ displaystyle {\ mathfrak {i}} _ {\ phi} \ vdash \ varphi}$ dann und nur dann, wenn ${\ displayStyle \; \ varphi \ in \ phi.}$

Beweisskizze

Es gibt verschiedene Dinge zu überprüfen. Erstens das ${\ displayStyle \ Sim}$ ist in der Tat eine Äquivalenzbeziehung. Dann muss überprüft werden, dass (1), (2) und (3) gut definiert sind. Dies fällt aus der Tatsache heraus, dass ${\ displayStyle \ Sim}$ ist eine Äquivalenzbeziehung und erfordert auch einen Beweis dafür, dass (1) und (2) unabhängig von der Wahl von sind ${\ displayStyle t_ {0}, \ ldots, t_ {n-1}}$ Klassenvertreter. Endlich, ${\ displaystyle {\ mathfrak {i}} _ {\ phi} \ vdash \ varphi}$ kann durch Induktion auf Formeln überprüft werden.

Modelltheorie

Im ZFC SET -Theorie mit klassisch Logik erster Ordnung,^[9] ein inkonsistent Theorie ${\ displayStyle t}$ ist eine so, dass es einen geschlossenen Satz gibt ${\ displayStyle \ varphi}$ so dass ${\ displayStyle t}$ enthält beides ${\ displayStyle \ varphi}$ und seine Negation ${\ displayStyle \ varphi '}$ . EIN konsistent Theorie ist eine so, dass die folgende logisch äquivalent Bedingungen halten

${\ displaystyle \ {\ varphi, \ varphi '\} \ nicht \ subseteq t}$ ^[10]
${\ displayStyle \ varphi '\ nicht \ in t \ lor \ varphi \ nicht \ in t}$

Siehe auch

Fußnoten

^ Tarski 1946 erklärt es so: "Eine deduktive Theorie heißt konsistent oder nicht kontrollierend Wenn keine zwei Behauptungen dieser Theorie gegenseitig oder mit anderen Worten, wenn zwei widersprüchliche Sätze… mindestens einer nicht bewiesen werden können “(S. 135), wo Tarski definiert wird widersprüchlich wie folgt: "Mit Hilfe des Wortes nicht man bildet die Negation von jedem Satz; Zwei Sätze, von denen die erste eine Negation der zweiten ist, werden genannt widersprüchliche Sätze"(S. 20). Diese Definition erfordert einen Begriff" Beweis ". Gödel 1931 definiert den Begriff auf diese Weise: "die Klasse von Nachweisbare Formeln ist definiert als die kleinste Klasse von Formeln, die die Axiome enthält und unter der Beziehung "unmittelbare Konsequenz" geschlossen wird, d. H. Die Formel c von a und b ist definiert als eine unmittelbare Konsequenz bezüglich Modus Ponens oder Substitution; vgl Gödel 1931, Van Heijenoort 1967, p. 601. Tarski definiert "Beweis" informell als "Aussagen folgen einander in einer bestimmten Reihenfolge nach bestimmten Grundsätzen… und begleitet von Überlegungen, die ihre Gültigkeit festlegen sollen [wahre Schlussfolgerung für alle wahren Prämissen - Reichenbach 1947, p. 68] "vgl. Tarski 1946, p. 3. Kleene 1952 Definiert den Begriff in Bezug auf eine Induktion oder in Bezug auf Paraphrase) eine endliche Sequenz von Formeln, so dass jede Formel in der Sequenz entweder ein Axiom oder eine "unmittelbare Folge" der vorhergehenden Formeln ist; "EIN Der Beweis soll ein Beweis sein von seine letzte Formel und diese Formel soll sein (formell) nachweisbar oder sei ein (formaler) Theorem "vgl. Kleene 1952, p. 83.
^ Hodges, Wilfrid (1997). Eine kürzere Modelltheorie. New York: Cambridge University Press. p. 37. Lassen ${\ displayStyle l}$ eine Signatur sein, ${\ displayStyle t}$ Eine Theorie in ${\ displayStyle l _ {\ infty \ omega}}$ und ${\ displayStyle \ varphi}$ ein Satz in ${\ displayStyle l _ {\ infty \ omega}}$ . Wir sagen das ${\ displayStyle \ varphi}$ ist ein Folge von ${\ displayStyle t}$ , oder das ${\ displayStyle t}$ mit sich bringen ${\ displayStyle \ varphi}$ in Symbolen ${\ displayStyle t \ vdash \ varphi}$ , wenn jedes Modell von ${\ displayStyle t}$ ist ein Modell von ${\ displayStyle \ varphi}$ . (Insbesondere wenn ${\ displayStyle t}$ hat damals keine Modelle ${\ displayStyle t}$ mit sich bringen ${\ displayStyle \ varphi}$ .))
Warnung: Wir brauchen das nicht, wenn ${\ displayStyle t \ vdash \ varphi}$ Dann gibt es einen Beweis von ${\ displayStyle \ varphi}$ aus ${\ displayStyle t}$ . In jedem Fall ist es bei unendlichen Sprachen nicht immer klar, was einen Beweis darstellen würde. Einige Schriftsteller verwenden ${\ displayStyle t \ vdash \ varphi}$ das bedeutet ${\ displayStyle \ varphi}$ ist abgelehnt von ${\ displayStyle t}$ In einem bestimmten formalen Beweisrechnung, und sie schreiben ${\ displayStyle t \ models \ varphi}$ Für unsere Begriff der Aussage (eine Notation, die mit unserem zusammenspricht ${\ displayStyle a \ models \ varphi}$ ). Für die Logik erster Ordnung stimmen die beiden Arten von Entsorgung mit dem Vollständigkeitssatz für den fraglichen Beweisrechnung überein.
Wir sagen das ${\ displayStyle \ varphi}$ ist gültig, oder ist a logischer Theoremin Symbolen ${\ displayStyle \ vdash \ varphi}$ , wenn ${\ displayStyle \ varphi}$ ist in jedem wahr ${\ displayStyle l}$ -Struktur. Wir sagen das ${\ displayStyle \ varphi}$ ist konsistent wenn ${\ displayStyle \ varphi}$ ist in manchen wahr ${\ displayStyle l}$ -Struktur. Ebenso sagen wir, dass eine Theorie ${\ displayStyle t}$ ist konsistent Wenn es ein Modell hat.
Wir sagen, dass zwei Theorien S und T in l Infinity Omega äquivalent sind, wenn sie dieselben Modelle haben, d. H. Wenn mod (s) = mod (t). (Bitte beachten Sie die Definition von Mod (t) auf S. 30 ...)
^ Van Heijenoort 1967, p. 265 Staaten, dass Bernays die bestimmt haben Unabhängigkeit der Axiome von Principia Mathematica, ein Ergebnis, das erst 1926 veröffentlicht wurde, aber er sagt nichts über Bernays, die ihre beweisen Konsistenz.
^ Post beweist sowohl die Konsistenz als auch die Vollständigkeit des Vorschlags von PM, van Heijenoorts Kommentar und Posts 1931 Einführung in eine allgemeine Theorie elementarer Aussagen in Van Heijenoort 1967, S. 264ff. Ebenfalls Tarski 1946, S. 134ff.
^ van Heijenoorts Kommentar und Gödels 1930 Die Vollständigkeit der Axiome des funktionellen Logikkalküls in Van Heijenoort 1967, S. 582ff.
^ van Heijenoorts Kommentar und Herbrands 1930 Über die Konsistenz der Arithmetik in Van Heijenoort 1967, S. 618ff.
^ Informell wird normalerweise die Zermelo -Fraenkel -Theorie angenommen; Einige Dialekte informeller Mathematik nehmen üblicherweise das an Axiom der Wahl zusätzlich.
^ Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von ${\ displayStyle t_ {i}}$ Aufgrund der Substitutivitätseigenschaften von ${\ displayStyle \ äquiv}$ und die maximale Konsistenz von ${\ displayStyle \ phi}$ .
^ Der gemeinsame Fall in vielen Anwendungen für andere Bereiche der Mathematik sowie in der gewöhnlichen Argumentation von Informelle Mathematik in Kalkül und Anwendungen für Physik, Chemie, Ingenieurwesen
^ entsprechend De Morgans Gesetze

Verweise

Kleene, Stephen (1952). Einführung in Metamathematik. New York: North-Holland. ISBN 0-7204-2103-9. 10. Eindruck 1991.
Reichenbach, Hans (1947). Elemente der symbolischen Logik. New York: Dover. ISBN 0-486-24004-5.
Tarski, Alfred (1946). Einführung in die Logik und die Methodik der deduktiven Wissenschaften (Zweite Ausgabe). New York: Dover. ISBN 0-486-28462-x.
Van Heijenoort, Jean (1967). From Frege nach Gödel: Ein Quellbuch in der mathematischen Logik. Cambridge, MA: Harvard University Press. ISBN 0-674-32449-8. (pbk.)
"Konsistenz". Das Cambridge -Wörterbuch der Philosophie.
Ebbinghaus, H. D.; Flum, J.; Thomas, W. Mathematische Logik.
Jevons, W. S. (1870). Elementarunterricht in der Logik.

Externe Links

Mortensen, Chris (2017). "Inkonsistente Mathematik". Stanford Encyclopedia of Philosophy.

[1] Tarski 1946 erklärt es so: "Eine deduktive Theorie heißt konsistent oder nicht kontrollierend Wenn keine zwei Behauptungen dieser Theorie gegenseitig oder mit anderen Worten, wenn zwei widersprüchliche Sätze… mindestens einer nicht bewiesen werden können “(S. 135), wo Tarski definiert wird widersprüchlich wie folgt: "Mit Hilfe des Wortes nicht man bildet die Negation von jedem Satz; Zwei Sätze, von denen die erste eine Negation der zweiten ist, werden genannt widersprüchliche Sätze"(S. 20). Diese Definition erfordert einen Begriff" Beweis ". Gödel 1931 definiert den Begriff auf diese Weise: "die Klasse von Nachweisbare Formeln ist definiert als die kleinste Klasse von Formeln, die die Axiome enthält und unter der Beziehung "unmittelbare Konsequenz" geschlossen wird, d. H. Die Formel c von a und b ist definiert als eine unmittelbare Konsequenz bezüglich Modus Ponens oder Substitution; vgl Gödel 1931, Van Heijenoort 1967, p. 601. Tarski definiert "Beweis" informell als "Aussagen folgen einander in einer bestimmten Reihenfolge nach bestimmten Grundsätzen… und begleitet von Überlegungen, die ihre Gültigkeit festlegen sollen [wahre Schlussfolgerung für alle wahren Prämissen - Reichenbach 1947, p. 68] "vgl. Tarski 1946, p. 3. Kleene 1952 Definiert den Begriff in Bezug auf eine Induktion oder in Bezug auf Paraphrase) eine endliche Sequenz von Formeln, so dass jede Formel in der Sequenz entweder ein Axiom oder eine "unmittelbare Folge" der vorhergehenden Formeln ist; "EIN Der Beweis soll ein Beweis sein von seine letzte Formel und diese Formel soll sein (formell) nachweisbar oder sei ein (formaler) Theorem "vgl. Kleene 1952, p. 83.

[2] Hodges, Wilfrid (1997). Eine kürzere Modelltheorie. New York: Cambridge University Press. p. 37. Lassen ${\ displayStyle l}$ eine Signatur sein, ${\ displayStyle t}$ Eine Theorie in ${\ displayStyle l _ {\ infty \ omega}}$ und ${\ displayStyle \ varphi}$ ein Satz in ${\ displayStyle l _ {\ infty \ omega}}$ . Wir sagen das ${\ displayStyle \ varphi}$ ist ein Folge von ${\ displayStyle t}$ , oder das ${\ displayStyle t}$ mit sich bringen ${\ displayStyle \ varphi}$ in Symbolen ${\ displayStyle t \ vdash \ varphi}$ , wenn jedes Modell von ${\ displayStyle t}$ ist ein Modell von ${\ displayStyle \ varphi}$ . (Insbesondere wenn ${\ displayStyle t}$ hat damals keine Modelle ${\ displayStyle t}$ mit sich bringen ${\ displayStyle \ varphi}$ .))
Warnung: Wir brauchen das nicht, wenn ${\ displayStyle t \ vdash \ varphi}$ Dann gibt es einen Beweis von ${\ displayStyle \ varphi}$ aus ${\ displayStyle t}$ . In jedem Fall ist es bei unendlichen Sprachen nicht immer klar, was einen Beweis darstellen würde. Einige Schriftsteller verwenden ${\ displayStyle t \ vdash \ varphi}$ das bedeutet ${\ displayStyle \ varphi}$ ist abgelehnt von ${\ displayStyle t}$ In einem bestimmten formalen Beweisrechnung, und sie schreiben ${\ displayStyle t \ models \ varphi}$ Für unsere Begriff der Aussage (eine Notation, die mit unserem zusammenspricht ${\ displayStyle a \ models \ varphi}$ ). Für die Logik erster Ordnung stimmen die beiden Arten von Entsorgung mit dem Vollständigkeitssatz für den fraglichen Beweisrechnung überein.
Wir sagen das ${\ displayStyle \ varphi}$ ist gültig, oder ist a logischer Theoremin Symbolen ${\ displayStyle \ vdash \ varphi}$ , wenn ${\ displayStyle \ varphi}$ ist in jedem wahr ${\ displayStyle l}$ -Struktur. Wir sagen das ${\ displayStyle \ varphi}$ ist konsistent wenn ${\ displayStyle \ varphi}$ ist in manchen wahr ${\ displayStyle l}$ -Struktur. Ebenso sagen wir, dass eine Theorie ${\ displayStyle t}$ ist konsistent Wenn es ein Modell hat.
Wir sagen, dass zwei Theorien S und T in l Infinity Omega äquivalent sind, wenn sie dieselben Modelle haben, d. H. Wenn mod (s) = mod (t). (Bitte beachten Sie die Definition von Mod (t) auf S. 30 ...)

[3] Van Heijenoort 1967, p. 265 Staaten, dass Bernays die bestimmt haben Unabhängigkeit der Axiome von Principia Mathematica, ein Ergebnis, das erst 1926 veröffentlicht wurde, aber er sagt nichts über Bernays, die ihre beweisen Konsistenz.

[4] Post beweist sowohl die Konsistenz als auch die Vollständigkeit des Vorschlags von PM, van Heijenoorts Kommentar und Posts 1931 Einführung in eine allgemeine Theorie elementarer Aussagen in Van Heijenoort 1967, S. 264ff. Ebenfalls Tarski 1946, S. 134ff.

[5] van Heijenoorts Kommentar und Gödels 1930 Die Vollständigkeit der Axiome des funktionellen Logikkalküls in Van Heijenoort 1967, S. 582ff.

[6] van Heijenoorts Kommentar und Herbrands 1930 Über die Konsistenz der Arithmetik in Van Heijenoort 1967, S. 618ff.

[7] Informell wird normalerweise die Zermelo -Fraenkel -Theorie angenommen; Einige Dialekte informeller Mathematik nehmen üblicherweise das an Axiom der Wahl zusätzlich.

[8] Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von ${\ displayStyle t_ {i}}$ Aufgrund der Substitutivitätseigenschaften von ${\ displayStyle \ äquiv}$ und die maximale Konsistenz von ${\ displayStyle \ phi}$ .

[9] Der gemeinsame Fall in vielen Anwendungen für andere Bereiche der Mathematik sowie in der gewöhnlichen Argumentation von Informelle Mathematik in Kalkül und Anwendungen für Physik, Chemie, Ingenieurwesen

[10] tsprechend De Morgans Gesetze

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

‌Logische Wahrheit⊤
Funktional:	Wahrheitswert Wahrheitsfunktion ⊨Tautologie
Formell:	Theorie formeller Beweis Satz
Negation	⊥ FALSCH Widerspruch Inkonsistenz