Kompaktraum

Gemäß den Kompaktheitskriterien für den euklidischen Raum, wie in der angegeben Heine -Borel -Theorem, das Intervall A = (−∞, -2] ist nicht kompakt, weil es nicht begrenzt ist. Das Intervall C = (2, 4) ist nicht kompakt, weil es nicht geschlossen ist. Das Intervall B = [0, 1] ist kompakt, weil es sowohl geschlossen als auch begrenzt ist.

Im Mathematik, speziell Allgemeine Topologie, Kompaktheit ist eine Eigenschaft, die versucht, den Begriff von a zu verallgemeinern abgeschlossen und begrenzt Teilmenge von Euklidischer Raum^[1] Indem Sie genau die Idee eines Raums mit keinen "Löchern" oder "fehlenden Endpunkten" machen, d. H. Der Raum schließt keine "einschränkenden Werte" von Punkten aus. Zum Beispiel wäre das "nicht abgegebene" Intervall (0,1) nicht kompakt, da es die "begrenzenden Werte" von 0 und 1 ausschließt, während das geschlossene Intervall [0,1] möchten kompakt sein. Ebenso der Raum rationaler Zahlen ${\ displaystyle \ mathbb {q}}$ ist nicht kompakt, weil es unendlich viele "Löcher" entspricht, die den irrationalen Zahlen entsprechen, und den Raum der reellen Zahlen ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ ist auch nicht kompakt, weil es die Grenzwerte ausschließt ${\ displayStyle \ Infty}$ und ${\ displayStyle -\ Infty}$. Allerdings die erweitert reelle Zahlenzeile möchten Seien Sie kompakt, da es beide Unendlichkeiten enthält. Es gibt viele Möglichkeiten, diesen heuristischen Begriff präzise zu machen. Diese Wege stimmen normalerweise im euklidischen Raum ein Topologische Räume.

Eine solche Verallgemeinerung ist, dass ein topologischer Raum ist der Reihe nach kompakt Wenn alles unendliche Sequenz von aus dem Raum entnommenen Punkten haben unendlich Subsequenz Das konvergiert zu einem bestimmten Zeitpunkt des Raums.^[2] Das Bolzano -Willstrass -Theorem Gibt an, dass eine Untergruppe des euklidischen Raums in diesem sequentiellen Sinne kompakt ist, wenn er nur dann geschlossen und begrenzt ist. Wenn man also eine unendliche Anzahl von Punkten im geschlossenen Punkte wählt Einheitsintervall [0, 1]Einige dieser Punkte werden in diesem Bereich willkürlich nahe einer realen Anzahl werden. Zum Beispiel einige Zahlen in der Sequenz 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, ... akkumulieren auf 0 (während andere auf 1 akkumulieren). Der gleiche Satz von Punkten würde sich auf keiner Punkt der Punkte ansammeln offen Einheitsintervall (0, 1)Das Intervall der offenen Einheit ist also nicht kompakt. Obwohl Untergruppen (Unterräume) des euklidischen Raums kompakt sein können, ist der gesamte Raum selbst nicht kompakt, da er nicht begrenzt ist. Zum Beispiel berücksichtigen ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{1}}$, die gesamte reelle Zahlenzeile, die Abfolge der Punkte 0, 1, 2, 3, ..., hat keine Subsequenz, die zu einer realen Anzahl konvergiert.

Kompaktheit wurde offiziell durch eingeführt von Maurice Fréchet 1906, um den Bolzano -Willstrass -Theorem aus Räumen geometrischer Punkte auf zu verallgemeinern Funktionsräume. Arzelà -Ascoli -Theorem und die Peano Existenz Theorem Veranschaulichen Sie Anwendungen dieses Begriffs der Kompaktheit zur klassischen Analyse. Nach seiner ersten Einführung verschiedene äquivalente Vorstellungen von Kompaktheit, einschließlich Sequentielle Kompaktheit und Grenzpunktkompaktheitwurden im Allgemeinen entwickelt Metrikräume.^[3] Im Allgemeinen sind diese topologischen Räume jedoch nicht unbedingt gleichwertig. Der nützlichste Begriff - und die Standarddefinition des unqualifizierten Begriffs Kompaktheit-ist in Bezug auf die Existenz endlicher Familien von formuliert Offene Sets das "Startseite"Der Raum in dem Sinne, dass jeder Punkt des Raum Pavel Alexandrov und Pavel urysohn Im Jahr 1929 zeigt sich kompakte Räume als Verallgemeinerungen von Finite -Sets. In Räumen, die in diesem Sinne kompakt sind, ist es oft möglich, Informationen zusammenzustellen, die gelten örtlich- Das ist in einer Nachbarschaft jedes Punktes entsprechende Aussagen, die im gesamten Raum enthalten sind, und viele Theoreme sind von diesem Charakter.

Der Begriff Kompaktsatz wird manchmal als Synonym für den Kompaktraum verwendet, bezieht sich aber oft auf a Kompakter Unterraum von einem topologischen Raum auch.

Historische Entwicklung

Im 19. Jahrhundert wurden mehrere unterschiedliche mathematische Eigenschaften verstanden, die später als Konsequenzen der Kompaktheit angesehen werden würden. Einerseits, Bernard Bolzano (1817) hatte sich bewusst, dass jede begrenzte Sequenz von Punkten (zum Beispiel in der Linie oder Ebene) eine Subsequenz hat, die schließlich einem anderen Punkt willkürlich nahe kommen muss, genannt Punktgrenze. Der Beweis von Bolzano stützte sich auf die Halbierungsmethode: Die Sequenz wurde in ein Intervall gegeben, das dann in zwei gleiche Teile unterteilt wurde, und ein Teil, der unendlich viele Terme der Sequenz enthielt, wurde ausgewählt. Der Vorgang könnte dann wiederholt werden, indem das daraus resultierende kleinere Intervall in immer kleinere Teile unterteilt wird - bis er den gewünschten Grenzwert abschließt. Die volle Bedeutung von Bolzanos Theoremund seine Beweismethode würde erst fast 50 Jahre später auftauchen, als es wiederentdeckt wurde Karl Weierstrass.^[4]

Es wurde klar Funktionsräume anstatt nur Zahlen oder geometrische Punkte. Die Idee, Funktionen als sich selbst Punkte eines verallgemeinerten Raums zu betrachten Giulio Ascoli und Cesare Arzelà.^[5] Der Höhepunkt ihrer Ermittlungen, die Arzelà -Ascoli -Theoremwar eine Verallgemeinerung des Bolzano -Willstrass -Theorems für Familien von kontinuierliche FunktionenDie genaue Schlussfolgerung war, dass es möglich war, a zu extrahieren einheitlich konvergent Abfolge von Funktionen aus einer geeigneten Funktionsfamilie. Die einheitliche Grenze dieser Sequenz spielte dann genau die gleiche Rolle wie Bolzanos "Limit Point". Zu Beginn des 20. Jahrhunderts, die ähnlich der von Arzelà und Ascoli begannen, sich im Bereich von zu sammeln integrale Gleichungen, wie untersucht von David Hilbert und Erhard Schmidt. Für eine bestimmte Klasse von Die Funktionen von Green Als Schmidt aus Lösungen von integralen Gleichungen stammt, hatte er gezeigt, dass eine Eigenschaft analog zum Arzelà -Ascoli -Theorem im Sinne von mittlere Konvergenz- oder Konvergenz in dem, was später als a bezeichnet werden würde Hilbert Raum. Dies führte letztendlich zur Vorstellung von a Kompaktoperator als Ableger des allgemeinen Vorstellung eines kompakten Raums. Es war Maurice Fréchet Wer in 1906, hatte die Essenz des Bölzano -Willstrass -Eigentums destilliert und den Begriff geprägt. Kompaktheit Um sich auf dieses allgemeine Phänomen zu beziehen (er verwendete den Begriff bereits in seinem Papier von 1904^[6] was zur berühmten These von 1906 führte).

Ein ganz anderer Begriff der Kompaktheit war jedoch auch am Ende des 19. Jahrhunderts langsam als das Studium der Kontinuum, was als grundlegend für die strenge Formulierung der Analyse angesehen wurde. Im Jahr 1870, Eduard Heine zeigte, dass a kontinuierliche Funktion auf einem geschlossenen und begrenzten Intervall definiert war tatsächlich gleichmäßig kontinuierlich. Im Verlauf des Beweises nutzte er ein Lemma, das aus jeder zählbaren Abdeckung des Intervalls durch kleinere offene Intervalle möglich war, eine endliche Anzahl dieser zu wählen, die es ebenfalls abdeckten. Die Bedeutung dieses Lemma wurde von erkannt Émile Borel (1895), und es wurde auf willkürliche Sammlungen von Intervallen von Pierre Cousin (1895) und verallgemeinert Henri Lebesgue (1904). Das Heine -Borel -Theorem, wie nun bekannt ist, ist ein weiteres besonderes Eigentum, das von geschlossenen und begrenzten Mengen realer Zahlen besessen ist.

Diese Eigenschaft war bedeutsam, weil es den Durchgang von der Passage erlaubte Lokale Informationen über einen Satz (z. B. die Kontinuität einer Funktion) zu globalen Informationen über den Satz (z. B. die gleichmäßige Kontinuität einer Funktion). Dieses Gefühl wurde von zum Ausdruck gebracht von Lebesgue (1904), der es auch in der Entwicklung der ausgenutzt hat Integral jetzt seinen Namen trägt. Letztendlich die russische Schule von Point-Set-Topologie, Unter der Leitung von Pavel Alexandrov und Pavel urysohn, formulierte Heine -Borel -Kompaktheit auf eine Weise, die auf den modernen Begriff von a angewendet werden könnte topologischer Raum. Alexandrov & Urysohn (1929) zeigte, dass die frühere Version der Kompaktheit aufgrund von Fréchet, jetzt genannt (relativ), genannt wird Sequentielle Kompaktheitunter geeigneten Bedingungen, die aus der Version der Kompaktheit folgten, die im Hinblick auf die Existenz von endlichen Unterzügen formuliert wurde. Es war dieser Begriff der Kompaktheit, die zum dominierenden wurde, da es sich nicht nur um eine stärkere Eigenschaft handelte, sondern auch in einer allgemeineren Umgebung mit einem Minimum an zusätzlichen technischen Maschinen formuliert werden konnte, da es sich nur auf die Struktur der offenen Sets stützte in einem Raum.

Grundlegende Beispiele

Irgendein endlicher Raum ist kompakt; Eine endliche Unterbeziehung kann erhalten werden, indem für jeden Punkt ein offener Satz ausgewählt wird, der ihn enthält. Ein nicht triviales Beispiel für einen kompakten Raum ist der (geschlossen) Einheitsintervall [0,1] von reale Nummern. Wenn man eine unendliche Anzahl unterschiedlicher Punkte im Einheitsintervall wählt, muss es einige geben Akkumulationspunkt in diesem Intervall. Zum Beispiel die merkwürdigen Begriffe der Sequenz 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ... Erhalten Sie willkürlich in der Nähe von 0 Grenze Punkte des Intervalls, seit der Punkte begrenzen Muss im Raum selbst sein-ein offenes (oder halber Open-) Intervall der reellen Zahlen ist nicht kompakt. Es ist auch wichtig, dass das Intervall ist begrenztseit im Intervall [0, ∞)Man könnte die Abfolge der Punkte wählen 0, 1, 2, 3, ..., von denen keine Untersequenz letztendlich willkürlich einer bestimmten reellen Zahl nahe kommt.

In zwei Dimensionen geschlossen Scheiben sind kompakt, da für jede unendliche Anzahl von Punkten, die von einer Festplatte abgetastet wurden, einige Teilmenge dieser Punkte willkürlich entweder bis zu einem Punkt innerhalb der Scheibe oder zu einem Punkt an der Grenze schließen müssen. Eine offene Festplatte ist jedoch nicht kompakt, da eine Sequenz von Punkten um die Grenze tendieren kann - ohne dass es willkürlich nahe an einen Punkt im Innenraum kommt. Ebenso sind Kugeln kompakt, aber eine Sphäre fehlt ein Punkt nicht, da eine Folge von Punkten immer noch zu dem fehlenden Punkt tendieren kann, wodurch nicht willkürlich an irgendeiner Punkte nahe kommt innerhalb der Raum. Linien und Flugzeuge sind nicht kompakt, da man eine Reihe von gleichgezogenen Punkten in eine bestimmte Richtung nehmen kann, ohne sich irgendeiner Punkt zu nähern.

Definitionen

Abhängig von der Allgemeingültigkeit können verschiedene Definitionen der Kompaktheit gelten. Eine Teilmenge von Euklidischer Raum Insbesondere wird als kompakt bezeichnet, wenn es ist abgeschlossen und begrenzt. Dies impliziert durch die Bolzano -Willstrass -Theorem, dass jeder unendlich Reihenfolge vom Set hat a Subsequenz Das konvergiert zu einem Punkt im Satz. Verschiedene äquivalente Vorstellungen von Kompaktheit, wie z. Sequentielle Kompaktheit und Grenzpunktkompaktheit, kann im Allgemeinen entwickelt werden Metrikräume.^[3]

Im Gegensatz dazu sind die unterschiedlichen Vorstellungen von Kompaktheit im Allgemeinen nicht äquivalent Topologische Räumeund der nützlichste Begriff der Kompaktheit - original genannt Bikompakt- ist definiert Abdeckungen bestehend aus Offene Sets (sehen Offene Deckungsdefinition unter). Dass diese Form der Kompaktheit für geschlossene und begrenzte Teilmengen des euklidischen Raums gilt als die Heine -Borel -Theorem. Die Kompaktheit ermöglicht es, wenn sie auf diese Weise definiert werden, häufig, dass ein bekannt ist örtlich-in einem Nachbarschaft von jedem Punkt des Raums - und um ihn auf Informationen auszudehnen, die weltweit im gesamten Raum gilt. Ein Beispiel für dieses Phänomen ist Dirichlets Theorem, auf das es ursprünglich von Heine angewendet wurde, dass eine kontinuierliche Funktion eines kompakten Intervalls ist gleichmäßig kontinuierlich; Hier ist Kontinuität eine lokale Eigenschaft der Funktion und einheitliche Kontinuität der entsprechenden globalen Eigenschaft.

Offene Deckungsdefinition

Formal, a topologischer Raum X wird genannt kompakt Wenn jeder seiner offene Abdeckungen hat ein endlich Unterhebung.^[7] Das ist, X ist kompakt, wenn für jede Sammlung C von offenen Teilmengen von X so dass

${\ displayStyle x = \ bigcup _ {x \ in c} x}$,

da ist ein endlich Unterkollektion F ⊆ C so dass

${\ displayStyle x = \ bigcup _ {x \ in f} x.}$

Einige Zweige der Mathematik wie Algebraische Geometrie, normalerweise beeinflusst von der französischen Schule von BourbakiVerwenden Sie den Begriff Quasi-Kompakt für den allgemeinen Begriff und die Laufzeit reservieren kompakt für topologische Räume, die beide sind Hausdorff und Quasi-Kompakt. Ein kompakter Satz wird manchmal als als bezeichnet Compactum, Plural Compacta.

Kompaktheit von Teilmengen

Eine Teilmenge K einen topologischen Raum X soll kompakt sein, wenn es als Unterraum kompakt ist (in der Subspace -Topologie). Das ist, K ist kompakt, wenn für jede willkürliche Sammlung C von offenen Teilmengen von X so dass

${\ displayStyle k \ subseteq \ bigcup _ {c \ in c} c}$,

da ist ein endlich Unterkollektion F ⊆ C so dass

${\ displayStyle k \ subseteq \ bigcup _ {c \ in f} c}$.

Kompaktheit ist eine "topologische" Eigenschaft. Das heißt, wenn ${\ displayStyle k \ subset z \ subset y}$, mit Untergruppe Z ausgestattet mit der Subspace -Topologie dann K ist kompakt in Z dann und nur dann, wenn K ist kompakt in Y.

Äquivalente Definitionen

Wenn X ist ein topologischer Raum, dann sind die folgenden gleichwertig:

1. X ist kompakt.
2. Jeder Offene Abdeckung von X hat eine endliche Unterhebung.
3. X hat eine Unterpase, so dass jede Abdeckung des Raums von Mitgliedern der Unterbasis eine endliche Subbeziehung hat (Alexanders Sub-Base-Theorem).
4. X ist Lindelöf und Zähnen kompakt.^[8]
5. Jede Sammlung geschlossener Teilmengen von X mit dem Finite Intersection -Eigenschaft hat eine nicht leere Kreuzung.
6. Jeder Netz an X hat ein konvergentes Subnetz (siehe Artikel zu Netze für einen Beweis).
7. Jeder Filter an X hat eine konvergente Verfeinerung.
8. Jedes Netz an X hat einen Clusterpunkt.
9. Jeder Filter auf X hat einen Clusterpunkt.
10. Jeder Ultrafilter an X Konvergiert auf mindestens einen Punkt.
11. Jede unendliche Untergruppe von X hat ein Vollständige Akkumulationspunkt.^[9]

Euklidischer Raum

Für jeden Teilmenge A von Euklidischer Raum, A ist kompakt, wenn und nur wenn es ist abgeschlossen und begrenzt; Dies ist das Heine -Borel -Theorem.

Als ein Euklidischer Raum ist ein metrischer Raum, die Bedingungen im nächsten Unterabschnitt gelten auch für alle Untergruppen. Von allen äquivalenten Bedingungen ist es in der Praxis am einfachsten zu überprüfen Intervall oder geschlossen n-Ball.

Metrikräume

Für jeden metrischen Raum (X, d)Folgendes sind äquivalent (vorausgesetzt Zählbare Auswahl):

1. (X, d) ist kompakt.
2. (X, d) ist Komplett und total begrenzt (Dies entspricht auch der Kompaktheit für einheitliche Räume).^[10]
3. (X, d) ist nacheinander kompakt; das heißt, jeder Reihenfolge in X hat eine konvergente Subsequenz, deren Grenze in ist X (Dies entspricht auch der Kompaktheit für zuerst zählbar einheitliche Räume).
4. (X, d) ist Limit Point Compact (auch schwach zählich kompakt bezeichnet); das heißt, jede unendliche Untergruppe von X hat mindestens einen Punktgrenze in X.
5. (X, d) ist Zähnen kompakt; das heißt, jede zählbare offene Abdeckung von X Hat eine endliche Unterbeziehung.
6. (X, d) ist ein Bild einer kontinuierlichen Funktion von der Cantor -Set.^[11]
7. Jede abnehmende verschachtelte Sequenz nicht leerer geschlossener Teilmengen S1 ⊇ S2 ⊇ ... in (X, d) hat eine nicht leere Kreuzung.
8. Jede zunehmende verschachtelte Abfolge von richtigen offenen Teilmengen S1 ⊆ S2 ⊆ ... in (X, d) kann nicht abdecken X.

Ein kompakter metrischer Raum (X, d) Erfüllt auch die folgenden Eigenschaften:

1. Lebesguges Nummer lemma: Für jede offene Abdeckung von XEs gibt eine Nummer δ > 0 so dass jede Untergruppe von X mit Durchmesser < δ ist in einem Mitglied des Covers enthalten.
2. (X, d) ist zweitzählbar, trennbar und Lindelöf - Diese drei Bedingungen entsprechen metrischen Räumen. Das Gegenteil ist nicht wahr; Ein zählbarer diskreter Raum erfüllt diese drei Bedingungen, ist jedoch nicht kompakt.
3. X wird geschlossen und begrenzt (als Teilmenge eines metrischen Raums, dessen eingeschränkte Metrik ist d). Das Gegenteil kann für einen nichteuklidischen Raum scheitern. z.B. das echte Linie ausgestattet mit dem Diskrete Metrik ist geschlossen und begrenzt, aber nicht kompakt, wie die Sammlung von allen Singletons des Raums ist eine offene Abdeckung, die keine endliche Unterbeziehung zulässt. Es ist vollständig, aber nicht vollständig begrenzt.

Räume bestellt

Für einen bestellten Raum (X, <) (d. H. Ein vollständig bestelltes Set, das mit der Ordertopologie ausgestattet ist), sind folgender entsprechend:

1. (X, <) ist kompakt.
2. Jede Untergruppe von X hat ein Supremum (d. H. Eine am wenigsten Obergrenze) in X.
3. Jede Untergruppe von X hat ein Infimum (d. H. Eine größte Untergrenze) in X.
4. Jede nicht leere geschlossene Untergruppe von X hat ein maximales und ein minimales Element.

Ein geordneter Raum erfüllt (beliebt) diese Bedingungen werden als vollständiges Gitter bezeichnet.

Darüber hinaus entsprechen Folgendes für alle geordneten Räume (X, <)und (unter Annahme Zählbare Auswahl) sind wahr, wann immer (X, <) ist kompakt. (Das Gegenteil im Allgemeinen scheitert, wenn (X, <) ist nicht auch metrizierbar.):

1. Jede Sequenz in (X, <) hat eine Untersequenz, die konvergiert (X, <).
2. Jede monotone zunehmende Sequenz in X konvergiert zu einer eindeutigen Grenze in X.
3. Jede monoton abnehmende Sequenz in X konvergiert zu einer eindeutigen Grenze in X.
4. Jede abnehmende verschachtelte Sequenz nicht leerer geschlossener Teilmengen S1 ⊇ S2 ⊇ ... in (X, <) hat eine nicht leere Kreuzung.
5. Jede zunehmende verschachtelte Abfolge von richtigen offenen Teilmengen S1 ⊆ S2 ⊆ ... in (X, <) kann nicht abdecken X.

Charakterisierung durch kontinuierliche Funktionen

Lassen X ein topologischer Raum sein und C(X) der Ring der echten kontinuierlichen Funktionen auf X. Für jeden p ∈ X, die Bewertungskarte $oder$ gegeben durch ev_p(f) = f(p) ist ein Ring -Homomorphismus. Das Kernel von ev_p ist ein Maximales Ideal, seit der Rückstandsfeld C(X)/ker ev_p ist das Feld realer Zahlen, von der Erster Isomorphismus -Theorem. Ein topologischer Raum X ist Pseudokompakt wenn und nur wenn jedes maximale Ideal in C(X) Hat Rückstände die realen Zahlen. Zum völlig regelmäßige RäumeDies entspricht jedem maximalen Ideal, der der Kern eines Bewertungshomomorphismus ist.^[12] Es gibt jedoch Pseudokompakträume, die nicht kompakt sind.

Im Allgemeinen gibt es für nicht-Pseudocompact-Räume immer maximale Ideale m in C(X) so dass das Rückstand Feld C(X)/m ist ein (Nichtarchimedan) Hyperreales Feld. Der Rahmen von Nicht standardmäßige Analyse Ermöglicht die folgende alternative Charakterisierung der Kompaktheit:^[13] ein topologischer Raum X ist kompakt, wenn und nur wenn jeder Punkt x der natürlichen Erweiterung *X ist unendlich nahe bis zu einem Punkt x₀ von X (etwas präziser, x ist in der enthalten monad von x₀).

Hyperreale Definition

Ein Leerzeichen X ist kompakt, wenn es sein Hyperreale Erweiterung *X (zum Beispiel von der konstruiert von der Ultrapowere Konstruktion) hat das Eigentum, von dem jeder Punkt von *X ist unendlich nahe an einen Punkt von X⊂*X. Zum Beispiel ein offenes reales Intervall X = (0, 1) ist nicht kompakt, weil seine hyperreale Erweiterung *(0,1) enthält Infinitesimals, die unendlich nahe an 0 liegen, was kein Punkt von ist X.

Ausreichende Bedingungen

• Eine geschlossene Teilmenge eines kompakten Raums ist kompakt.^[14]
• Eine endliche Union von kompakten Sätzen ist kompakt.
• A kontinuierlich Das Bild eines kompakten Raums ist kompakt.^[15]
• Der Schnittpunkt einer nicht leeren Sammlung kompakter Teilmengen eines Hausdorff-Raums ist kompakt (und geschlossen);
  • Wenn X Ist nicht Hausdorff, dann kann der Schnittpunkt zweier kompakter Teilmengen nicht kompakt sein (siehe beispielsweise Fußnote).^{[Anmerkung 1]}
• Das Produkt von jeder Sammlung von kompakten Räumen ist kompakt. (Das ist Tychonoffs Theorem, was dem entspricht der Axiom der Wahl.))
• In einem metrizierbarer RaumEine Teilmenge ist kompakt, wenn sie nur dann ist nacheinander kompakt (Annahme Zählbare Auswahl)
• Ein endliches Set mit jeder Topologie ist kompakt.

Eigenschaften von kompakten Räumen

• Eine kompakte Teilmenge von a Hausdorff Raum X ist geschlossen.
  • Wenn X ist nicht hausdorff, dann eine kompakte Teilmenge von X kann keine geschlossene Teilmenge von sein X (Siehe Fußnote zum Beispiel).^{[Anmerkung 2]}
  • Wenn X Ist nicht Hausdorff, dann kann der Verschluss eines kompakten Satzes nicht kompakt sein (siehe beispielsweise Fußnote).^{[Notiz 3]}
• In irgendeiner Topologischer Vektorraum (Fernseher), eine kompakte Untergruppe ist Komplett. Jedes nicht-hausdorff-Fernseher enthält jedoch kompakte (und damit vollständige) Teilmengen, die sind nicht abgeschlossen.
• Wenn A und B sind disjunkte kompakte Teilmengen eines Hausdorff -Raums Xdann gibt es disjunkt offenes Set U und V in X so dass A ⊆ U und B ⊆ V.
• Eine kontinuierliche Bijection aus einem kompakten Raum in einen Hausdorff -Raum ist a Homomorphismus.
• Ein kompakter Hausdorff -Raum ist normal und regulär.
• Wenn ein Raum X ist kompakt und hausdorff, dann keine feinere Topologie an X ist kompakt und keine grobe Topologie an X ist Hausdorff.
• Wenn eine Untergruppe eines metrischen Raums (X, d) Ist es kompakt, dann ist es d-GEWUNDTE.

Funktionen und kompakte Räume

Seit einem kontinuierlich Das Bild eines kompakten Raums ist kompakt, die Extremwert -Theorem: Eine kontinuierliche realbewertete Funktion auf einem nicht leeren kompakten Raum ist oben begrenzt und erreicht sein Supremum.^[16] (Etwas allgemeiner gilt dies für eine obere semikontinuierliche Funktion.) Als eine Art Gegenteil der obigen Aussagen das Vorbild eines kompakten Raums unter einem richtige Karte ist kompakt.

Kompaktifikationen

Jeder topologische Raum X ist ein offen dichter Unterraum eines kompakten Raums mit höchstens einen Punkt mehr als X, bis zum Alexandroff Ein-Punkt-Kompaktifikation. Durch die gleiche Konstruktion jeder lokal kompakt Hausdorff Raum X ist ein offener dichter Unterraum eines kompakten Hausdorff -Raums mit höchstens einem Punkt mehr als X.

Bestellte kompakte Räume

Eine nicht leere kompakte Untergruppe der reale Nummern Hat ein größtes Element und ein geringstes Element.

Lassen X sei a einfach bestellt mit dem ausgestattet sein Topologie bestellen. Dann X ist kompakt, wenn und nur wenn X ist ein Komplettes Gitter (d. H. Alle Untergruppen haben Suprema und Infima).^[17]

Beispiele

• Irgendein Finite topologischer Raum, einschließlich der leeres Set, ist kompakt. Allgemeiner jeder Raum mit a Finite -Topologie (Nur endlich viele offene Sets) ist kompakt; Dies schließt insbesondere die ein triviale Topologie.
• Jeder Raum, der den trägt Cofinite -Topologie ist kompakt.
• Irgendein lokal kompakt Der Hausdorff -Raum kann in einen kompakten Raum verwandelt werden Alexandroff Ein-Punkt-Kompaktifikation. Die Ein-Punkte-Kompaktifikation von ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ ist homeomorph für den Kreis S¹; die Ein-Punkte-Kompaktifikation von ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{2}}$ ist homeomorph in der Sphäre S². Unter Verwendung der Ein-Punkte-Kompaktifikation kann man auch kompakte Räume konstruieren, die nicht auf Hausdorff sind, indem sie mit einem nicht-hausdorff-Raum beginnen.
• Das Topologie der richtigen Ordnung oder Topologie der linken Ordnung auf jedem begrenzten Total bestelltes Set ist kompakt. Im Speziellen, Sierpiński Raum ist kompakt.
• Nein diskreter Raum mit unendlicher Anzahl von Punkten ist kompakt. Die Sammlung von allen Singletons des Raums ist eine offene Abdeckung, die keine endliche Unterbeziehung zulässt. Finite diskrete Räume sind kompakt.
• Im ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ das tragen Untergrenze Topologie, kein unzähliger Set ist kompakt.
• In dem KOCKOUNDABE TOPOLOGIE Bei einem unzähligen Set ist kein unendlicher Satz kompakt. Wie im vorherigen Beispiel ist der Raum als Ganzes nicht lokal kompakt aber ist still Lindelöf.
• Die geschlossen Einheitsintervall [0, 1] ist kompakt. Dies folgt aus dem Heine -Borel -Theorem. Das offene Intervall (0, 1) ist nicht kompakt: die Offene Abdeckung ${\ textstyle \ links ({\ frac {1} {n}}, 1-{\ frac {1} {n}} \ rechts)}$ zum n = 3, 4, ... Hat keine endliche Unterbeziehung. Ebenso der Satz von Rationale Zahlen im geschlossenen Intervall [0,1] ist nicht kompakt: Die Sätze rationaler Zahlen in den Intervallen $oder \ pi}}+{\ frac {1} {n}}, 1 \ rechts]}$ Decken Sie alle Rationals in [0, 1] für ab n = 4, 5, ... Diese Abdeckung hat jedoch keine endliche Unterbeziehung. Hier sind die Sets in der Subspace -Topologie geöffnet, obwohl sie nicht als Untergruppen von geöffnet sind${\ displaystyle \ mathbb {r}}$.
• Der Satz ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ Von allen reellen Zahlen ist nicht kompakt, da es eine Abdeckung offener Intervalle gibt, die keine endliche Unterbeziehung haben. Zum Beispiel Intervalle (n - 1,n + 1) , wo n Nimmt alle Ganzzahlwerte in Z, Startseite ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ Aber es gibt keine endliche Unterbeziehung.
• Andererseits die erweiterte reelle Zahlenlinie Die analoge Topologie tragen ist kompakt; Beachten Sie, dass die oben beschriebene Abdeckung niemals die Punkte bei unendlich erreichen würde und somit würde nicht Decken Sie die erweiterte reale Linie ab. In der Tat hat das Set das Homomorphismus zu [–1, 1], jede Unendlichkeit zu ihrer entsprechenden Einheit und jede reelle Zahl zu ihrem Vorzeichen multipliziert mit der eindeutigen Zahl im positiven Teil des Intervall Abdeckungen kann das Heine-Borel-Eigentum abgeleitet werden.
• Für jeden natürliche Zahl n, das n-Kugel ist kompakt. Wieder aus dem Heine-Borel-Theorem der geschlossene Einheitsball aller endlich-dimensionalen Normed Vektorraum ist kompakt. Dies gilt nicht für unendliche Dimensionen; In der Tat ist ein normierter Vektorraum, wenn es nur dann endlich dimensional ist geschlossener Einheitsball ist kompakt.
• Andererseits ist die geschlossene Einheitskugel des doppelten Raums für die schwache Topologie kompakt. (Alaoglu's Theorem)
• Das Cantor -Set ist kompakt. Tatsächlich ist jeder kompakte metrische Raum ein kontinuierliches Bild des Kantorsatzes.
• Betrachten Sie den Satz K aller Funktionen f: ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ → [0, 1] von der realen Zahlenlinie bis zum Intervall der geschlossenen Einheit und eine Topologie an definieren K so dass eine Sequenz ${\ displaystyle \ {f_ {n} \}}$ in K konvergiert in Richtung f ∈ K dann und nur dann, wenn ${\ displaystyle \ {f_ {n} (x) \}}$ konvergiert in Richtung f(x) Für alle realen Zahlen x. Es gibt nur eine solche Topologie; Es heißt die Topologie von punktuelle Konvergenz oder der Produkttopologie. Dann K ist ein kompakter topologischer Raum; Dies folgt aus dem Tychonoff Theorem.
• Betrachten Sie den Satz K aller Funktionen f: [0, 1]→ [0, 1] Befriedigung der Lipschitz -Zustand |f(x) -f(y)| ≤ |x-y| für alle xAnwesendy∈[0,1]. Überlegen K die metrische induzierte durch die einheitliche Entfernung ${\ displayStyle d (f, g) = \ sup _ {x \ in [0,1]} | f (x) -g (x) |.}$ Dann vorbei Arzelà -Ascoli -Theorem der Raum K ist kompakt.
• Das Spektrum von jedem begrenzter linearer Operator auf einen Banach -Raum ist eine nicht leere kompakte Untergruppe der komplexe Zahlen ${\ displaystyle \ mathbb {c}}$. Umgekehrt jede kompakte Teilmenge von ${\ displaystyle \ mathbb {c}}$ entsteht auf diese Weise wie das Spektrum eines begrenzten linearen Operators. Zum Beispiel ein diagonaler Operator auf dem Hilbert -Raum ${\ displayStyle \ ell ^{2}}$ Kann eine kompakte nicht leere Teilmenge von haben ${\ displaystyle \ mathbb {c}}$ als Spektrum.

Algebraische Beispiele

• Kompaktgruppen wie ein orthogonale Gruppe sind kompakt, während Gruppen wie a Allgemeine lineare Gruppe sind nicht.
• Seit der p-Adic Ganzzahlen sind homomorph Für den Cantor -Set bilden sie einen kompakten Satz.
• Das Spektrum von jedem Gewinnring mit dem Zariski -Topologie (Das heißt, die Menge aller Hauptideale) ist kompakt, aber nie Hausdorff (außer in trivialen Fällen). In der algebraischen Geometrie sind solche topologischen Räume Beispiele für Quasi-Kompakt Pläne, "Quasi", bezieht sich auf die nicht-hausdorff-Natur der Topologie.
• Das Spektrum einer Booleschen Algebra ist kompakt, eine Tatsache, die Teil der ist Steinrepräsentationstheorem. Steinräume, kompakt Völlig getrennt Hausdorff -Räume bilden das abstrakte Framework, in dem diese Spektren untersucht werden. Solche Räume sind auch für das Studium von nützlich Profinitische Gruppen.
• Das Strukturraum eines kommutativen Unentals Banach Algebra ist ein kompakter Hausdorff -Raum.
• Das Hilbert Cube ist kompakt, wieder eine Folge von Tychonoffs Theorem.
• A Profinite Group (z.B. Galois -Gruppe) ist kompakt.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Literaturverzeichnis

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Externe Links

• Zähnen kompakt bei Planetmath.
• Sundström, Manya Raman (2010). "Eine pädagogische Geschichte der Kompaktheit". Arxiv:1006.4131v1 [math.ho].

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