Komplexe analytische Vielfalt

Im Mathematik, und besonders Differentialgeometrie und Komplexe Geometrie, a Komplexe analytische Vielfalt [Anmerkung 1] oder Komplexer analytischer Raum ist eine Verallgemeinerung von a Komplexer Verteiler was das Vorhandensein von erlaubt Singularitäten. Komplexe analytische Sorten sind lokal ringte Räume die lokal isomorph für lokale Modellräume sind, wo ein lokaler Modellraum eine offene Untergruppe des verschwindenden Ortes eines endlichen Satzes von ist Holomorphe Funktionen.

Definition

Bezeichnen die Konstante Garbe auf einem topologischen Raum mit Wert durch . EIN -Platz ist ein Vor Ort Ring Platz , Deren Struktur Sheaf ist ein Algebra Über .

Wählen Sie eine offene Teilmenge von einigen Komplexer affine Raum und fixieren endlich viele holomorphe Funktionen in . Lassen Sei der häufige verschwindende Ort dieser holomorphen Funktionen, das heißt, . Definieren Sie eine Sheaf von Ringen auf indem man die Einschränkung zu sein von , wo ist die Sheaf der holomorphen Funktionen . Dann war der lokale Ring -Platz ist ein Lokaler Modellraum.

A Komplexe analytische Vielfalt ist ein lokal geringer -Platz das ist lokal isomorph für einen lokalen Modellraum.

Morphismen komplexer analytischer Sorten werden als Morphismen der zugrunde liegenden lokal ringten Räume definiert, sie werden auch als holomorphe Karten bezeichnet.

Das Assoziiert komplexer analytischer Raum (Sorte) ist das;[1]

Sei x ist Pläne endlicher Typ Über , und bedecken x mit offener affine Untergruppe (). Dann jeweils ist eine Algebra von endlichem Typ , und . Wo sind Polynom in , was als holomorphe Funktion angesehen werden kann . Daher ist ihre gemeinsame Null des Satzes der komplexe analytische Unterraum . Hier wird Schema X erhalten, indem die Daten des Satzes kleben werden und dann können die gleichen Daten verwendet werden, um den komplexen analytischen Raum zu kleben in einen komplexen analytischen Raum Also rufen wir an Ein zugehöriger komplexer analytischer Raum mit X. Der komplexe analytische Raum X wird nur dann reduziert, wenn der zugehörige komplexe Analyseraum reduziert.[2]

Siehe auch

Notiz

  1. ^ Hartshorne 1977, p. 439.
  2. ^ Grothendieck & Raynaud (2002) (SGA 1 §xii. Satz 2.1.)

Anmerkung

  1. ^ Es muss manchmal sein reduziertund dann wird als reduzierter komplexer analytischer Raum bezeichnet, um ihn vom komplexen analytischen Raum zu unterscheiden.

Verweise

Externe Links