Konfigurationsraum (Physik)

Im klassische MechanikDie Parameter, die die Konfiguration eines Systems definieren, werden aufgerufen Verallgemeinerte Koordinaten, und der von diesen Koordinaten definierte Raum wird als die genannt Konfigurationsraum des physisches System. Es ist häufig der Fall, dass diese Parameter mathematische Einschränkungen erfüllen, so dass der Satz der tatsächlichen Konfigurationen des Systems ein Verteiler im Raum verallgemeinerter Koordinaten ist. Dies vielfältig wird genannt Konfigurationsverteiler vom System. Beachten Sie, dass dies ein Begriff des "uneingeschränkten" Konfigurationsraums ist, d. H. Unter verschiedenen Punktpartikeln können dieselbe Position einnehmen. In der Mathematik, insbesondere in der Topologie, ist ein Begriff "eingeschränkt" Konfigurationsraum wird meistens verwendet, in denen die Diagonalen, die "kollidierende" Partikel darstellen, entfernt werden.

Beispiel: Ein Teilchen im 3D -Raum

Die Position eines einzelnen Partikels, das sich in gewöhnlicher Bewegung bewegt Euklidischer 3-Raum wird vom Vektor definiert ${\ displayStyle q = (x, y, z)}$ und damit seine Konfigurationsraum ist ${\ displayStyle q = \ mathbb {r} ^{3}}$ . Es ist konventionell, das Symbol zu verwenden ${\ displayStyle q}$ für einen Punkt im Konfigurationsraum; Dies ist die Konvention in beiden Hamiltonsche Formulierung der klassischen Mechanik, und in Lagrange -Mechanik. Das Symbol ${\ displayStyle p}$ wird verwendet, um eine Impulse zu bezeichnen; das Symbol ${\ displayStyle {\ dot {q}} = dq/dt}$ bezieht sich auf Geschwindigkeiten.

Ein Teilchen könnte eingeschränkt werden, um sich auf ein bestimmtes zu bewegen vielfältig. Wenn das Partikel beispielsweise an eine starre Verbindung angebracht ist und frei über den Ursprung schwingt, ist es effektiv beschränkt, auf einer Kugel zu liegen. Sein Konfigurationsraum ist die Teilmenge der Koordinaten in ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{3}}$ das definiert Punkte auf der Sphäre ${\ displayStyle S^{2}}$ . In diesem Fall sagt man, dass der Verteiler ${\ displayStyle q}$ ist die Sphäre, d.h. ${\ displayStyle q = s^{2}}$ .

Zum n Trennungspunkte, nicht interagierende Punktpartikel, der Konfigurationsraum ist ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{3n}}$ . Im Allgemeinen interessiert sich jedoch an dem Fall, in dem die Partikel interagieren: Sie sind beispielsweise spezifische Orte bei einer Ansammlung von Zahnrädern, Riemenscheiben, Rollbällen. usw. Oft gezwungen, sich zu bewegen, ohne zu rutschen. In diesem Fall ist der Konfigurationsraum noch nicht alle ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{3n}}$ , aber der Unterraum (Submaniflold) der zulässigen Positionen, die die Punkte einnehmen können.

Beispiel: Starrkörper im 3D -Raum

Der Satz von Koordinaten, die die Position eines Referenzpunkts und die Ausrichtung eines Koordinatenrahmens definieren, der an einem starren Körper in dreidimensionalem Raum angebracht ist ${\ displayStyle \ mathbb {r} ^{3} \ times \ mathrm {so} (3)}$ wo ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{3}}$ repräsentiert die Koordinaten des Ursprungs des am Körper gebundenen Rahmens, und ${\ displayStyle \ mathrm {so} (3)}$ repräsentiert die Rotationsmatrizen, die die Ausrichtung dieses Rahmens relativ zu einem Bodenrahmen definieren. Eine Konfiguration des starren Körpers wird durch sechs Parameter definiert, drei von ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{3}}$ und drei von ${\ displayStyle \ mathrm {so} (3)}$ und soll sechs haben Freiheitsgrade.

In diesem Fall der Konfigurationsraum $oder$ ist sechsdimensional und ein Punkt ${\ displayStyle q \ in q}$ ist nur ein Punkt in diesem Raum. Die Lage der ${\ displayStyle q}$ In diesem Konfigurationsraum wird mit Verwendung beschrieben Verallgemeinerte Koordinaten; Somit könnten drei der Koordinaten den Ort des Massenzentrums des starren Körpers beschreiben, während drei weitere die sein könnten Euler -Winkel Beschreibung seiner Orientierung. Es gibt keine kanonische Auswahl der Koordinaten; Man könnte auch einen Tipp oder einen Endpunkt des starren Körpers anstelle seines Massenzentrums wählen; Man könnte sich für die Verwendung entscheiden Quaternionen statt Euler -Winkel und so weiter. Die Parametrisierung ändert jedoch nicht die mechanischen Eigenschaften des Systems. Alle unterschiedlichen Parametrisierungen beschreiben letztendlich die gleiche (sechsdimensionale) Verteiler, dieselbe Menge möglicher Positionen und Orientierungen.

Einige Parametrisierungen sind einfacher zu arbeiten als mit anderen, und viele wichtige Aussagen können durch koordinatenfreie Weise gemacht werden. Beispiele für koordinatenfreie Aussagen sind, dass die Tangentenraum ${\ displayStyle tq}$ entspricht den Geschwindigkeiten der Punkte ${\ displayStyle q \ in q}$ , während Cotangent Space ${\ displayStyle t^{*} q}$ entspricht dem Moment. (Geschwindigkeiten und Impulse können verbunden werden; für den allgemeinsten und abstraktsten Fall wird dies mit dem eher abstrakten Begriff des Tautologische Einform.))

Beispiel: Roboterarm

Für einen Roboterarm, der aus zahlreichen starre Verknüpfungen besteht ihr erlaubter Bewegungsbereich. So für ${\ displayStyle n}$ Verknüpfungen, könnte man den Gesamtraum berücksichtigen

oder

Außer dass alle verschiedenen Anhänge und Einschränkungen bedeuten, dass nicht jeder Punkt in diesem Raum erreichbar ist. Somit der Konfigurationsraum

{\ displayStyle q}

ist notwendigerweise ein Unterraum der

{\ displayStyle n}

-Rigid-Body-Konfigurationsraum.

Beachten Sie jedoch, dass in der Robotik der Begriff Konfigurationsraum kann sich auch auf eine weitere reduzierte Teilmenge beziehen: die Reihe von erreichbaren Positionen durch das Roboter eines Roboters Endeffektor.^[1] Diese Definition führt jedoch zu Komplexitäten, die von der beschrieben wurden Holonomie: Das heißt, es kann verschiedene Möglichkeiten geben, einen Roboterarm zu arrangieren, um einen bestimmten Endeffektorort zu erhalten, und es ist sogar möglich, dass sich der Roboterarm bewegt und gleichzeitig den Endeffektor stationär bleibt. Eine vollständige Beschreibung des Arms, die für die Verwendung in der Kinematik geeignet ist, erfordert daher die Spezifikation von alle der gemeinsamen Positionen und Winkel und nicht nur einige von ihnen.

Die gemeinsamen Parameter des Roboters werden als verallgemeinerte Koordinaten verwendet, um Konfigurationen zu definieren. Die Menge der gemeinsamen Parameterwerte wird als die genannt Gelenkraum. Ein Roboter nach vorne und Inverse Kinematik Gleichungen definieren Karten zwischen Konfigurationen und End-Effector-Positionen oder zwischen dem Gelenkraum und dem Konfigurationsraum. Roboter Bewegungsplanung Verwendet diese Zuordnung, um einen Pfad im gemeinsamen Raum zu finden, der eine erreichbare Route im Konfigurationsraum des Endeffektors bietet.

Formale Definition

Im klassische MechanikDie Konfiguration eines Systems besteht aus den Positionen, die von allen Komponenten kinematischen Einschränkungen unterliegen.^[2]

Phasenraum

Der Konfigurationsraum reicht nicht aus, um ein mechanisches System vollständig zu beschreiben: Es berücksichtigt keine Geschwindigkeiten. Der Satz von Geschwindigkeiten, die einem System zur Verfügung stehen, definiert eine ebene Tangente für den Konfigurationsverteiler des Systems. An einem Punkt ${\ displayStyle q \ in q}$ , diese Tangentenebene wird mit bezeichnet durch ${\ displayStyle t_ {q} q}$ . Impulsvektoren sind lineare Funktionale der Tangentenebene, die als Kotangent -Vektoren bekannt sind. für einen Punkt ${\ displayStyle q \ in q}$ , diese Kotangentebene wird durch gekennzeichnet durch ${\ displayStyle t_ {q}^{*} q}$ . Der Satz von Positionen und Impulsen eines mechanischen Systems bildet die Cotangent Bündel ${\ displayStyle t^{*} q}$ des Konfigurationsverteilers ${\ displayStyle q}$ . Dieser größere Verteiler wird als die genannt Phasenraum vom System.

Zustandsraum

Im QuantenmechanikDas analoge Konzept heißt das Zustandsraum. In diesem Fall wird eine andere Reihe von Formalismen und Notationen verwendet. Das Analogon eines "Punktteilchens" wird zu einem einzelnen Punkt in ${\ displaystyle \ mathbb {cp} ^{1}}$ , das Komplexe Projektivlinie, auch bekannt als die Bloch Kugel. Es ist komplex, weil ein quantenmechanischer Wellenfunktion hat eine komplexe Phase; Es ist projektiv, weil die Wellenfunktion auf Einheitswahrscheinlichkeit normalisiert wird. Das heißt, bei einer Wellenfunktion ${\ displayStyle \ psi}$ Man kann es frei haben, es durch die Gesamtwahrscheinlichkeit zu normalisieren ${\ textstyle \ int \ psi ^{*} \ psi}$ damit es projektiv macht.

Siehe auch

Platz für Platz (Thema in der Mustererkennung)
Parameterraum
Konfigurationsraum (Mathematik)

Verweise

^ John J. Craig, Einführung in Robotik: Mechanik und Kontrolle, 3. Aufl. Prentice-Hall, 2004
^ Sussman, Gerald (2001). Struktur und Interpretation der klassischen Mechanik. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 0262194554.

Externe Links

[1] John J. Craig, Einführung in Robotik: Mechanik und Kontrolle, 3. Aufl. Prentice-Hall, 2004

[2] Sussman, Gerald (2001). Struktur und Interpretation der klassischen Mechanik. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 0262194554.

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