Kegelabschnitt

Arten von konischen Abschnitten:
1: Kreis       2: Ellipse
3: Parabel  4: Hyperbel
Tisch der Conics, Cyclopaedia, 1728

Im Mathematik, a Kegelabschnitt (oder einfach konisch, manchmal genannt Quadratische Kurve) ist ein Kurve erhalten als Schnittpunkt der auftauchen von a Kegel mit einer Flugzeug. Die drei Arten des Kegelabschnitts sind die Hyperbel, das Parabel, und die Ellipse; das Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse, obwohl es historisch gesehen manchmal als viertes Typ bezeichnet wurde. Die alten griechischen Mathematiker studierten Conic -Abschnitte und gipfelten um 200 v. Chr. Mit Apollonius von Pergasystematische Arbeit an ihren Eigenschaften.

Die Kegelabschnitte in der Euklidische Ebene haben verschiedene Unterscheidungseigenschaften, von denen viele als alternative Definitionen verwendet werden können. Eine solche Eigenschaft definiert einen nichtkreisförmigen Kegel[1] zu sein einstellen von jenen Punkten, deren Entfernungen zu einem bestimmten Punkt, als a genannt Fokusund eine bestimmte Linie, genannt a Directrix, sind in einem festen Verhältnis, genannt die Exzentrizität. Die Art des Kegels wird durch den Wert der Exzentrizität bestimmt. Im analytische Geometrie, ein Kegel kann als a definiert werden Ebene algebraische Kurve von Grad 2; Das heißt, wie die Punkte von Punkten, deren Koordinaten a erfüllen quadratische Gleichung in zwei Variablen, die in geschrieben werden können Matrix bilden. Diese Gleichung ermöglicht es, die geometrischen Eigenschaften von Kegelabschnitten algebraisch abzunehmen und auszudrücken.

In der euklidischen Ebene scheinen die drei Arten von Kegelabschnitten sehr unterschiedlich zu sein, teilen jedoch viele Eigenschaften. Durch Erweiterung der euklidischen Ebene um eine Linie im Unendlichkeit, die a erhält Projektivebene, Der scheinbare Unterschied verschwindet: Die Zweige einer Hyperbel treffen sich in zwei Punkten im Unendlichen und machen sie zu einer einzigen geschlossenen Kurve; und die beiden Enden einer Parabola treffen sich, um es zu einer geschlossenen Kurve -Tangente zur Linie in Unendlichkeit zu machen. Weitere Erweiterung durch Erweiterung der real Koordinaten zuzugeben Komplex Koordinaten bietet die Möglichkeit, diese Vereinigung algebraisch zu sehen.

Euklidische Geometrie

Die Kegelabschnitte werden seit Tausenden von Jahren untersucht und eine reichhaltige Quelle interessanter und schöner Ergebnisse geliefert Euklidische Geometrie.

Definition

Die schwarzen Grenzen der farbigen Regionen sind konischen Abschnitte. Nicht gezeigt ist die andere Hälfte der Hyperbel, die sich auf der anderen Hälfte des Doppelkegels befindet.

A konisch ist die Kurve als Schnittpunkt von a erhalten Flugzeug, genannt Schneidebenemit der Oberfläche eines Doppels Kegel (ein Kegel mit zwei Nappeln). Es wird normalerweise angenommen, dass der Kegel ein rechter kreisförmiger Kegel für die einfache Beschreibung ist, dies ist jedoch nicht erforderlich. Jeder Doppelkegel mit einem kreisförmigen Querschnitt reicht aus. Flugzeuge, die durch den Scheitelpunkt des Kegels gehen, schneiden den Kegel in einem Punkt, einer Linie oder einem Paar schneidende Linien. Diese nennt man entartete Konics Und einige Autoren betrachten sie überhaupt nicht als Conics. Sofern nicht anders angegeben, bezieht sich "Kegel" in diesem Artikel auf einen nicht entengenden Kegel.

Es gibt drei Arten von Conics: die Ellipse, Parabel, und Hyperbel. Das Kreis ist eine besondere Art von Ellipse, obwohl Apollonius historisch einen vierten Typ betrachtete. Ellipsen entstehen, wenn der Schnittpunkt des Kegels und der Ebene a ist geschlossene Kurve. Der Kreis wird erhalten, wenn die Schneidebene parallel zur Ebene des erzeugenden Kreises des Kegels ist. Für einen rechten Kegel bedeutet dies, dass die Schneidebene senkrecht zur Achse ist. Wenn die Schneidebene ist parallel zu genau einer erzeugenden Linie des Kegels, dann ist der Kegel unbegrenzt und wird als a genannt Parabel. Im verbleibenden Fall ist die Zahl a Hyperbel: Die Ebene kreuzt sich beide Hälften des Kegels und erzeugen zwei getrennte unbegrenzte Kurven.

Vergleichen auch sphärische Abschnitte, was produzieren kann Kreise.

Exzentrizität, Fokus und Directrix

Ellipse (e = 1/2), Parabel (e = 1) und Hyperbel (e = 2) mit festem Fokus F und Directrix L (e = ∞). Der rote Kreis (e = 0) wird als Referenz enthalten; Es hat kein Directrix in der Ebene.

Alternativ kann man einen Kegelabschnitt nur in Bezug auf die Ebenengeometrie definieren: Es ist das Ort von allen Punkten P deren Abstand zu einem festen Punkt F (genannt Fokus) ist ein konstantes Vielfaches (genannt das Exzentrizität e) der Entfernung von P zu einer festen Linie L (genannt Directrix). Zum 0 << e < 1 Wir erhalten eine Ellipse für e = 1 eine Parabola und für e > 1 Eine Hyperbel.

Ein Kreis ist ein begrenzter Fall und wird in der euklidischen Ebene nicht durch einen Fokus und Directrix definiert. Die Exzentrizität eines Kreises wird als Null definiert und sein Fokus liegt auf der Mitte des Kreises, aber sein Directrix kann nur als Linie in Unend in der Projektivebene angesehen werden.[2]

Die Exzentrizität einer Ellipse kann als Maß dafür angesehen werden, wie weit die Ellipse vom kreisförmigen Teil abweist.[3]: 844

Wenn der Winkel zwischen der Oberfläche des Kegels und seiner Achse ist und der Winkel zwischen der Schneidebene und der Achse ist Die Exzentrizität ist [4]

Ein Beweis, dass die obigen Kurven durch die definiert werden Fokus-Directrix-Eigenschaft sind die gleichen wie die, die von Flugzeugen erhalten werden, die sich schneiden, die einen Kegel schneiden, wird durch die Verwendung von erleichtert Dandelinkugeln.[5]

Alternativ kann eine Ellipse in Bezug auf zwei Fokuspunkte definiert werden, da der Ort der Punkte, für die die Summe der Entfernungen zu den beiden Schwerpunkten ist 2a; Während eine Hyperbel der Ort ist, für den die Distanzunterschiede sind 2a. (Hier a ist die unten definierte Semi-Major-Achse.) Eine Parabola kann auch in Bezug auf ihre Fokus- und Latus-Rektumlinie definiert werden (parallel zum Directrix und durch den Fokus): Es ist der Ort der Punkte, deren Abstand zum Fokus plus oder abzüglich der Entfernung zur Linie ist gleich 2a; Außerdem, wenn der Punkt zwischen dem Directrix und dem Latus Rektum liegt, abzüglich sonst.

Kegelparameter

Kegelparameter bei einer Ellipse

Zusätzlich zur Exzentrizität (e), Foci und Directrix, verschiedene geometrische Merkmale und Längen sind mit einem Kegelabschnitt verbunden.

Das Hauptachse Ist die Linie, die sich den Schwerpunkten einer Ellipse oder Hyperbel verbindet, und ihr Mittelpunkt ist die Kurve der Kurve Center. Eine Parabola hat kein Zentrum.

Das lineare Exzentrizität (c) ist der Abstand zwischen der Mitte und einem Fokus.

Das Latus Rektum ist der Akkord parallel zum Directrix und durch einen Fokus; Seine halbe Länge ist das semi-latus rektum ().

Das Schwerpunktparameter (p) ist der Abstand von einem Fokus auf das entsprechende Directrix.

Das Hauptachse ist der Akkord zwischen den beiden Eckpunkten: der längste Akkord einer Ellipse, der kürzeste Akkord zwischen den Zweigen einer Hyperbel. Seine halbe Länge ist die Semi-Major-Achse (a). Wenn eine Ellipse oder eine Hyperbola in Standardposition sind wie in den folgenden Gleichungen, mit Schwerpunkten auf der x-Axis und Zentrum im Ursprung, die Eckpunkte des Kegels haben Koordinaten ( -a, 0) und (a, 0), mit a nicht negativ.

Das Kleinere Achse ist der kürzeste Durchmesser einer Ellipse, und ihre halbe Länge ist die Halbminorachse (b), der gleiche Wert b wie in der Standardgleichung unten. Analogie für eine Hyperbel der Parameter b In der Standardgleichung wird auch die Semi-Minor-Achse bezeichnet.

Die folgenden Beziehungen halten:[6]

Für Conics in Standardposition haben diese Parameter die folgenden Werte, die einnehmen .

Kegelabschnitt Gleichung Exzentrizität (e)) lineare Exzentrizität (c)) Semi-Latus-Rektum ()) Fokusparameter (p))
Kreis
Ellipse
Parabel N / A
Hyperbel

Standardformulare in kartesischen Koordinaten

Standardformen einer Ellipse
Standardformen einer Parabel
Standardformen einer Hyperbel

Nach der Einführung Kartesischen KoordinatenDie Focus-Directrix-Eigenschaft kann verwendet werden, um die Gleichungen zu erzeugen, die durch die Punkte des Kegelabschnitts erfüllt sind.[7] Mittels einer Änderung der Koordinaten (Drehung und Übersetzung von Achsen) Diese Gleichungen können eingegeben werden Standardformen.[8] Für Ellipsen und Hyperbolas hat eine Standardform die x-Axis als Hauptachse und der Ursprung (0,0) als Mitte. Die Eckpunkte sind a, 0) und die Schwerpunkte c, 0). Definieren b durch die Gleichungen c2 = a2b2 für eine Ellipse und c2 = a2 + b2 für eine Hyperbel. Für einen Kreis, c = 0 Also a2 = b2. Für die Parabel hat die Standardform die Fokussierung auf die x-Axis am Punkt (a, 0) und das Directrix die Linie mit Gleichung x = -a. In Standardform wird die Parabel immer durch den Ursprung gehen.

Für ein rechteckig oder Gleichgewicht Hyperbel, einer, dessen Asymptoten senkrecht sind, es gibt eine alternative Standardform, in der die Asymptoten die Koordinatenachsen und die Linie sind x = y ist die Hauptachse. Die Schwerpunkte haben dann Koordinaten (c, c) und ( -c, -c).[9]

  • Kreis: x2 + y2 = a2
  • Ellipse: x2/a2 + y2/b2 = 1
  • Parabel: y2 = 4Axt mit a > 0
  • Hyperbel: x2/a2 y2/b2 = 1
  • Rechteckige Hyperbel:[10] xy = c2/2

Die ersten vier dieser Formen sind symmetrisch in Bezug auf beide x-Axis und y-achis (für den Kreis, die Ellipse und die Hyperbel) oder über die xNur Achse (für die Parabel). Die rechteckige Hyperbel ist jedoch stattdessen symmetrisch über die Linien y = x und y = -x.

Diese Standardformen können geschrieben werden parametrisch wie,

  • Kreis: (a cos θ, a Sünde θ),
  • Ellipse: (a cos θ, b Sünde θ),
  • Parabel: (bei2, 2bei),
  • Hyperbel: (a Sek θ, b bräunen θ) oder a Cosh u, b sinh u),
  • Rechteckige Hyperbel: wo

Allgemeine kartesische Form

In dem Kartesisches Koordinatensystem, das Graph von a quadratische Gleichung In zwei Variablen ist immer ein Kegelabschnitt (obwohl dies der Fall sein mag degenerieren),[a] und alle konischen Abschnitte entstehen auf diese Weise. Die allgemeinste Gleichung ist die Form[11]

mit allen Koeffizienten reale Nummern und A, b, c Nicht alle Null.

Matrixnotation

Die obige Gleichung kann in Matrix -Notation als geschrieben werden[12]

Die allgemeine Gleichung kann auch als geschrieben werden

Diese Form ist eine Spezialisierung der homogenen Form, die in der allgemeineren Umgebung der projektiven Geometrie verwendet wird (siehe unter).

Diskriminanz

Die von dieser Gleichung beschriebenen konischen Abschnitte können in Bezug auf den Wert klassifiziert werden , genannt Diskriminanz der Gleichung.[13] Somit ist die Diskriminante - 4δ wo Δ ist der matrix determinant

Wenn der Kegel ist nicht entengter, dann:[14]

  • wenn B2 - 4AC < 0, die Gleichung repräsentiert eine Ellipse;
    • wenn A = C und B = 0, die Gleichung repräsentiert a Kreis, was ein Sonderfall einer Ellipse ist;
  • wenn B2 - 4AC = 0, die Gleichung repräsentiert a Parabel;
  • wenn B2 - 4AC > 0, die Gleichung repräsentiert a Hyperbel;

In der hier verwendeten Notation, A und B sind polynomiale Koeffizienten im Gegensatz zu einigen Quellen, die die Semimajor- und Semiminor -Achsen als bezeichnen A und B.

Invarianten

Die Diskriminanz B2 – 4AC der quadratischen Gleichung des Kegelabschnitts (oder gleichzeitig die bestimmend ACB2/4 der 2 × 2 Matrix) und der Menge A + C (das verfolgen der 2 × 2 -Matrix) sind unter willkürlichen Rotationen und Übersetzungen der Koordinatenachsen invariant.[14][15][16] Wie ist die Determinante der 3 × 3 Matrix oben.[17]: S. 60–62 Der konstante Begriff F und die Summe D2 + E2 sind nur unter Rotation invariant.[17]: S. 60–62

Exzentrizität in Bezug auf Koeffizienten

Wenn der Kegelabschnitt algebraisch geschrieben ist wie

Die Exzentrizität kann als Funktion der Koeffizienten der quadratischen Gleichung geschrieben werden.[18] Wenn 4AC = B2 Der Kegel ist eine Parabel und seine Exzentrizität entspricht 1 (vorausgesetzt, sie ist nicht entenkt). Andernfalls wird die Exzentrizität angegeben

wo η = 1 Wenn die Determinante der 3 × 3 Matrix oben ist negativ und η = –1 Wenn diese Determinante positiv ist.

Es kann auch gezeigt werden[17]: p. 89 dass die Exzentrizität eine positive Lösung der Gleichung ist

wo wieder Dies hat genau eine positive Lösung - die Exzentrizität - im Fall einer Parabel oder Ellipse, während es im Fall einer Hyperbola zwei positive Lösungen hat, von denen eine die Exzentrizität ist.

Konvertierung in kanonische Form

Im Falle einer Ellipse oder einer Hyperbel die Gleichung

kann in transformierten Variablen in kanonische Form umgewandelt werden wie[19]

oder gleichwertig

wo und sind die Eigenwerte der Matrix - Das heißt die Lösungen der Gleichung

- und ist die Determinante der 3 × 3 Matrix oben, und ist wieder die Determinante der 2 × 2 -Matrix. Bei einer Ellipse werden die Quadrate der beiden halbachse von den Nennern in der kanonischen Form gegeben.

Polar Koordinaten

Entwicklung des Kegelabschnitts als Exzentrizität e steigt

Im Polar Koordinaten, ein Kegelabschnitt mit einem Fokus auf den Ursprung und falls vorhanden der andere zu einem negativen Wert (für eine Ellipse) oder einen positiven Wert (für eine Hyperbola) auf dem x-achis, wird durch die Gleichung gegeben

wo e ist die Exzentrizität und l ist das semi-latus rektum.

Wie oben für e = 0, Die Grafik ist ein Kreis für 0 << e < 1 Die Grafik ist eine Ellipse für e = 1 eine Parabola und für e > 1 Eine Hyperbel.

Die polare Form der Gleichung eines Conic wird häufig in verwendet Dynamik; Zum Beispiel die Ermittlung der Umlaufbahnen von Objekten, die sich um die Sonne drehen.[20]

Eigenschaften

Genauso wie zwei (verschiedene) Punkte eine Linie bestimmen, Fünf Punkte bestimmen einen Kegel. Formell mit fünf Punkten im Flugzeug in der Ebene in Allgemeine lineare Position, was bedeutet Nr. drei kollinearEs gibt einen einzigartigen Kegel, der durch sie führt, die nicht entenkten wird. Dies gilt sowohl in der euklidischen Ebene als auch in ihrer Erweiterung, der realen projektiven Ebene. In der Tat gibt es angesichts von fünf Punkten einen Kegel durch sie, aber wenn drei der Punkte kollinear sind, wird der Kegel entart sein (reduzierbar, weil sie eine Linie enthält) und möglicherweise nicht einzigartig sein; sehen weitere Diskussion.

Vier Punkte in der Ebene in der allgemeinen linearen Position bestimmen einen einzigartigen Kegel, der durch die ersten drei Punkte fließt und den vierten Punkt als Zentrum hat. Das Wissen des Zentrums entspricht dem Wissen zwei Punkte auf dem Kegel, um die Kurve zu bestimmen.[21]

Darüber hinaus wird ein Kegel durch eine beliebige Kombination von bestimmt k Punkte im Allgemeinen Position, die es durchgeht und 5 - k Linien, die tangential sind, für 0 ≤k≤5.[22]

Jeder Punkt in der Ebene ist entweder auf Null, ein oder zwei Tangentenlinien eines Kegels. Ein Punkt auf nur einer Tangentenlinie ist auf dem Kegel. Ein Punkt auf keine Tangentiallinie soll eine sein Innenausstattung (oder innerer Punkt) des Conic, während ein Punkt auf zwei Tangentenlinien ein ist Außenpunkt (oder Außenpunkt).

Alle konischen Abschnitte teilen a Reflexionseigenschaft Dies kann angegeben werden als: Alle Spiegel in der Form eines nicht entspannten Kegelabschnitts reflektieren das Licht, das von dem anderen Fokus auf einen Fokus auf oder weg von dem anderen Fokus geht. Im Fall der Parabel muss der zweite Fokus als unendlich weit entfernt betrachtet werden, so dass die Lichtstrahlen, die aus dem zweiten Fokus gehen oder aus dem zweiten Fokus kommen, parallel sind.[23][24]

Pascal's Theorem betrifft die Kollinearität von drei Punkten, die aus einem Satz von sechs Punkten auf einem nicht entenkten Kegel erstellt werden. Der Satz gilt auch für degenerierte Conics, bestehend aus zwei Zeilen, aber in diesem Fall ist es als bekannt als als Pappus 'Satz.

Nicht entengerte Kegelabschnitte sind immer "glatt". Dies ist für viele Anwendungen wie Aerodynamik wichtig, bei denen eine glatte Oberfläche erforderlich ist, um sicherzustellen Laminarfluss und zu verhindern Turbulenz.

Geschichte

Menaechmus und frühe Arbeiten

Es wird angenommen, dass die erste Definition eines Kegelabschnitts von gegeben wurde Menaechmus (starb 320 v. Chr.) Als Teil seiner Lösung des Delian -Problems (Den Würfel duplizieren).[b][25] Seine Arbeit überlebte nicht, nicht einmal die Namen, die er für diese Kurven verwendete, und ist nur durch sekundäre Konten bekannt.[26] Die zu diesem Zeitpunkt verwendete Definition unterscheidet sich von der heute üblicherweise verwendeten. Die Zapfen wurden konstruiert, indem ein rechtes Dreieck um eines seiner Beine gedreht wurde, so dass die Hypotenuse die Oberfläche des Kegels erzeugt (eine solche Linie wird als Generatrix bezeichnet). Drei Arten von Zapfen wurden durch ihre Scheitelpunktwinkel bestimmt (gemessen mit dem doppelten Winkel, der durch die Hypotenuse und das Bein im rechten Dreieck gedreht wurde). Der Kegelabschnitt wurde dann durch Überschneidung einer dieser Zapfen mit einer senkrechten Ebene zu einem Generatrix bestimmt. Die Art des Kegels wird durch den Kegelstyp bestimmt, dh durch den am Scheitelpunkt des Kegel gebildeten Winkels: Wenn der Winkel akut ist, ist der Kegel eine Ellipse; Wenn der Winkel richtig ist, ist der Kegel eine Parabel; und wenn der Winkel stumpf ist, ist der Kegel eine Hyperbel (aber nur ein Zweig der Kurve).[27]

Euklid (Fl. 300 v. Chr.) soll vier Bücher über Conics geschrieben haben, aber diese gingen ebenfalls verloren.[28] Archimedes (gestorben c.212 BC) ist bekannt, dass er Conics untersucht hat, nachdem er den von einer Parabel begrenzten Bereich und einen Akkord in den Quadratur der Parabel. Sein Hauptinteresse bestand darin, Bereiche und Bände von Zahlen im Zusammenhang mit den Conics zu messen und ein Teil dieses Werk Auf Conoiden und Sphäroiden.[29]

Apollonius von Perga

Diagramm von Apollonius ' Conicsin einer arabischen Übersetzung des 9. Jahrhunderts

Der größte Fortschritt bei der Studie über Conics durch die alten Griechen ist auf Apollonius von Perga (gestorben c.190 BC), dessen achtbändige Kegelabschnitte oder Conics zusammengefasst und stark erweitert bestehendes Wissen.[30] Apollonius 'Untersuchung der Eigenschaften dieser Kurven ermöglichte es zu zeigen, dass jede Ebene, die einen festen Doppelkegel (zwei Nickerchen) schneidet, unabhängig von ihrem Winkel nach der früheren Definition zu einem Kegel erzeugt wird, was zu der heute üblichen Definition führt. Kreise, die nach der früheren Methode nicht konstruierbar sind, sind ebenfalls auf diese Weise erhältlich. Dies kann berücksichtigen, warum Apollonius Kreise als vierte Art des Kegelabschnitts betrachtete, eine Unterscheidung, die nicht mehr getroffen wird. Apollonius verwendete die Namen 'Ellipse', 'Parabola' und 'Hyperbola' für diese Kurven und lieh die Terminologie aus früheren pythagoräischen Arbeiten an Gebieten.[31]

Pappus von Alexandria (gestorben c.350 AD) wird der Erklärung der Bedeutung des Konzepts des Konic -Fokus zugeschrieben und das verwandte Konzept von a detailliert detailliert Directrix, einschließlich des Falls der Parabel (der in Apollonius 'bekannten Werken fehlt).[32]

Al-kuhi

Ein Instrument zum Zeichnen von Kegelabschnitten wurde erstmals in 1000 n. Chr. Vom islamischen Mathematiker beschrieben Al-kuhi.[33]: 30[34]

Omar Khayyám

Apollonius 'Arbeit wurde in Arabisch übersetzt, und ein Großteil seiner Arbeit überlebt nur durch die arabische Version. Perser fanden Anwendungen der Theorie, insbesondere des persischen Mathematikers und des Dichters Omar Khayyám,[35] Wer fand eine geometrische Methode zur Lösung Kubikgleichungen mit konischen Abschnitten.[36][37]

Europa

Johannes Kepler erweiterte die Theorie der Conics durch das "Prinzip der Kontinuität", Ein Vorläufer des Konzepts der Grenzen. Kepler verwendete erstmals 1604 den Begriff" Foci ".[38]

Girard Desargues und Blaise Pascal entwickelte eine Theorie der Conics unter Verwendung einer frühen Form von projektive Geometrie und dies trug dazu bei, Impulse für das Studium dieses neuen Bereichs zu liefern. Insbesondere entdeckte Pascal einen Satz, der als das bekannt ist Hexagrammum mysticum aus denen viele andere Eigenschaften von Conics abgeleitet werden können.

René Descartes und Pierre Fermat Beide wendeten ihre neu entdeckten analytische Geometrie zum Studium von Conics. Dies hatte die Auswirkung, die geometrischen Probleme der Conics auf Probleme in der Algebra zu reduzieren. Es war jedoch John Wallis in seiner Abhandlung von 1655 Tractatus de sectionibus conicis wer definierte zuerst die Kegelabschnitte als Instanzen von Gleichungen zweiten Grades.[39] Zuvor geschrieben, aber später veröffentlicht, Jan de Witt's Elementa Curvarum Linearum beginnt mit Keplers kinematisch Konstruktion der Conics und entwickelt dann die algebraischen Gleichungen. Diese Arbeit, bei der Fermats Methodik und Descartes 'Notation verwendet werden, wurde als erstes Lehrbuch zu diesem Thema beschrieben.[40] De Witt erfand den Begriff "Directrix".[40]

Anwendungen

Das Paraboloid Form eines Archäozyathiden produziert konische Abschnitte auf Felsengesichtern

Kegelabschnitte sind wichtig in Astronomie: das Umlaufbahnen von zwei massiven Objekten, die nacheinander interagieren Newtons Gesetz der universellen Gravitation sind konische Abschnitte, wenn sie häufig sind Massezentrum wird als in Ruhe angesehen. Wenn sie zusammengebunden sind, werden beide Ellipsen nachverfolgen; Wenn sie sich auseinander bewegen, folgen beide Parabel oder Hyperbolas. Sehen Zwei-Körper-Problem.

Die reflektierenden Eigenschaften der Kegelabschnitte werden für die Gestaltung von Suchscheinwerfern, Radio-Teleskopen und einigen optischen Teleskopen verwendet.[41] Ein Suchscheinwerfer verwendet einen parabolischen Spiegel als Reflektor mit einer Glühbirne im Fokus. und eine ähnliche Konstruktion wird für a verwendet Parabolmikrofon. Die 4,2 Meter Herschel optisches Teleskop Auf La Palma, auf den Kanarischen Inseln, verwendet ein primärer parabolischer Spiegel, um das Licht in Richtung eines sekundären hyperbolischen Spiegels zu reflektieren, der ihn wieder zu einem Fokus hinter dem ersten Spiegel widerspiegelt.

In der realen projektiven Ebene

Die Kegelabschnitte haben einige sehr ähnliche Eigenschaften in der euklidischen Ebene und die Gründe dafür werden klarer, wenn die Conics aus der Perspektive einer größeren Geometrie betrachtet werden. Die euklidische Ebene kann in die eingebettet sein Real Projective Ebene und die Conics können als Objekte in dieser projektiven Geometrie betrachtet werden. Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, vorzustellen Homogene Koordinaten und definieren einen Kegel als die Anzahl von Punkten, deren Koordinaten eine irreduzible quadratische Gleichung in drei Variablen (oder gleichwertig die Nullen eines nicht reduzierbaren Nulles erfüllen quadratische Form). Technisch gesehen wird der Satz von Punkten, die Nullen einer quadratischen Form sind (in einer beliebigen Anzahl von Variablen) Quadrikund die irreduziblen Quadriken in einem zweidimensionalen projektiven Raum (dh drei Variablen) werden traditionell als Conics bezeichnet.

Die euklidische Ebene R2 ist in die reale projektive Ebene eingebettet durch angrenzende a Linie in Unendlichkeit (und es entsprechend sein Punkte auf unendlich) damit sich alle Zeilen einer parallele Klasse in dieser Zeile treffen. Auf der anderen Seite wird eine euklidische Ebene mit der realen projektiven Ebene erhalten, indem einige Linien als Linie in Unendlichkeit unterschieden und alle seine Punkte entfernt werden.

Kreuzung in Unendlichkeit

In einem Projektivraum Über jedem Teilungsring, insbesondere jedoch entweder über die realen oder komplexen Zahlen, sind alle nicht entenkten Conics äquivalent, und daher spricht man in der projektiven Geometrie einfach von "einem Conic", ohne einen Typ anzugeben. Das heißt, es gibt eine projektive Transformation, die jeden nicht entengerten Koniz auf andere nicht entenkte Kegel kartiert.[42]

Die drei Arten von Kegelabschnitten werden in der affinen Ebene wieder auftauchen, indem sie eine Linie des projektiven Raums ausgewählt haben, um die Linie in Unendlichkeit zu sein. Die drei Typen werden dann dadurch bestimmt, wie diese Linie im Unendlichkeit den Kegel im projektiven Raum schneidet. Im entsprechenden affine Raum erhält man eine Ellipse, wenn der Kegel die Linie in Unendlichkeit nicht schneidet Doppelpunkt entsprechend der Achse und einer Hyperbola, wenn die Kegel die Linie in zwei Punkten in zwei Punkten überschneidet, die den Asymptoten entsprechen.[43]

Homogene Koordinaten

Im Homogene Koordinaten Ein Kegelabschnitt kann dargestellt werden als:

Oder in Matrix Notation

Die 3 × 3 -Matrix oben wird genannt die Matrix des Kegelabschnitts.

Einige Autoren schreiben es vor, die allgemeine homogene Gleichung als zu schreiben

(oder eine Variation davon), damit die Matrix des Kegelabschnitts die einfachere Form hat,

Diese Notation wird jedoch in diesem Artikel nicht verwendet.[c]

Wenn die Determinante der Matrix des Kegelabschnitts Null ist, ist der Kegelabschnitt degenerieren.

Wenn Sie alle sechs Koeffizienten mit demselben Skalar ungleich Null multiplizieren (A, B, C, D, E, F) als Punkte in der fünfdimensionalen Projektivraum

Projektive Definition eines Kreises

Metrisch Konzepte der euklidischen Geometrie (Konzepte, die mit Messlängen und Winkeln betroffen sind) können nicht sofort auf die reale projektive Ebene ausgedehnt werden.[d] Sie müssen in dieser neuen Geometrie neu definiert (und verallgemeinert) werden. Dies kann für willkürliche getan werden Projektive FlugzeugeUm die reale Projektebene als erweiterte euklidische Ebene zu erhalten, müssen einige spezifische Auswahlmöglichkeiten getroffen werden.[44]

Fix eine willkürliche Linie in einer projektiven Ebene, die als die bezeichnet werden soll Absolute Linie. Wählen Sie zwei unterschiedliche Punkte in der absoluten Zeile aus und verweisen Sie sie als Absolute Punkte. In Bezug auf diese Entscheidungen können mehrere metrische Konzepte definiert werden. Zum Beispiel bei einer Linie mit den Punkten A und B, das Mittelpunkt des Liniensegments Ab ist definiert als der Punkt C Welches ist das projektives harmonisches Konjugat der Schnittstelle von Ab und die absolute Linie in Bezug auf A und B.

Ein Kegel in einer Projektebene, die die beiden absoluten Punkte enthält Kreis. Da fünf Punkte einen Kegel bestimmen, wird ein Kreis (der degeneriert werden kann) durch drei Punkte bestimmt. Um die erweiterte euklidische Ebene zu erhalten, wird die absolute Linie als Linie an unendlich der euklidischen Ebene ausgewählt, und die absoluten Punkte sind zwei spezielle Punkte auf dieser Linie, die als die genannt werden Rundpunkte bei Unendlichkeit. Linien, die zwei Punkte mit realen Koordinaten enthalten kollinear.[45]: 72 

Es wurde erwähnt, dass Kreise in der euklidischen Ebene nicht durch die Eigenschaft der Focus-Directrix definiert werden können. Wenn man die Linie in Unendlichkeit als Directrix betrachten, dann durch die Exzentrizität zu sein e = 0 Ein Kreis hat die Eigenschaft für Fokus-Directrix, wird jedoch immer noch nicht durch diese Eigenschaft definiert.[46] In dieser Situation muss man vorsichtig sein, um die Definition von Exzentrizität als das Verhältnis des Abstands eines Punktes auf den Kreis zum Fokus (Länge eines Radius) zum Abstand dieses Punktes zum Directrix korrekt zu verwenden (dieser Abstand ist unendlich) das gibt den begrenzenden Wert von Null.

Steiners projektive Konic -Definition

Definition der Steiner -Erzeugung eines Kegelabschnitts

A Synthetik (koordinatenfrei) Ansatz zur Definition der Kegelabschnitte in einer Projektebene wurde von gegeben Jakob Steiner 1867.

  • Mit zwei Stiften von Linien an zwei Punkten (Alle Zeilen enthalten und resp.) und a Projektiv aber nicht Perspektive Kartierung von auf zu . Dann bilden die Schnittpunkte der entsprechenden Linien einen nicht entspannten projektiven konischen Abschnitt.[47][48][49][50]

A Perspektive Kartierung eines Bleistifts auf einen Bleistift ist ein Bijection (1-1 Korrespondenz), so dass sich entsprechende Linien auf einer festen Linie überschneiden , was genannt wird Achse der Perspektivität .

A Projektiv Die Zuordnung ist eine endliche Abfolge von Perspektiven.

Als projektive Mapping in einem Projektebene über einem Feld (Pappian -Flugzeug) wird eindeutig durch Verschreibung der Bilder von drei Zeilen bestimmt,[51] Für die Steiner -Generation eines Kegelabschnitts neben zwei Punkten Nur die Bilder von 3 Zeilen müssen gegeben werden. Diese 5 Elemente (2 Punkte, 3 Linien) bestimmen den Kegelabschnitt eindeutig.

Linienkonics

Bis zum Prinzip der Dualität In einer projektiven Ebene ist das Dual jedes Punktes eine Linie, und der Doppel eines Punktes von Punkten (eine Reihe von Punkten, die einige Bedingungen erfüllen) wird als als als erfreudiger Punkte bezeichnet Umschlag von Linien. Mit Steiners Definition eines Kegels (dieser Punkteort wird nun als als Punkte bezeichnet Point Conic) Mit dem Treffen der entsprechenden Strahlen von zwei verwandten Stiften ist es leicht, die entsprechende Hülle zu doppelten und zu erhalten, die aus den Verbindungen entsprechender Punkte von zwei verwandten Bereichen (Punkte auf einer Linie) auf verschiedenen Basen besteht (die Linien, die die Punkte sind) . Ein solcher Umschlag wird a genannt Linie konic (oder Dual Conic).

In der realen projektiven Ebene hat ein Point -Conic die Eigenschaft, dass jede Linie sie in zwei Punkten erreicht (was möglicherweise übereinstimmt oder komplex sein kann), und jede Reihe von Punkten mit dieser Eigenschaft ist ein Point -Conic. Es folgt zwar doch, dass ein Linie -Conic zwei seiner Linien durch jeden Punkt hat und jeder Zeilenumschlag mit dieser Eigenschaft ein Linienbahnen ist. An jedem Punkt eines Punktes gibt es eine einzigartige Tangentenlinie, und zwar auf jeder Linie eines Linienkonics gibt es einen einzigartigen Punkt namens a Anlaufstelle. Ein wichtiger Satz besagt, dass die Tangentenlinien eines Punktes eine Liniekonic bilden, und doppelt die Kontaktpunkte eines Linienkonics einen Punktkonic.[52]: 48–49

Von Staudts Definition

Karl Georg Christian von Staudt definierte einen Kegel als der Punkt, der durch alle absoluten Punkte von a gegeben wurde Polarität Das hat absolute Punkte. Von Staudt hat diese Definition in eingeführt Geometrie der Lage (1847) als Teil seines Versuchs, alle metrischen Konzepte aus der projektiven Geometrie zu entfernen.

A Polarität, π, einer projektiven Ebene, P, ist ein involutorisch (d. H. der Reihenfolge zwei) Bijection zwischen den Punkten und den Linien von P das bewahrt das Inzidenzbeziehung. Somit bezieht eine Polarität einen Punkt Q mit einer Linie q und folgt Gergonne, q wird genannt Polar- von Q und Q das Pole von q.[53] Ein absoluter Punkt (Linie) einer Polarität ist eine, die mit ihrer Polar (Pole) vorgenommen wird.[e]

Ein von Staudt Conic in der realen projektiven Ebene entspricht a Steiner Conic.[54]

Konstruktionen

Kein kontinuierlicher Bogen eines Kegels kann mit Blinddge und Compass konstruiert werden. Für eine beliebige Anzahl von individuellen Punkten auf einem Bogen gibt es jedoch mehrere Lineal-und-Compass-Konstruktionen.

Einer von ihnen basiert auf dem Gegenteil von Pascals Theorem, nämlich, nämlich, Wenn die Schnittpunkte der gegenüberliegenden Seiten eines Sechsecks kollinear sind, liegen die sechs Eckpunkte auf einem Kegel. Insbesondere mit fünf Punkten, A, B, C, D, E und eine Linie, die durchgeht E, sagen Z.B, ein Punkt F Das liegt in dieser Linie und ist auf dem von den fünf Punkten bestimmten Kegeln konstruiert. Lassen Ab Treffen De in L, BC Treffen Z.B in M und lass CD Treffen Lm bei N. Dann EIN trifft Z.B am erforderlichen Punkt F.[55]: 52–53 Durch Variieren der Linie durch Eso viele zusätzliche Punkte auf dem Wunsch können konstruiert werden.

Parallelogrammmethode zum Bau einer Ellipse

Eine andere Methode, die auf Steiners Konstruktion basiert und die in technischen Anwendungen nützlich ist, ist die, die nützlich ist Parallelogrammmethode, wobei ein Kegel punkt für Punkt konstruiert wird, indem bestimmte gleiche Punkte an einer horizontalen Linie und einer vertikalen Linie miteinander verbunden sind.[56] Speziell, um die Ellipse mit Gleichung zu konstruieren x2/a2 + y2/b2 = 1Konstruieren Sie zuerst das Rechteck A B C D mit Eckpunkten A(a, 0), B(a, 2b), C( -a, 2b) und D( -a, 0). Teilen Sie die Seite BC hinein n Gleiche Segmente und Verwendung paralleler Projektion in Bezug auf die Diagonale AC, um gleiche Segmente auf Seite zu bilden Ab (Die Längen dieser Segmente werden sein b/a mal die Länge der Segmente auf BC). Auf der Seite BC Beschriften Sie die linken Endpunkte der Segmente mit A1 zu An beginnt um B und in Richtung C. Auf der Seite Ab Beschriften Sie die oberen Endpunkte D1 zu Dn beginnt um A und in Richtung B. Die Schnittpunkte, Schnittpunkte, AaiDdi zum 1 ≤ in wird Punkte der Ellipse zwischen sein A und P(0,, b). Die Kennzeichnung verbindet die Linien des Bleistifts durch A mit den Zeilen des Bleistifts durch D projektiv, aber nicht Perspektiv. Das gesuchte für Kegel wird durch diesen Bau seit drei Punkten erhalten A, D und P und zwei Tangenten (die vertikalen Linien bei A und D) Bestimmen Sie den Kegel eindeutig. Wenn ein weiterer Durchmesser (und sein Konjugatdurchmesser) anstelle der Haupt- und Nebenachsen der Ellipse verwendet wird, wird in der Konstruktion ein Parallelogramm verwendet, das kein Rechteck ist, wodurch der Name der Methode angegeben ist. Die Assoziation der Stifte ist erweitert werden, um andere Punkte auf der Ellipse zu erhalten. Die Konstruktionen für Hyperbel[57] und Parabel[58] sind ähnlich.

Eine andere allgemeine Methode verwendet die Polaritätseigenschaft, um die Tangentenhülle eines Kegels zu konstruieren (ein Linienkonic).[59]

In der komplexen Projektivebene

In der komplexen Ebene C2, Ellipsen und Hyperbel sind nicht unterschiedlich: Man kann eine Hyperbola als Ellipse mit einer imaginären Achselänge betrachten. Zum Beispiel die Ellipse wird eine Hyperbel unter dem Substitution geometrisch eine komplexe Rotation, die nachgibt . Somit gibt es eine 2-Wege-Klassifizierung: Ellipse/Hyperbel und Parabel. Wenn Sie die Kurven auf die komplexe projektive Ebene erweitern, entspricht dies der Überschneidung der Linie in Unendlichkeit in entweder 2 unterschiedlichen Punkten (entsprechend zwei Asymptoten) oder in 1 Doppelpunkt (entsprechend der Achse einer Parabola); Somit ist die echte Hyperbel ein suggestiveres reales Bild für die komplexe Ellipse/Hyperbola, da sie auch 2 (reale) Kreuzungen mit der Linie im Unendlichen hat.

Weitere Vereinigung erfolgt in der Komplexe Projektivebene CP2: Die nicht entengerte Conics kann nicht voneinander unterschieden werden projektive lineare Transformation.

Es kann bewiesen werden, dass in CP2, zwei Kegelabschnitte haben vier Punkte gemeinsam (wenn man ausbietet Vielzahl), also gibt es zwischen 1 und 4 Überschneidung Punkte. Die Kreuzungsmöglichkeiten sind: vier verschiedene Punkte, zwei Singularpunkte und ein Doppelpunkt, zwei Doppelpunkte, ein Singularpunkt und einen mit Multiplizität 3, ein Punkt mit Multiplizität 4. Wenn ein Schnittpunkt Multiplizität> 1 hat, werden die beiden Kurven gesagt sein Tangente. Wenn es einen Schnittpunkt der Multiplizität mindestens 3 gibt, sollen die beiden Kurven sein Osculation. Wenn es nur einen Schnittpunkt gibt, der Multiplizität 4 hat, sollen die beiden Kurven sein superoskulierend.[60]

Außerdem jeweils gerade Linie Überschneidet jeden Kegelabschnitt zweimal. Wenn der Schnittpunkt doppelt ist, ist die Linie a Tangente. Jeder Kegelabschnitt überschneidet sich mit der Linie im Unendlichen und hat zwei Punkte im Unendlichen. Wenn diese Punkte real sind, ist die Kurve a Hyperbel; Wenn sie imaginäre Konjugate sind, ist es ein Ellipse; Wenn es nur einen Doppelpunkt gibt, ist es a Parabel. Wenn die Punkte in Unendlichkeit die sind zyklische Punkte (1, i, 0) und (1, -i, 0), der Kegelabschnitt ist a Kreis. Wenn die Koeffizienten eines Kegelabschnitts real sind, sind die Punkte bei Unendlichkeit entweder real oder Komplexes Konjugat.

Degenerierte Fälle

Was sollte als als betrachtet werden degenerierter Fall eines Kegels hängt von der verwendeten Definition und der geometrischen Einstellung für den Kegelabschnitt ab. Es gibt einige Autoren, die einen Kegel als zweidimensionales nicht genanntes Quadric definieren. Mit dieser Terminologie gibt es keine degenerierten Conics (nur degenerierte Quadriken), aber wir werden die traditionellere Terminologie verwenden und diese Definition vermeiden.

In der euklidischen Ebene entsteht unter Verwendung der geometrischen Definition ein degenerierter Fall, wenn die Schneidebene durch die Spitze des Kegels verläuft. Der entartete Kegel ist entweder: a Punkt, wenn die Ebene den Kegel nur an der Spitze schneidet; a gerade Linie, wenn die Ebene tangential zum Kegel ist (es enthält genau einen Generator des Kegels); oder ein Paar schneidende Linien (zwei Generatoren des Kegels).[61] Diese entsprechen jeweils den begrenzenden Formen einer Ellipse, einer Parabel und einer Hyperbel.

Wenn ein Kegel in der euklidischen Ebene durch die Nullen einer quadratischen Gleichung (dh als Quadrik) definiert wird, dann sind die degenerierten Conics: die leeres Set, ein Punkt oder ein Paar von Linien, die parallel sein können, überschneiden sich an einem Punkt oder überfallen. Der leere Set -Fall kann entweder einem Paar von entsprechen Komplexes Konjugat Parallellinien wie mit der Gleichung oder zu an imaginäre Ellipsewie mit der Gleichung Eine imaginäre Ellipse erfüllt die allgemeine Definition von a nicht Entartungund wird daher normalerweise nicht als degeneriert angesehen.[62] Der Fall der beiden Linien tritt auf, wenn die quadratischen Expression in zwei lineare Faktoren faktor, wobei die Nullen jeder eine Linie entstehen. In dem Fall, dass die Faktoren gleich sind, stimmen die entsprechenden Linien zusammen und wir bezeichnen die Linie als a doppelt Linie (eine Linie mit Vielzahl 2) Und dies ist der vorherige Fall einer Tangenten -Schneidebene.

In der realen projektiven Ebene kann sich parallele Linien an einem Punkt in der Linie in Unendlichkeit treffen, der parallele Leitungsfall der euklidischen Ebene kann als sich kreuzende Linien angesehen werden. Da jedoch der Schnittpunkt der Apex des Kegels ist, degeneriert der Kegel selbst zu a Zylinder, d.h. mit der Spitze im Unendlichen. Andere Abschnitte werden in diesem Fall aufgerufen Zylinderabschnitte.[63] Die nicht entspannten zylindrischen Abschnitte sind Ellipsen (oder Kreise).

Wenn sie aus der Perspektive der komplexen projektiven Ebene betrachtet werden, können die degenerierten Fälle eines realen Quadrikes (d. H. Die quadratische Gleichung hat echte Koeffizienten) als ein Paar von Linien, die möglicherweise zusammenfallen. Der leere Satz kann die Linie in Infinity sein, die als doppelte Linie angesehen wird, ein (realer) Punkt ist der Schnittpunkt von zwei Komplexe konjugierte Linien und die anderen Fälle, wie bereits erwähnt.

Um die degenerierten Fälle von den nicht entspannten Fällen (einschließlich des leeren Sets mit letzterem) unter Verwendung von Matrixnotation zu unterscheiden β Sei die Determinante der 3 × 3 -Matrix des Kegelabschnitts - das heißt, β = (AC B2/4)F + BETTCD2Ae2/4; und lass α = B2 - 4AC Sei die Diskriminanz. Dann ist der Kegelabschnitt nicht, wenn und nur wenn β ≠ 0. Wenn β = 0 Wir haben einen Punkt, wenn α < 0, zwei parallele Linien (möglicherweise übereinstimmen), wenn α = 0oder zwei schneidende Linien, wenn α > 0.[64]

Bleistift der Conics

A (nicht herkömmlicher) conic wird vollständig bestimmt durch fünf Punkte in der allgemeinen Position (Nr. Drei kollinear) in einer Ebene und das System der Conics, die einen festen Satz von vier Punkten durchlaufen (wieder in einer Ebene und keiner drei kollinear) Bleistift der Conics.[65]: 64 Die vier gemeinsamen Punkte werden die genannt Basispunkte des Bleistifts. Durch einen anderen Punkt als einen Basispunkt gibt es einen einzelnen Kegel des Bleistifts. Dieses Konzept verallgemeinert a Bleistift von Kreisen.[66]: 127

Zwei Conics überschneiden

Die Lösungen für ein System von zwei Gleichungen zweiten Grades in zwei Variablen können als Koordinaten der Schnittpunkte von zwei generischen konischen Abschnitten angesehen werden. Insbesondere zwei Conics können keine, zwei oder vier möglicherweise übereinstimmende Schnittpunkte besitzen. Eine effiziente Methode zur Lokalisierung dieser Lösungen nutzt die homogenen Matrixdarstellung von Kegelabschnitten, d.h. a 3 × 3 Symmetrische Matrix Das hängt von sechs Parametern ab.

Das Verfahren zur Lokalisierung der Schnittpunkte folgt folgenden Schritten, wobei die Conics durch Matrizen dargestellt werden:[67]

  • Angesichts der beiden Conics und Betrachten Sie den Bleistift der Conics durch ihre lineare Kombination
  • Identifizieren Sie die homogenen Parameter die dem entarteten Kegel des Bleistifts entsprechen. Dies kann durch Auferlegen der Bedingung erfolgen, die und Lösung für und . Diese sind die Lösungen einer Gleichung dritten Grades.
  • Angesichts des entarteten Kegels Identifizieren Sie die beiden, möglicherweise übereinstimmenden Linien, die sie ausmachen.
  • Überschneiden Sie jede identifizierte Linie mit einer der beiden ursprünglichen Conics; Dieser Schritt kann mit der Dual -Conic -Darstellung von effizient durchgeführt werden
  • Die Schnittpunkte werden die Lösungen für das anfängliche Gleichungssystem darstellen.

Verallgemeinerungen

Conics können über andere Bereiche definiert werden (dh in anderen Pappian Geometrien). Es muss jedoch einige Vorsicht geboten werden, wenn das Feld hat charakteristisch 2, wie einige Formeln nicht verwendet werden können. Zum Beispiel die verwendeten Matrixdarstellungen Oben Division um 2.

Eine Verallgemeinerung eines nicht entengerten Kammers in einer Projektivebene ist ein Oval. Ein Oval ist ein Punkt, der die folgenden Eigenschaften aufweist, die von Conics gehalten werden: 1) Jede Linie schneidet ein Oval in keiner, ein oder zwei Punkte, 2). An jedem Punkt des Ovals gibt es eine einzigartige Tangentenlinie.

Verallgemeinerung der Fokuseigenschaften von Conics auf den Fall, in dem mehr als zwei Herde produzieren Sätze genannt werden Verallgemeinerte Conics.

Der Schnittpunkt eines elliptischer Kegel mit einer Kugel ist a sphärische Kegel, was viele Immobilien mit Planar Conics teilt.

In anderen Bereichen der Mathematik

Die Klassifizierung in elliptisch, parabolisch und hyperbolisch ist in der Mathematik allgegenwärtig und unterteilt häufig ein Feld in scharf unterschiedliche Unterfelder. Die Klassifizierung ergibt sich hauptsächlich aufgrund des Vorhandenseins einer quadratischen Form (in zwei Variablen entspricht dies dem zugehörigen Diskriminanz), kann aber auch Exzentrizität entsprechen.

Quadratische Formklassifizierungen:

Quadratische Formen
Quadratische Formen über den Realis werden durch klassifiziert nach Trägheitsgesetz von Sylvester, nämlich nach ihrem positiven Index, Null -Index und negativen Index: eine quadratische Form in n Variablen können in a konvertiert werden diagonale Form, wie wo die Anzahl der +1 Koeffizienten, k, k, k. ist der positive Index, die Anzahl der –1 Koeffizienten, , ist der negative Index, und die verbleibenden Variablen sind der Nullindex m, Also In zwei Variablen werden die quadratischen Formen ungleich Null als:
  • -Positiv-definit (das Negative ist auch enthalten), entsprechend Ellipsen,
  • - degeneriert, entsprechend Parabolas und
  • - unbestimmt, entsprechend Hyperbolas.
In zwei Variablen werden quadratische Formen durch Diskriminanz, analog zu Conics klassifiziert, aber in höheren Dimensionen ist die nützlichere Klassifizierung als definitiv, (alle positiv oder alle negativ), degenerieren, (einige Nullen) oder unbestimmt (Mischung aus positiven und negativen, aber ohne Nullen). Diese Klassifizierung liegt vielen zugrunde zugrunde.
Krümmung
Das Gaußsche Krümmung von a auftauchen beschreibt die infinitesimale Geometrie und kann an jedem Punkt entweder positiv sein - Elliptische Geometrie, Null - Euklidische Geometrie (flach, parabel) oder negativ - Hyperbolische Geometrie; Infinitesimal, um die Oberfläche zweiter Ordnung zu sein (oder 0) oder . In der Tat von der Uniformisationstheorem Jede Oberfläche kann als weltweit (an jedem Punkt) positiv gebogen, flach oder negativ gekrümmt sein. In höheren Dimensionen die Riemann -Krümmungstensor ist ein komplizierteres Objekt, aber Verteiler mit konstanter Schnittkrümmung sind interessante Studienobjekte und haben auffallend unterschiedliche Eigenschaften, wie er erläutert wird Schnittkrümmung.
PDES zweiter Ordnung
Partielle Differentialgleichungen (Pdes) von zweite Bestellung werden an jedem Punkt als elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch eingestuft, entsprechend als Begriffe der zweiten Ordnung einer elliptischen, parabolischen oder hyperbolischen quadratischen Form entsprechen. Das Verhalten und die Theorie dieser verschiedenen Arten von PDEs sind auffallend unterschiedlich - repräsentative Beispiele sind, dass die Poisson -Gleichung ist elliptisch, die Wärmegleichung ist parabolisch und die Wellengleichung ist hyperbolisch.

Exzentrizitätsklassifikationen enthalten:

Möbius -Transformationen
Echte Möbius -Transformationen (Elemente von PSL2(R) oder seine 2-fache Abdeckung, Sl2(R)) sind klassifiziert als elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch entsprechend, da ihre Halbspur ist oder Spiegelung der Klassifizierung durch Exzentrizität.
Varianz zu Mittelverhältnis
Das Verhältnis von Varianz zu Mittel klassifiziert mehrere wichtige Familien von Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen: die konstante Verteilung als kreisförmig (Exzentrizität 0), Binomialverteilungen als elliptisch, Poisson -Verteilungen als parabolisch und Negative Binomialverteilungen als hyperbolisch. Dies ist ausgearbeitet bei Kumulanzien einiger diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Bewegen Sie sich in diesem interaktiven SVG nach links und rechts über das SVG -Bild, um den Doppelkegel zu drehen

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Das leere Satz ist als entarteter Kegel enthalten, da es als Lösung dieser Gleichung auftreten kann.
  2. ^ Entsprechend PlutarchDiese Lösung wurde von Platon mit der Begründung abgelehnt, dass sie nicht nur mit Blindge und Compass erreicht werden konnte, diese Interpretation der Plutarch -Aussage wurde jedoch unter Kritik geraten. Boyer 2004, S.14, Fußnote 14.
  3. ^ Diese Form der Gleichung verallgemeinert nicht auf Felder von charakteristischen zwei.
  4. ^ Betrachten Sie den Mittelpunkt eines Liniensegments mit einem Endpunkt in der Linie in Unendlichkeit.
  5. ^ Coxeter und mehrere andere Autoren verwenden den Begriff "Selbstkonjugat" anstelle von "Absolute".

Verweise

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Literaturverzeichnis

Externe Links