Zentraler Moment

Im Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistiken, a zentraler Moment ist ein Moment von a Wahrscheinlichkeitsverteilung von a zufällige Variable über die zufälligen Variablen bedeuten; Das heißt, es ist das erwarteter Wert einer bestimmten ganzzahligen Leistung der Abweichung der Zufallsvariablen vom Mittelwert. Die verschiedenen Momente bilden einen Satz von Werten, durch die die Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung sinnvoll charakterisiert werden können. Zentrale Momente werden für gewöhnliche Momente verwendet, die in Bezug auf Abweichungen vom Mittelwert anstelle von Null berechnet werden, da sich die zentralen Momente höherer Ordnung nur auf die Ausbreitung und Form der Verteilung beziehen und nicht auch auf ihre Lage.

Sätze zentraler Momente können sowohl für univariate als auch für multivariate Verteilungen definiert werden.

Univariate Momente

Das nth Moment über die bedeuten (oder nth zentraler Moment) eines realen Werts zufällige Variable X ist die Menge μn: = E [((X- e [X]))n], wo e das ist Erwartungsbetreiber. Für ein kontinuierlich univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x), das nDer Moment über den Mittelwert μ ist

[1]

Für zufällige Variablen, die keine Abgabe haben, wie das Cauchy -Verteilung, zentrale Momente sind nicht definiert.

Die ersten zentralen Momente haben intuitive Interpretationen:

  • Der zentrale Moment "Zeroth" μ0 ist 1.
  • Der erste zentrale Moment μ1 ist 0 (nicht zu verwechseln mit dem ersten roher Moment oder der erwarteter Wert μ).
  • Der zweite zentrale Moment μ2 wird genannt Varianz, und wird normalerweise bezeichnet σ2, wo σ die repräsentiert die Standardabweichung.
  • Die dritte und vierte zentrale Momente werden verwendet, um die zu definieren standardisierte Momente die verwendet werden, um zu definieren Schiefe und Kurtosis, beziehungsweise.

Eigenschaften

Das nDer zentrale Moment ist translationsinvariante, d. H. Für jede zufällige Variable X und jede Konstante c, wir haben

Für alle n, das nDer zentrale Moment ist homogen Grad n:

Nur zum n so dass n gleich 1, 2 oder 3 eine Additivitätseigenschaft für zufällige Variablen haben X und Y das sind unabhängig:

bereitgestellt n{1, 2, 3}.

Eine verwandte Funktion, die die Übersetzungsinvarianz- und Homogenitätseigenschaften mit dem teilt nDer zentrale Moment, hat aber weiterhin diese Additivitätseigenschaft, auch wenn n≥ 4 ist das nth Kumulanz κn(X). Zum n= 1, die nDas Kumulans ist nur das erwarteter Wert; zum n= entweder 2 oder 3, die nDas Kumulans ist nur das nder zentrale Moment; zum n≥ 4, die nDas Kumulans ist ein nThegree Monic Polynom im ersten n Momente (ungefähr null) und ist auch ein (einfacher) nThegree Polynom im ersten n Zentrale Momente.

Beziehung zu Momenten über den Ursprung

Manchmal ist es bequem, Momente über den Ursprung in Momente über den Mittelwert umzuwandeln. Die allgemeine Gleichung zur Konvertierung der nDer Moment im Ordnung über den Ursprung bis zum Moment des Mittelwerts ist

wo μ ist der Mittelwert der Verteilung, und der Moment um den Ursprung wird gegeben

Für die Fälle n = 2, 3, 4 - was aufgrund der Beziehungen zu den größten Interesse ist Varianz, Schiefe, und Kurtosisjeweils wird diese Formel (bemerkt das und ):

das allgemein bezeichnet als als

... usw,[2] folgen Pascals Dreieck, d.h.

Weil

Die folgende Summe ist eine stochastische Variable mit a Verbindungsverteilung

bei dem die sind für beide Seiten unabhängige Zufallsvariablen, die dieselbe gemeinsame Verteilung teilen und eine zufällige Ganzzahlvariable unabhängig von der mit seiner eigenen Verteilung. Die Momente von werden als

wo ist definiert als Null für .

Symmetrische Verteilungen

In einem Symmetrische Verteilung (Eine, die nicht beeinflusst wird, indem man Sein nicht betrifft reflektiert ungefähr sein Mittelwert), alle seltsamen zentralen Momente gleich Null, weil in der Formel für die nDer Moment, jeder Begriff mit einem Wert von X weniger als der Mittelwert um einen bestimmten Betrag storniert genau den Begriff mit einem Wert von X größer als der Mittelwert mit der gleichen Menge.

Multivariate Momente

Für ein kontinuierlich bivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x,y) das (j,k) Moment über den Mittelwert μ= (μXAnwesendμY) ist

Zentrales Moment komplexer Zufallsvariablen

Das nDas zentrale Moment für eine komplexe Zufallsvariable X ist definiert als [3]

Das Absolute nder zentrale Moment von X ist definiert als

Der zentrale Moment der 2. Ordnung β2 wird genannt Varianz von X während der zentrale Moment der zweiten Ordnung α2 ist der Pseudo-Varianz von X.

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Grimmett, Geoffrey;Reizaker, David (2009). Wahrscheinlichkeit und zufällige Prozesse.Oxford, England: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-857222-0.
  2. ^ "Zentraler Moment".
  3. ^ Eriksson, Jan;Ollila, ESA;Koivunen, Visa (2009)."Statistiken für komplexe Zufallsvariablen überarbeitet". IEEE Internationale Konferenz über Akustik, Sprach und Signalverarbeitung: 3565–3568. doi:10.1109/ICASSP.2009.4960396. ISBN 978-1-4244-2353-8. S2CID 17433817.