Kohärente Risikomaß

In den Feldern von Versicherungsmathematik und Finanzwirtschaft Es gibt eine Reihe von Möglichkeiten, wie Risiken definiert werden können. Um die Konzepttheoretiker zu klären, haben eine Reihe von Eigenschaften beschrieben, dass a Risikomaß könnte oder nicht haben. EIN Kohärente Risikomaß ist eine Funktion, die Eigenschaften von erfüllt monotonicity, Unteradditivität, Homogenität, und Translationale Invarianz.

Eigenschaften

Betrachten Sie ein zufälliges Ergebnis ${\ displayStyle x}$ als Element eines linearen Raums betrachtet ${\ displaystyle {\ mathcal {l}}}$ von messbaren Funktionen, definiert auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum. EIN funktional ${\ displaystyle \ varrho: {\ mathcal {l}}}$ → ${\ displayStyle \ mathbb {r} \ cup \ {+\ infty \}}$ soll eine kohärente Risikomaßnahme für sein ${\ displaystyle {\ mathcal {l}}}$ Wenn es die folgenden Eigenschaften erfüllt:^[1]

Normalisiert

${\ displayStyle \ varrho (0) = 0}$

Das heißt, das Risiko beim Halten kein Vermögenswerte ist Null.

Monotizität

${\ displaystyle \ mathhrm {if} \; z_ {1}, z_ {2} \ in {\ mathcal {l}} \; \ mathrm {und} \; Z_ {1} \ leq z_ {2 \ \; \; \; \; \; \; \; \; \; mathhrm {a.s.}, \; \ mathhrm {dann} \; \ varrho (z_ {1}) \ Geq \ varrho (z_ {2})}$

Das heißt, wenn Portfolio ${\ displayStyle z_ {2}}$ hat immer bessere Werte als Portfolio ${\ displayStyle z_ {1}}$ unter fast alles Szenarien dann das Risiko von ${\ displayStyle z_ {2}}$ sollte geringer sein als das Risiko von ${\ displayStyle z_ {1}}$.^[2] Z.B. Wenn ${\ displayStyle z_ {1}}$ ist eine in der Geldkalloption (oder auf andere Weise) auf einer Aktie, und ${\ displayStyle z_ {2}}$ ist auch eine in der Geldkalloption mit einem niedrigeren Ausübungspreis. Im finanziellen Risikomanagement impliziert die Monotonizität ein Portfolio mit größeren zukünftigen Renditen weniger Risiken.

Unteradditivität

${\ displayStyle \ mathrm {if} \; z_ {1}, z_ {2} \ in {\ mathcal {l}}, \; \ math mathrm {dann} \; \ varrho (z_ {1}+z_ {2}} ) \ leq \ varrho (z_ {1})+\ varrho (z_ {2})}$

In der Tat kann das Risiko von zwei Portfolios zusammen schlechter werden, als die beiden Risiken separat hinzuzufügen: Dies ist das Diversifizierung Prinzip. Im Finanzrisikomanagement bedeutet Unteradditivität, dass Diversifizierung von Vorteil ist. Das Prinzip der Unteradditivität wird manchmal auch als problematisch angesehen.^[3][4]

Positive Homogenität

${\ displayStyle \ mathrm {if} \; \ alpha \ geq 0 \; \ mathhrm {und} \; z \ in {\ mathcal {l}}, \; \ math mathrm {dann} \; \ varrho (\ alpha ze zn ) = \ alpha \ varrho (z)}$

Wenn Sie Ihr Portfolio verdoppeln, verdoppeln Sie Ihr Risiko. Im Finanzrisikomanagement impliziert die positive Homogenität das Risiko einer Position proportional zu ihrer Größe.

Übersetzungsinvarianz

Wenn ${\ displayStyle a}$ ist ein deterministisches Portfolio mit garantierter Rendite ${\ displayStyle a}$ und ${\ displayStyle z \ in {\ mathcal {l}}}$ dann

${\ displaystyle \ varrho (z+a) = \ varrho (z) -a}$

Das Portfolio ${\ displayStyle a}$ fügt nur Bargeld hinzu ${\ displayStyle a}$ zu Ihrem Portfolio ${\ displayStyle z}$. Insbesondere wenn, wenn ${\ displayStyle a = \ varrho (z)}$ dann ${\ displaystyle \ varrho (z+a) = 0}$. Im Finanzrisikomanagement impliziert die Übersetzungsinvarianz, dass die Hinzufügung einer sicheren Menge an Hauptstadt reduziert das Risiko um den gleichen Betrag.

Konvexe Risikomaßnahmen

Der Begriff der Kohärenz wurde anschließend entspannt. In der Tat können die Vorstellungen von Unteradditivität und positiver Homogenität durch den Begriff von ersetzt werden Konvexität:^[5]

Konvexität

$oder } \ varrho (\ lambda z_ {1}+(1- \ lambda) z_ {2}) \ leq \ lambda \ varrho (z_ {1})+(1- \ lambda) \ varrho (z_ {2})}}}}$

Beispiele für die Risikomaßnahme

Wert von Risiko

Es ist gut bekannt, dass Wert von Risiko ist nicht Eine kohärente Risikomaßnahme, da es die Subadditivitätseigenschaft nicht respektiert. Eine unmittelbare Folge ist das Wert von Risiko könnte die Diversifizierung entmutigen.^[1] Wert von Risiko ist jedoch kohärent unter der Annahme von elliptisch verteilt Verluste (z. normal verteilt) Wenn der Portfoliowert eine lineare Funktion der Vermögenspreise ist. In diesem Fall entspricht der Risiko jedoch einem Mittelwertvarianzansatz, bei dem das Risiko eines Portfolios an der Varianz der Rendite des Portfolios gemessen wird.

Die Wang -Transformationsfunktion (Verzerrungsfunktion) für den Wert des Werts ist ${\ displayStyle g (x) = \ mathbf {1} _ {x \ geq 1- \ alpha}}$. Die Nicht-Konkitität von ${\ displayStyle g}$ beweist die Nichtkohärenz dieser Risikomaßnahme.

Illustration

Als einfaches Beispiel, um die Nichtkohärenz von Wertschöpfungsrisiko zu demonstrieren, sollten Sie sich das VAR eines Portfolios mit 95% Vertrauen im nächsten Jahr zweier ausfallbarer Null-Gutscheinanleihen ansehen, die in 1 Jahren in unserem Numeraire reifen Währung.

Nehmen Sie Folgendes an:

• Die aktuelle Ausbeute an den beiden Anleihen beträgt 0%
• Die beiden Anleihen stammen von verschiedenen Emittenten
• Jede Anleihe hat 4% Wahrscheinlichkeit des Verfalls im nächsten Jahr
• Das Ausfallereignis in beiden Anleihen ist unabhängig von den anderen
• Nach Verzug haben die Anleihen eine Wiederherstellungsrate von 30%

Unter diesen Bedingungen beträgt der 95% VAR für das Halten einer der Anleihen 0, da die Ausfallwahrscheinlichkeit weniger als 5% beträgt. Wenn wir jedoch ein Portfolio besitzen, das aus 50% jeder Bindung nach Wert bestand, beträgt der 95% var 35% (= 0,5*0,7 + 0,5*0), da die Wahrscheinlichkeit von mindestens einer der definierten Bindungen 7,84% beträgt (= = = 1 - 0,96*0,96), der 5%übersteigt. Dies verstößt gegen die Subadditivitätseigenschaft, die zeigt, dass VAR keine kohärente Risikomaßnahme ist.

Durchschnittswert von Risiko

Der durchschnittliche Wert gefährdet (manchmal genannt Erwarteter Mangel oder bedingte Wertschöpfungsrisiko oder ${\ displayStyle avar}$) ist ein kohärentes Risikomaß, obwohl es aus dem Wert von Risiko abgeleitet ist, was nicht ist. Die Domäne kann für allgemeinere Orlitz -Herzen aus dem typischeren erweitert werden LP -Räume.^[6]

Entropischer Wert bei Risiko

Das entropischer Wert bei Risiko ist eine kohärente Risikomaßnahme.^[7]

Tail value at risk

Das Schwanzwert gefährdet (oder Schwanz bedingte Erwartung) ist eine kohärente Risikomaßnahme nur dann, wenn die zugrunde liegende Verteilung ist kontinuierlich.

Die Wang -Transformationsfunktion (Verzerrungsfunktion) für die Schwanzwert gefährdet ist ${\ displayStyle g (x) = \ min ({\ frac {x} {\ alpha}}, 1)}$. Die Konkavität von ${\ displayStyle g}$ beweist die Kohärenz dieser Risikomaßnahme im Fall einer kontinuierlichen Verteilung.

Proportional -Gefahren (pH) Risikomaß

Das pH -Risikomaß (oder das proportionale Risikomaß) verwandelt die Gefährdungsraten $oder$ Verwenden eines Koeffizienten ${\ displayStyle \ xi}$.

Die Wang -Transformationsfunktion (Verzerrungsfunktion) für das pH -Risikomaß ist ${\ displayStyle g _ {\ alpha} (x) = x^{\ xi}}$. Die Konkavität von ${\ displayStyle g}$ wenn ${\ displayStyle \ scriptstyle \ xi <{\ frac {1} {2}}}$ beweist die Kohärenz dieser Risikomaßnahme.

G-entrostische Risikomaßnahmen

G-entropische Risikomaßnahmen sind eine Klasse von Informations-theoretischen kohärenten Risikomaßnahmen, die einige wichtige Fälle wie CVAR und EVAR beinhalten.^[7]

Die Wang -Risikomaßnahme

Das Wang -Risikomaß wird durch die folgende Wang -Transformationsfunktion definiert (Verzerrungsfunktion) $oder$. Die Kohärenz dieser Risikomaßnahme ist eine Folge der Konkavität von ${\ displayStyle g}$.

Entropic risk measure

Das Entropische Risikomaßnahme ist ein konvexes Risikomaß, das nicht kohärent ist. Es hängt mit dem zusammen Exponentieller Nutzen.

Superhedging price

Das Überhitzungspreis ist eine kohärente Risikomaßnahme.

SET-Wert

In einer Situation mit ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{d}}$-Valierte Portfolios, so dass ein Risiko gemessen werden kann ${\ displayStyle n \ leq d}$ Anschließend ist eine Reihe von Portfolios der richtige Weg, um das Risiko darzustellen. SET-Wert-Risikomaßnahmen sind nützlich für Märkte mit Transaktionskosten.^[8]

Eigenschaften

Eine festwertige kohärente Risikomaßnahme ist eine Funktion ${\ displayStyle r: l_ {d}^{p} \ rightarrow \ mathbb {f} _ {m}}$, wo $oder$ und ${\ displayStyle k_ {m} = k \ cap m}$ wo ${\ displayStyle K}$ ist eine Konstante Solvenzkegel und ${\ displayStyle m}$ ist der Satz von Portfolios der ${\ displayStyle m}$ Referenzvermögen. ${\ displayStyle r}$ Muss die folgenden Eigenschaften haben:^[9]

Normalisiert

$oder$

Übersetzung in m

${\ displayStyle \ forall x \ in l_ {d}^{p}, \ forall u \ in m: r (x+u1) = r (x) -U}$

Monoton

$oder$

Sublinear

Allgemeiner Rahmen der Wang -Transformation

Wang -Transformation der kumulativen Verteilungsfunktion

Eine Wang -Transformation der kumulativen Verteilungsfunktion ist eine zunehmende Funktion ${\ displayStyle g \ colon [0,1] \ rightarrow [0,1]}$ wo ${\ displayStyle g (0) = 0}$ und ${\ displayStyle g (1) = 1}$. ^[10] Diese Funktion heißt Verzerrungsfunktion oder Wang -Transformationsfunktion.

Das Doppelverzerrungsfunktion ist ${\ displayStyle {\ tilde {g}} (x) = 1-g (1-x)}$.^[11][12] Angenommen Wahrscheinlichkeitsraum ${\ displayStyle (\ Omega, {\ mathcal {f}}, \ mathbb {p})}$dann für jeden zufällige Variable ${\ displayStyle x}$ und jede Verzerrungsfunktion ${\ displayStyle g}$ Wir können einen neuen definieren Wahrscheinlichkeitsmaß ${\ displaystyle \ mathbb {q}}$ so dass für jeden ${\ displayStyle a \ in {\ mathcal {f}}}$ es folgt dem${\ displaystyle \ mathbb {q} (a) = g (\ mathbb {p} (x \ in a)).}$ ^[11]

Versicherungsmathematisches Premium -Prinzip

Für jede zunehmende konkave Wang -Transformationsfunktion könnten wir ein entsprechendes Premium -Prinzip definieren:^[10] $oder$

Kohärente Risikomaß

Ein kohärentes Risikomaß könnte durch eine Wang -Transformation der kumulativen Verteilungsfunktion definiert werden ${\ displayStyle g}$ dann und nur dann, wenn ${\ displayStyle g}$ ist konkav.^[10]

Konvexes Risikomaß an SET-Wert

Wenn statt der sublinearen Eigenschaft,R ist dann konvex R ist ein festwertiges konvexes Risikomaß.

Doppelte Darstellung

A niedrigere halbkontinuierliche Konvexes Risikomaß ${\ displaystyle \ varrho}$ kann als dargestellt werden als

$oder$

so dass ${\ displayStyle \ alpha}$ ist eine Straffunktion und ${\ displayStyle {\ mathcal {m}} (p)}$ ist der Satz von Wahrscheinlichkeitsmaßnahmen absolut kontinuierlich in Gedenken an P (die wahre Welt" Wahrscheinlichkeitsmaß), d.h. ${\ displaystyle {\ mathcal {m}} (p) = \ {q \ ll p \ \}}$. Die doppelte Charakterisierung ist an gebunden an ${\ displayStyle l^{p}}$ Räume, Orlitzherzen und ihre zwei Räume.^[6]

A niedrigere halbkontinuierliche Das Risikomaß ist kohärent, wenn es nur dann als dargestellt werden kann

${\ displaystyle \ varrho (x) = \ sup _ {q \ in {\ mathcal {q}}} e^{q} [-x]}$

so dass ${\ displaystyle {\ mathcal {q}} \ subseteq {\ mathcal {m}} (p)}$.^[13]

Siehe auch

• Risikometrik - Das abstrakte Konzept, dass ein Risiko misst, quantifiziert
• Risikometrie - Ein Modell für das Risikomanagement
• Spektralrisikomaß - Eine Teilmenge von kohärenten Risikomaßnahmen
• Verzerrungsrisikomaß
• Bedingte Wertschöpfungsrisiko
• Entropischer Wert bei Risiko
• Finanzielles Risiko

Verweise