Computerbarkeitstheorie

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Σ (n))	4	6	13	4098 ?	> 3.5×1018267	> 1010101018705353	?
Erscheint nicht Das Beschäftigter Biber Funktion σ (n) wächst schneller als jede rechenbare Funktion. Daher ist es nicht berechnet;[1] Nur wenige Werte sind bekannt.

Computerbarkeitstheorie, auch bekannt als Rekursionstheorieist ein Zweig von Mathematische Logik, Informatik, und die Theorie der Berechnung das entstand in den 1930er Jahren mit der Studie von berechnungsbare Funktionen und Turing -Grad. Das Feld hat sich seitdem um die Untersuchung von Generalisierung erweitert Berechnbarkeit und Definition. In diesen Bereichen überschneidet sich die Computerbarkeitstheorie mit Beweistheorie und Effektive deskriptive Mengentheorie.

Grundlegende Fragen, die von der Computerabilitätstheorie behandelt werden, umfassen:

• Was bedeutet es für a Funktion auf der natürliche Zahlen berechnbar sein?
• Wie können nicht umfassende Funktionen in eine Hierarchie eingeteilt werden, basierend auf ihrer Ebene der Nichtkompetenz?

Obwohl es in Bezug auf Wissen und Methoden erhebliche Überschneidungen gibt, untersuchen mathematische Berechnungsfähigkeitstheoretiker die Theorie der relativen Berechnung, der Reduzierbarkeit und der Gradstrukturen; Diejenigen im Bereich der Informatik konzentrieren sich auf die Theorie von Subrekursive Hierarchien, Formale Methoden, und formelle Sprachen.

Berechnungsbare und unkomplizierte Sets

Die Berechnungsfähigkeitstheorie entstand in den 1930er Jahren mit Arbeit von Kurt Gödel, Alonzo -Kirche, Rózsa Péter, Alan Turing, Stephen Kleene, und Emil Post.^[2][3]

Die grundlegenden Ergebnisse, die die Forscher etabliert haben Berechnungsfähigkeit als korrekte Formalisierung der informellen Idee einer wirksamen Berechnung. Diese Ergebnisse führten Stephen Kleene (1952), um die beiden Namen "Kirche These" (Kleene 1952: 300) und "Turing's Thesis" (Kleene 1952: 376) zu prägen. Heutzutage werden diese oft als eine einzelne Hypothese angesehen, die These der Kirche und tätige These, was besagt, dass jede Funktion, die von einem berechnet werden kann Algorithmus ist ein berechnungsbare Funktion. Obwohl Gödel anfangs skeptisch war, sprach Gödel zugunsten dieser These:

"Tarski hat in seinem Vortrag (und ich denke zu Recht) die große Bedeutung des Konzepts der allgemeinen Rekursivität (oder Turings Berechnbarkeit) betont. Es scheint mir, dass diese Bedeutung größtenteils darauf zurückzuführen ist, dass man mit diesem Konzept zum ersten Mal gelungen ist, einem interessanten erkenntnistheoretischen Begriff einen absoluten Vorstellung zu geben, d. H. Eine, nicht abhängig vom gewählten Formalismus.*"(Gödel 1946 in Davis 1965: 84).^[4]

Mit einer Definition einer effektiven Berechnung kam der erste Beweis dafür, dass es Probleme in der Mathematik gibt, die nicht sein können effektiv entschieden. Church (1936a, 1936b) und Turing (1936), inspiriert von den von Gödel (1931) verwendeten Techniken, um seine Unvollständigkeit zu beweisen, zeigte unabhängig, dass die Entscheidungsproblem ist nicht effektiv lernbar. Dieses Ergebnis zeigte, dass es kein algorithmisches Verfahren gibt, das korrekt entscheiden kann, ob willkürliche mathematische Sätze wahr oder falsch sind.

Viele Probleme in Mathematik Es wurde gezeigt, dass nach festgelegten Beispielen unentscheidbar ist. 1947, Markov und post veröffentlichte unabhängige Papiere, die zeigen, dass die Wortproblem für Semigroups kann nicht effektiv entschieden werden. Dieses Ergebnis erweitern, Pyotr Novikov und William Boone zeigten in den 1950er Jahren unabhängig, dass die Wortproblem für Gruppen ist nicht effektiv lösbar: Es gibt kein effektiv Gruppe, entscheidet, ob das vom Wort dargestellte Element das ist Identitätselement aus der Gruppe. 1970,, Yuri Matiyasevich bewiesen (Verwendung von Ergebnissen von Julia Robinson) Matiyasevichs Theoremdas impliziert das Hilberts zehnte Problem hat keine effektive Lösung; In diesem Problem wurde gefragt, ob es ein wirksames Verfahren gibt, um zu entscheiden, ob a Diophantinengleichung Über die Ganzzahlen hat eine Lösung in den Ganzzahlen. Das Liste der unentscheidbaren Probleme gibt zusätzliche Beispiele für Probleme ohne berechnungsbare Lösung.

Die Untersuchung, welche mathematischen Konstruktionen effektiv durchgeführt werden können rekursive Mathematik; das Handbuch der rekursiven Mathematik (Ershov et al. 1998) deckt viele der bekannten Ergebnisse in diesem Bereich ab.

Berechnungsfähigkeit

Die Hauptform der in der Computability Theory untersuchten Berechnungsfähigkeit wurde von Turing (1936) eingeführt. Eine Reihe natürlicher Zahlen soll a sein berechnungsable Set (auch a genannt entschlossen, rekursiv, oder Rechenbar eingestellt) Wenn es a ist Turing Maschine das, angesichts einer Nummer n, hält mit Ausgang 1 an, wenn n ist im Satz und hält mit Ausgabe 0 an, wenn n ist nicht im Set. Eine Funktion f Von natürlichen Zahlen bis hin zu natürlichen Zahlen ist a (Turing) berechenbar, oder rekursive Funktion Wenn es eine Turing -Maschine gibt, die beim Eingang n, stoppt und gibt die Ausgabe zurück f(n). Die Verwendung von Turing -Maschinen hier ist nicht erforderlich; Es gibt viele andere Berechnungsmodelle die die gleiche Rechenleistung haben wie Turing -Maschinen; Zum Beispiel die μ-rekursive Funktionen erhalten von primitiver Rekursion und dem μ -Operator.

Die Terminologie für berechnbare Funktionen und Sets ist nicht vollständig standardisiert. Die Definition in Bezug auf μ-rekursive Funktionen sowie eine andere Definition von Rekonst Funktionen von Gödel führten zum traditionellen Namen rekursiv Für Sets und Funktionen, die von einer Turing -Maschine berechnet werden können. Das Wort entschlossen stammt aus dem deutschen Wort Entscheidungsproblem die in den ursprünglichen Papieren von Turing und anderen verwendet wurde. Bei der zeitgenössischen Verwendung hat der Begriff "berechnungsable Funktion" verschiedene Definitionen: Laut Cutland (1980) handelt es sich um eine teilweise rekursive Funktion (die für einige Eingaben nicht definiert werden kann), während er laut SOARE (1987) total rekursiv ist (rekursiv ( Äquivalent, allgemeine rekursive) Funktion. Dieser Artikel folgt der zweiten dieser Konventionen. Soare (1996) gibt zusätzliche Kommentare zur Terminologie.

Nicht jede Menge natürlicher Zahlen ist berechnet. Das Problem stoppenDas ist ein bekanntes Beispiel für einen nicht umfassenden Satz. Die Existenz vieler nicht umfangbarer Sets folgt aus den Fakten, die es nur gibt Zähler viele Turing -Maschinen und damit nur zäher viele berechnungsbare Sätze, jedoch nach dem Cantors Theorem, es gibt Unbezählte viele Sätze natürlicher Zahlen.

Obwohl das Stoppproblem nicht berechnet ist, ist es möglich, die Programmausführung zu simulieren und eine unendliche Liste der Programme zu erstellen, die anhalten. Somit ist das Stoppproblem ein Beispiel für a rechenmächtig aufzählbar (C.E.) eingestellt, das ist ein Satz, der von einer Turing -Maschine aufgezählte rekursiv aufgezählt und halbkassbar). Äquivalent ist ein Satz C.E. Wenn und nur wenn es sich um den Bereich einer rechenbaren Funktion handelt. Der C.E. Die Sätze, obwohl sie im Allgemeinen nicht entscheidbar sind, wurden in der Computerabilitätstheorie ausführlich untersucht.

Forschungsbereiche

Beginnend mit der oben beschriebenen Theorie der berechnbaren Mengen und Funktionen hat sich das Feld der Computerbarkeitstheorie so gewachsen, dass viele eng verwandte Themen untersucht werden. Dies sind keine unabhängigen Forschungsbereiche: Jeder dieser Bereiche zieht Ideen und Ergebnisse der anderen an, und die meisten Computerbarkeitstheoretiker sind mit den meisten von ihnen vertraut.

Relative Berechnbarkeit und Turing -Grad

Die Computerbarkeitstheorie in der mathematischen Logik hat sich traditionell auf Relative Berechnbarkeit, eine Verallgemeinerung der Turing -Berechnbarkeit, die verwendet wird Oracle Turing -Maschinen, eingeführt von Turing (1939). Eine Oracle Turing -Maschine ist ein hypothetisches Gerät, das neben der Ausführung der Aktionen einer regulären Turing -Maschine auch Fragen von einem stellen kann Orakel, was eine bestimmte Reihe von natürlichen Zahlen ist. Die Oracle -Maschine darf nur Fragen des Formulars stellen "ist" n Im Oracle -Set? ". Jede Frage wird sofort korrekt beantwortet, auch wenn der Oracle -Set nicht berechnet wird. Somit kann eine Oracle -Maschine mit einem nicht kompensierbaren Oracle in der Lage sein, Sätze zu berechnen, die eine Turing -Maschine ohne Orakel nicht kann.

Informell eine Reihe natürlicher Zahlen A ist Reduzierbar zu einem Satz B Wenn es eine Oracle -Maschine gibt, die korrekt angibt, ob sich Zahlen befinden A Beim Laufen mit B Wie das Oracle -Set (in diesem Fall der Satz A soll auch sein (verhältnismäßig) berechnbar von B und rekursiv in B). Wenn ein Satz A ist Turing auf einen Satz reduzierbar B und B ist turing reduzierbar auf A Dann sollen die Sets das gleiche haben Turing -Abschluss (auch genannt Grad der Unlöslichkeit). Der Turing -Grad eines Satzes ergibt ein genaues Maß dafür, wie unkompliziert der Satz ist.

Die natürlichen Beispiele von Sätzen, die nicht berechnet werden, einschließlich vieler verschiedener Sätze, die Varianten der Problem stoppen, haben zwei Eigenschaften gemeinsam:

1. Sie sind rechenbar aufzählbar, und
2. Jeder kann über a in einen anderen übersetzt werden Viele Reduktion. Das heißt, angesichts solcher Sätze A und BEs gibt eine total rechenbare Funktion f so dass A = {{x: f(x) ∈ B}. Diese Sets sollen sein Viele Äquivalent (oder m-äquivalent).

Viele Reduktionen sind "stärker" als Turing-Reduktionen: Wenn ein Satz A ist viele zu einem Satz reduzierbar B, dann A ist turing reduzierbar auf B, aber das Gegenteil hält nicht immer. Obwohl die natürlichen Beispiele für nicht umfassende Sets alle einig sind, ist es möglich, rechenbar aufzählbare Sätze zu konstruieren A und B so dass A ist turing reduzierbar auf B aber nicht viele reduzierbar um B. Es kann gezeigt werden, dass jeder rechenbar aufzählbare Set vielfältig auf das Problem des Stillstands reduzierbar ist, und daher ist das Stoppproblem das komplizierteste rechenmächtigste, aufzählbare Set in Bezug auf viele Einsäubbarkeit und in Bezug auf die Turing-Reduzierbarkeit. Post (1944) fragte, ob jeder Der rechenbar aufzählbare Satz ist entweder berechnbar oder Äquivalent Zum Stillstandsproblem gibt es, ob es keinen rechenbar aufzählbaren Satz mit einem Turing -Grad zwischen diesen beiden gibt.

Als Zwischenergebnisse definierte natürliche Arten von rechenumwertig aufzählbaren Sets wie die einfach, Hypersimple und Hyperhypersimple -Sets. Der Beitrag zeigte, dass diese Sets streng zwischen den berechnbaren Sätzen und dem Anhaltsproblem in Bezug auf viele zu einer Reduzierbarkeit liegen. Post zeigte auch, dass einige von ihnen unter anderen Reduktibilitätsbekenntnissen streng intermediär sind als die Turing -Reduzierbarkeit. Aber nach ließ das Hauptproblem der Existenz von rechenbar aufzählbaren Sätzen mit Zwischenstudiengrenze geöffnet; Dieses Problem wurde als bekannt als Das Problem der Post. Nach zehn Jahren zeigten Kleene und Post 1954, dass zwischen denen der berechnbaren Sätze und des Stillstandsproblems ein Zwischengrad der Turing besteht. Sie konnten jedoch nicht zeigen, dass eines dieser Grad einen rechenbar aufzählbaren Satz enthält. Sehr bald danach lösten Friedberg und Muchnik das Problem von Post unabhängig, indem sie die Existenz rechenbar aufzählbarer Sätze mit mittlerem Grad feststellten. Dieses bahnbrechende Ergebnis eröffnete eine breite Untersuchung der Turing-Grade der rechenbar aufzähligen Sätze, die sich als sehr komplizierte und nicht triviale Struktur herausstellten.

Es gibt uncovere Sätze, die nicht rechenbar aufzählbar sind, und die Untersuchung der Turing -Grad aller Sätze ist ebenso zentral in der Computerbarkeitstheorie wie die Untersuchung der rechenbar aufzählbaren Turing -Grad. Viele Grade mit besonderen Eigenschaften wurden gebaut: hyperimmunfreie Abschlüsse wo jede Funktion relativ in diesem Grad berechnet wird, wird durch eine (unstimmige) rechenbare Funktion gestreckt; hohe Grad relativ zu welcher kann man eine Funktion berechnen f das dominiert jede berechnbare Funktion g in dem Sinne, dass es eine Konstante gibt c es hängt davon ab g so dass g (x) <f (x) für alle x> c; Zufallsgrade enthält Algorithmisch zufällige Mengen; 1 -generisch Grade der 1-Generik-Sets; und die Abschlüsse unterhalb des Stoppproblems von limit-komputieren Sets.

Die Studie von willkürlichen (nicht unbedingt rechenbar aufzählbaren) Turing -Grad beinhaltet die Untersuchung des Turing -Sprung. Ein Satz gegeben A, das Turing Sprung von A ist eine Reihe natürlicher Zahlen, die eine Lösung für das Stoppproblem für Oracle Turing -Maschinen, die mit Oracle laufen A. Der Turing -Sprung eines Satzes hat immer einen höheren Grad als der ursprüngliche Satz, und ein Theorem von Friedburg zeigt, dass ein Satz, der das Stoppproblem berechnet, als Turing -Sprung eines anderen Satzes erhalten werden kann. Posts Theorem stellt eine enge Beziehung zwischen dem Turing Jump -Operation und dem her arithmetische Hierarchie, was eine Klassifizierung bestimmter Teilmengen der natürlichen Zahlen ist, die auf ihrer Definition in der Arithmetik basieren.

Viele jüngste Untersuchungen zu Turing -Grad haben sich auf die Gesamtstruktur des Satzes von Turing -Grad und den Satz von Turing -Graden konzentriert, die rechenbar aufzählbare Sätze enthalten. Ein tiefes Theorem von Shore und Slaman (1999) besagt, dass die Funktion, die einen Abschluss abbildet x bis zum Grad seines Turing -Sprungs ist in der Teilreihenfolge der Turing -Grad definierbar. Eine aktuelle Umfrage von Ambos-Spies und Fejer (2006) gibt einen Überblick über diese Forschung und ihren historischen Fortschritt.

Andere Redakteure

Ein fortlaufender Forschungsbereich in der Berechnungstheoretheoriestudien -Veräußerungsbeziehungen als die Turing -Reduzierbarkeit. Post (1944) stellte mehrere vor Starke Reduktionso benannt, weil sie die Wahrheitsabteilung reduzieren. Eine Turing -Maschine, die eine starke Reduzierbarkeit implementiert, berechnet eine Gesamtfunktion, unabhängig davon, welches Orakel sie präsentiert wird. Schwache Reduktionen sind diejenigen, bei denen ein Reduktionsprozess nicht für alle Orakel endet; Turing -Reduzierbarkeit ist ein Beispiel.

Zu den starken Reduktionen gehören:

One-One-Reduktibilität

A ist Ein-eins reduzierbar (oder 1-reduzierbar) zu B Wenn es ein total berechnetes gibt Injektivfunktion f so dass jeder n ist in A dann und nur dann, wenn f(n) ist in B.

Manche-One-One-Reduzierbarkeit

Dies ist im Wesentlichen eine One-One-Reduzierbarkeit ohne die Einschränkung, die f injektiv sein. A ist Viele reduzierbare (oder M-reduzierbar) zu B Wenn es eine total berechnungsbare Funktion gibt f so dass jeder n ist in A dann und nur dann, wenn f(n) ist in B.

Reduzierbarkeit der Wahrheitstisch

A ist Wahrheitstisch reduzierbar auf B wenn A ist turing reduzierbar auf B über eine Oracle Turing -Maschine, die eine Gesamtfunktion unabhängig von dem Orakel berechnet, das sie angegeben wird. Wegen der Kompaktheit von KantorraumDies entspricht der Aussage, dass die Reduktion eine einzige Liste von Fragen (abhängig von der Eingabe) zum Orakel aufweist, und wenn sie dann gesehen haben, dass ihre Antworten eine Ausgabe erstellen können, ohne zusätzliche Fragen zu stellen, unabhängig von der Antwort des Orakels auf die Erste Fragen. Es wurden auch viele Varianten der Wahrheitstabelle untersucht.

Weitere Reduktionen (positiv, disjunktiv, konjunktiv, linear und ihre schwachen und begrenzten Versionen) werden im Artikel diskutiert Reduktion (Computerbarkeitstheorie).

Die Hauptuntersuchungen zu starken Reduktionen bestand darin, ihre Theorien sowohl für die Klasse aller rechenbar aufzähligen Sets als auch für die Klasse aller Teilmengen der natürlichen Zahlen zu vergleichen. Darüber hinaus wurden die Beziehungen zwischen den Reduktionen untersucht. Zum Beispiel ist bekannt, dass jeder Turing-Abschluss entweder ein Grad der Wahrheitstisch ist oder die Vereinigung unendlich vieler Grad der Wahrheitstisch.

Es wurden ebenfalls untersucht, Reduktionen schwächer als die Reduzierbarkeit der Turing -Reduzierbarkeit (dh bei der Turing -Reduzierbarkeit impliziert). Am bekanntesten sind arithmetische Reduzierbarkeit und Hyperarithmetische Reduzierbarkeit. Diese Reduktionen sind eng mit der Definition über das Standardmodell der Arithmetik verbunden.

Reis Theorem und die arithmetische Hierarchie

Reis zeigte das für jede nicht triviale Klasse C (Das enthält einige, aber nicht alle C.E. -Sätze) Der Indexsatz E = {{e: das eTh C.E. einstellen W_e ist in C} hat die Eigenschaft, dass entweder die Problem stoppen oder seine Ergänzung ist viele reduzierbar um Edas heißt, kann mit a zugeordnet werden Viele Reduktion zu E (sehen Reis Satz für weitere Details). Viele dieser Index -Sets sind jedoch noch komplizierter als das Störungsproblem. Diese Art von Sätzen kann mit dem klassifiziert werden arithmetische Hierarchie. Zum Beispiel befindet sich die Index -Set -Fin der Klasse aller endlichen Sets auf der Ebene σ₂Der Indexsatz der Klasse aller rekursiven Sets befindet sich auf der Ebene σ₃Das Index -Set -Cofin aller Cofinit -Sets liegt ebenfalls auf dem Niveau σ₃ und der Indexsatz Comp der Klasse aller Turing-Complete-Sets σ₄. Diese Hierarchiestufen sind induktiv definiert, σ_n+1 Enthält nur alle Sätze, die rechtzeitig relativ zu σ aufzählbar sind_n; Σ₁ Enthält die rechenbar aufzählbaren Sätze. Die hier angegebenen Indexsätze sind für ihre Ebenen sogar vollständig, dh alle Sätze in diesen Ebenen können viele auf die angegebenen Indexsätze reduziert werden.

Reverse Mathematics

Das Programm von Reverse Mathematics fragt, welche Set-Existenz-Axiome notwendig sind, um bestimmte Theoreme der Mathematik in Subsystemen von zu beweisen Arithmetik zweiter Ordnung. Diese Studie wurde von initiiert von Harvey Friedman und wurde ausführlich von untersucht von Stephen Simpson und andere; Simpson (1999) gibt eine detaillierte Diskussion des Programms an. Die betreffenden Set-Existenz-Axiome entsprechen informell den Axiomen, dass die Poweret der natürlichen Zahlen werden unter verschiedenen Reduktibilitätsbegriffen geschlossen. Das schwächste solche Axiom, das in umgekehrter Mathematik untersucht wurde, ist rekursives Verständnis, was besagt, dass der Poweret der Naturals unter der Reduzierbarkeit geschlossen ist.

Nummerierungen

Eine Nummerierung ist eine Aufzählung von Funktionen; Es hat zwei Parameter, e und x und gibt den Wert der aus e-TH -Funktion in der Nummerierung der Eingabe x. Nummerierungen können teilweise ergriffen werden, obwohl einige seiner Mitglieder total rechenbarer Funktionen sind. Zulässige Nummer sind diejenigen, in die alle anderen übersetzt werden können. EIN Friedberg -Nummerierung (benannt nach seinem Entdecker) ist eine Ein-ein-Nummerierung aller partiellen Funktionen; Es ist notwendigerweise keine zulässige Nummerierung. Spätere Forschungsarbeiten wurden auch mit Zahlen anderer Klassen wie Klassen rechenbar aufzählbarer Sets behandelt. Goncharov entdeckte beispielsweise eine Klasse von rechenbar aufzähligen Sätzen, für die die Zahlungen in Bezug auf berechnbare Isomorphismen genau zwei Klassen fallen.

Die Prioritätsmethode

Das Problem der Post wurde mit einer Methode namens The gelöst Prioritätsmethode; Ein Beweis mit dieser Methode wird a genannt Prioritätsargument. Diese Methode wird in erster Linie zur konstruierbar aufzählbaren Sets mit bestimmten Eigenschaften verwendet. Um diese Methode zu verwenden, werden die gewünschten Eigenschaften des zu konstruierten Sets in eine unendliche Liste von Zielen unterteilt Bedarf, damit die Erfüllung aller Anforderungen dazu führt, dass der Satz konstruiert ist, um die gewünschten Eigenschaften zu haben. Jede Anforderung wird einer natürlichen Zahl zugewiesen, die die Priorität der Anforderung darstellt. Daher wird 0 der wichtigsten Priorität zugeordnet, 1 dem zweitwichtigsten und so weiter. Der Satz wird dann in Stufen konstruiert, wobei jede Stufe versucht, einen der weiteren Anforderungen zu erfüllen, indem entweder Zahlen zum Satz hinzugefügt oder Zahlen aus dem Satz verboten werden, damit der endgültige Satz die Anforderungen erfüllt. Es kann passieren, dass die Befriedigung einer Anforderung dazu führt, dass eine andere unzufrieden ist. Die vorrangige Reihenfolge wird verwendet, um zu entscheiden, was in einem solchen Ereignis zu tun ist.

Es wurden vorrangige Argumente eingesetzt, um viele Probleme in der Berechnungstheorie zu lösen, und wurden in eine Hierarchie eingeteilt, die auf ihrer Komplexität beruht (SOARE 1987). Da komplexe Prioritätsargumente technisch und schwer zu befolgen sind, wurde es traditionell als wünschenswert angesehen, Ergebnisse ohne vorrangige Argumente nachzuweisen oder ob die Ergebnisse mit Prioritätsargumenten auch ohne sie nachgewiesen werden können. Zum Beispiel veröffentlichte Kummer ein Papier über einen Beweis für die Existenz von Friedberg -Nummerierungen ohne die Prioritätsmethode.

Das Gitter der rechenbar aufzählbaren Sätze

Wenn Post den Begriff eines einfachen Satzes als C.E. definierte. Set mit einem unendlichen Komplement, das nicht unendlich C.E. Set begann er, die Struktur der rechenbar aufzähligen Sätze unter Inklusion zu untersuchen. Dieses Gitter wurde zu einer gut untersuchten Struktur. In dieser Struktur können berechnete Sets durch das grundlegende Ergebnis definiert werden, das ein Satz nur dann berechnet werden kann, wenn der Satz und seine Komplement beide rechenumwertig sind. Infinite C.E. Sets haben immer unendliche berechnungsbare Teilmengen. Andererseits existieren jedoch einfache Sets, haben aber nicht immer ein coinfinite rechenbarer Superset. Post (1944) führte bereits hypersimple und hyperhypersimple -Sets ein; Spätere maximale Sets wurden konstruiert, die C.E. setzt so, dass jeder C.E. Superset ist entweder eine endliche Variante des gegebenen maximalen Satzes oder ist Co-Finite. Die ursprüngliche Motivation von Post bei der Untersuchung dieses Gitters bestand darin, einen strukturellen Begriff zu finden, so dass jedes Satz, der diese Eigenschaft erfüllt, weder im Turing -Grad der berechnungsbaren Sätze noch im turenden Grad des Störungsproblems liegt. Post fand keine solche Eigenschaft und die Lösung für seine problematischen Prioritätsmethoden statt. Harrington und Soare (1991) fanden schließlich ein solches Eigentum.

Automorphismusprobleme

Eine weitere wichtige Frage ist die Existenz von Automorphismen in rechenbarkeitstheoretischen Strukturen. Eine dieser Strukturen ist, dass einer der rechenbar aufzählbaren Mengen unter Einschlussmodulo endlicher Unterschiede; in dieser Struktur, A ist unterhalb B wenn und nur wenn der festgelegte Unterschied B-A ist endlich. Maximale Sätze (Wie im vorherigen Absatz definiert) haben die Eigenschaft, dass sie nicht automatisch zu nicht maximalen Mengen automatisch sein können, dh, wenn es einen Automorphismus der rechenbar aufzählbaren Mengen unter der gerade erwähnten Struktur gibt, wird jeder maximale Satz einem anderen Maximal zugeordnet einstellen. Soare (1974) zeigte, dass auch das Gegenteil gilt, dh alle zwei maximalen Sets sind automatisch. Die maximalen Mengen bilden also eine Umlaufbahn, dh jeder Automorphismus bewahrt die Maximalität und zwei maximale Mengen werden durch einen Automorphismus ineinander transformiert. Harrington gab ein weiteres Beispiel für eine automatische Eigenschaft: die der kreativen Sets, die Sets, die dem Problem mit dem Stoppen entsprechen.

Neben dem Gitter der rechenbar aufzählbaren Sätze werden auch Automorphismen für die Struktur der Turing -Grad aller Sätze sowie für die Struktur der Turing -Grad von C.E. untersucht. Sets. In beiden Fällen behauptet Cooper, nicht -triviale Automorphismen aufgebaut zu haben, die einige Grad auf andere Grad abbilden. Diese Konstruktion wurde jedoch nicht verifiziert und einige Kollegen glauben, dass die Konstruktion Fehler enthält und dass die Frage, ob es einen nicht trivialen Automorphismus der Turing -Grad gibt, immer noch eine der wichtigsten ungelösten Fragen in diesem Bereich ist (Slaman und Woodin 1986,, Ambos-Spies und Fejer 2006).

Kolmogorov -Komplexität

Das Feld von Kolmogorov -Komplexität und Algorithmische Zufälligkeit wurde in den 1960er und 1970er Jahren von Chaitin, Kolmogorov, Levin, Martin-Löf und Solomonoff entwickelt (die Namen werden hier in alphabetischer Reihenfolge angegeben; ein Großteil der Forschung war unabhängig, und die Einheit des Konzepts der Zufälligkeit wurde zu diesem Zeitpunkt nicht verstanden ). Die Hauptidee ist, a zu berücksichtigen Universelle Turing -Maschine U und die Komplexität einer Zahl (oder String) zu messen x als die Länge des kürzesten Eingangs p so dass U(p) Ausgänge x. Dieser Ansatz revolutionierte frühere Wege, um zu bestimmen, wann eine unendliche Sequenz (äquivalent die charakteristische Funktion einer Untergruppe der natürlichen Zahlen) zufällig ist oder nicht, indem er einen Begriff der Zufälligkeit für endliche Objekte aufgerufen hat. Die Komplexität von Kolmogorov wurde nicht nur zum Thema unabhängiger Studie, sondern wird auch als Instrument zum Erhalten von Beweisen angewendet. In diesem Bereich gibt es immer noch viele offene Probleme. Aus diesem Grund fand im Januar 2007 eine kürzliche Forschungskonferenz in diesem Bereich statt^[5] und eine Liste offener Probleme^[6] wird von Joseph Miller und Andre Nies gepflegt.

Frequenzberechnung

Dieser Zweig der Computerbarkeitstheorie analysierte die folgende Frage: für feste m und n mit 0 <<<m<nfür welche Funktionen A Ist es möglich, für alle anderen zu berechnen? n Eingänge x₁Anwesendx₂, ...,x_n ein Tupel von n Zahlen y₁, y₂, ..., y_n so dass zumindest m der Gleichungen A(x_k) = y_k sind wahr. Solche Sets sind bekannt als (mAnwesendn) -Recursive Sätze. Das erste wichtige Ergebnis in diesem Zweig der Computerbarkeitstheorie ist das Ergebnis von Trakhtenbrot, dass ein Satz berechnet wird, wenn dies ist ((mAnwesendn) -Recursive für einige mAnwesendn mit 2m>n. Andererseits Jockusch's semirecursive Sets (die bereits informell bekannt waren, bevor Jockusch sie vorstellte 1968) sind Beispiele für einen Satz, der ist (() () () ((mAnwesendn) -Recursive wenn und nur wenn 2m<n+1. Es gibt unzählige dieser Sets und auch einige rechenumwerte, aber nicht kompensierbare Sätze dieses Typs. Später stellte Degtev eine Hierarchie von rechenbar aufzählbaren Mengen fest, die (1,,n+1) -Recursive aber nicht (1,n) -Recursive. Nach einer langen Phase der Forschung durch russische Wissenschaftler wurde dieses Thema im Westen durch Beigels These zu begrenzten Abfragen wiederholt, die die Frequenzberechnung mit den oben genannten begrenzten Reduktionen und anderen verwandten Begriffen verband. Eines der wichtigsten Ergebnisse war Kummers Kardinalitätstheorie, die besagt, dass ein Satz A ist rechenbar, wenn und nur wenn es eine gibt n so dass ein Algorithmus für jedes Tupel von aufzählt n verschiedene Zahlen bis zu n viele mögliche Auswahlmöglichkeiten der Kardinalität dieses Satzes von n Zahlen kreuzten sich mit A; Diese Entscheidungen müssen die wahre Kardinalität enthalten, aber mindestens einen falschen weglassen.

Induktive Inferenz

Dies ist der rechenbarkeitstheoretische Zweig der Lerntheorie. Es basiert auf E. Mark GoldDas Modell des Lernens in der Grenze von 1967 und seitdem hat sich immer mehr Lernmodelle entwickelt. Das allgemeine Szenario ist Folgendes: Bei einer Klasse gegeben S von berechnungsfähigen Funktionen gibt es einen Lernenden (dh rechenbarer Funktional), der für jede Eingabe des Formulars ausgibt (f(0),f(1), ...,f(n)) eine Hypothese. Ein Lernender M lernt eine Funktion f Wenn fast alle Hypothesen der gleiche Index sind e von f in Bezug auf eine zuvor vereinbarte akzeptable Nummerierung aller rechenbaren Funktionen; M lernt S wenn M lernt jeden f in S. Grundlegende Ergebnisse sind, dass alle rechenbar aufzählbaren Funktionsklassen lernbar sind, während der Klassenrückgang aller berechnbaren Funktionen nicht lernbar ist. Viele verwandte Modelle wurden berücksichtigt, und auch das Lernen von Klassen von rechenbar aufzählbaren Sätzen aus positiven Daten ist ein Thema, das 1967 aus Golds Pionierarbeit untersucht wurde.

Verallgemeinerungen der Berechnung der Berechnung

Die Computerbarkeitstheorie umfasst die Untersuchung generalisierter Vorstellungen dieses Feldes wie z. Arithmetische Reduzierbarkeit, Hyperarithmetische Reduzierbarkeit und α-Rezisionstheorie, wie von Sacks (1990) beschrieben. Diese verallgemeinerten Begriffe umfassen Reduktionen, die nicht von Turing -Maschinen ausgeführt werden können, aber dennoch natürliche Verallgemeinerungen der Turing -Reduzierbarkeit sind. Diese Studien umfassen Ansätze zur Untersuchung der analytische Hierarchie das unterscheidet sich von der arithmetische Hierarchie Durch die Ermöglichung der Quantifizierung über natürliche Zahlen zusätzlich zur Quantifizierung über einzelne Zahlen. Diese Bereiche sind mit den Theorien von Wohlbefinden und Bäumen verbunden. Zum Beispiel ist die Menge aller Indizes von rechenbaren (nicht -binären) Bäumen ohne unendliche Zweige für die Ebene abgeschlossen ${\ displayStyle \ pi _ {1}^{1}}$ der analytischen Hierarchie. Sowohl die Turing -Reduzierbarkeit als auch die hyperarithmetische Reduzierbarkeit sind auf dem Gebiet von wichtig Effektive deskriptive Mengentheorie. Der noch allgemeinere Begriff der Konstruktionsgrade wird in untersucht Mengenlehre.

Kontinuierliche Berechnungsfähigkeitstheorie

Die Computerbarkeitstheorie für digitale Berechnungen ist gut entwickelt. Die Computerbarkeitstheorie ist weniger gut entwickelt für Analoge Berechnung das kommt in Analogische Computer, Analoge Signalverarbeitung, Analoge Elektronik, Neuronale Netze und kontinuierliche Zeit Kontrolltheorie, modelliert von Differentialgleichung und kontinuierlich Dynamische Systeme (Orponen 1997; Moore 1996).

Beziehungen zwischen Definition, Beweis und Berechnbarkeit

Es gibt enge Beziehungen zwischen dem Grad einer Reihe natürlicher Zahlen und der Schwierigkeit (in Bezug auf die arithmetische Hierarchie) der Definition dieses Satzes mit a Formel erster Ordnung. Eine solche Beziehung wird von präzise gemacht Posts Theorem. Eine schwächere Beziehung wurde von demonstriert Kurt Gödel in den Beweisen seiner Vollständigkeitstheorem und Unvollständigkeitstheoreme. Gödels Beweise zeigen, dass die logische Konsequenzen einer effektiven Theorie erster Ordnung a ist Rechenmächtig aufzählbarer Satzund dass, wenn die Theorie stark genug ist, dass dieses Set unkompliziert sein wird. Ähnlich, Tarskis Undefinierbarkeitstheorem kann sowohl in Bezug auf definierbarkeit als auch in Bezug auf die Berechnung interpretiert werden.

Die Computerbarkeitstheorie ist ebenfalls verknüpft mit Arithmetik zweiter Ordnung, eine formale Theorie natürlicher Zahlen und Sätze natürlicher Zahlen. Die Tatsache, dass bestimmte Sätze berechnet oder relativ berechnet werden, impliziert häufig, dass diese Sätze in schwachen Subsystemen der Arithmetik zweiter Ordnung definiert werden können. Das Programm von Reverse Mathematics Verwendet diese Subsysteme, um die Nichtverkäuflichkeit zu messen, die bekannten mathematischen Theoreme inhärent sind. Simpson (1999) diskutiert viele Aspekte der arithmetischen und reversen Mathematik zweiter Ordnung.

Das Feld von Beweistheorie beinhaltet die Untersuchung der Arithmetik der zweiten Ordnung und Peano -Arithmetiksowie formale Theorien der natürlichen Zahlen schwächer als die Erdbaumarithmetik. Eine Methode zur Klassifizierung der Stärke dieser schwachen Systeme ist die Charakterisierung der berechnbaren Funktionen, die sich das System erweisen kann gesamt (Siehe Fairtlough und Wainer (1998)). Zum Beispiel in Primitive rekursive Arithmetik Jede rechenbare Funktion, die nachweislich insgesamt ist, ist eigentlich primitive rekursiv, während Peano -Arithmetik beweist, dass Funktionen wie die Ackermann -Funktion, die nicht primitiv rekursiv sind, sind total. Nicht jede berechnungsbare Gesamtfunktion ist jedoch nachweislich insgesamt in der Erdbaumarithmetik. Ein Beispiel für eine solche Funktion wird von bereitgestellt von Goodsteins Theorem.

Name

Das Gebiet der mathematischen Logik, die sich mit Berechnbarkeit und seinen Verallgemeinerungen befasst, wurde seit ihren frühen Tagen als "Rekursionstheorie" bezeichnet. Robert I. SoareEin prominenter Forscher in diesem Bereich hat vorgeschlagen (SOARE 1996), dass das Feld stattdessen als "Computerbarkeitstheorie" bezeichnet werden sollte. Er argumentiert, dass die Terminologie von Turing unter Verwendung des Wortes "berechnbar" natürlicher und besser verstanden ist als die Terminologie unter Verwendung des von Kleene eingeführten Wortes "rekursiv". Viele zeitgenössische Forscher haben begonnen, diese alternative Terminologie zu verwenden.^[7] Diese Forscher verwenden auch Terminologie wie z. Partielle berechnungsbare Funktion und rechenbar aufzählbar (C.E.) einstellen Anstatt von Partielle rekursive Funktion und rekursiv aufgezählt (betreffend.) einstellen. Nicht alle Forscher wurden jedoch überzeugt, wie von Fortnow erklärt wurde^[8] und Simpson.^[9] Einige Kommentatoren argumentieren, dass beide Namen Rekursionstheorie und Computerbarkeitstheorie Vermittelt nicht die Tatsache, dass die meisten der in der Computertheorie untersuchten Objekte nicht berechnet werden.^[10]

Rogers (1967) hat vorgeschlagen, dass eine Schlüsseleigenschaft der Berechnungstheorie darin besteht, dass seine Ergebnisse und Strukturen unter Berechnung unveränderlich sein sollten Biujeionen über die natürlichen Zahlen (dieser Vorschlag stützt sich auf die Ideen der Erlangen -Programm in der Geometrie). Die Idee ist, dass eine berechnungsbare Bijection die Zahlen lediglich in einem Satz umgebracht hat, anstatt eine Struktur im Satz anzuzeigen, und eine Drehung der euklidischen Ebene ändert keinen geometrischen Aspekt der darauf gezeichneten Linien. Da zwei beliebige unendliche berechnungsbare Sets durch eine berechnungsbare Bijektion verknüpft sind, identifiziert dieser Vorschlag alle unendlichen rechtzeitigen Sätze (die endlichen berechnen Sätze werden als trivial angesehen). Laut Rogers sind die Interessenssätze an der Berechnungstheorie die nicht umfassenden Mengen, die durch berechnungsbare Bijizeile der natürlichen Zahlen in Äquivalenzklassen aufgeteilt werden.

Professionelle Organisationen

Die professionelle Hauptorganisation für die Computerfähigkeitstheorie ist die Assoziation für symbolische Logik, was jedes Jahr mehrere Forschungskonferenzen hält. Die interdisziplinäre Forschungsvereinigung Berechnbarkeit in Europa (Cie) organisiert auch eine Reihe von jährlichen Konferenzen.

Siehe auch

• Rekursion (Informatik)
• Berechnungslogik
• Transcomputational Problem

Anmerkungen

Verweise

Texte der Grundstufe

• Cooper, S.B. (2004). Computerbarkeitstheorie. Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-237-9.
• Cutland, N. (1980). Berechnbarkeit, eine Einführung in die rekursive Funktionstheorie. Cambridge University Press. ISBN 0-521-29465-7.
• Matiyasevich, Y. (1993). Hilberts zehnte Problem. MIT Press. ISBN 0-262-13295-8.

Erweiterte Texte

• Jain, S.; Oshson, D.; Royer, J.; Sharma, A. (1999). Systeme, die lernen, eine Einführung in die Lerntheorie (2. Aufl.). Bradford Buch. ISBN 0-262-10077-0.
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• Nies, Andre (2009). Berechnbarkeit und Zufälligkeit. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923076-1.
• Odifreddi, P. (1989). Klassische Rekursionstheorie. Nordholland. ISBN 0-444-87295-7.
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Vermessungspapiere und Sammlungen

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Externe Links

• Assoziation für symbolische Logik -Homepage
• Berechnbarkeit in Europa Homepage
• Webseite zur Rekursionstheorie Kurs auf Graduiertenebene mit ungefähr 100 Seiten Vorlesungsnotizen
• Deutsche Sprachvortragsnotiz über induktive Inferenz