Kausalstruktur

Im Mathematische Physik, das Kausalstruktur von a Lorentzer Verteiler beschreibt die kausale Beziehungen zwischen Punkten im Verteiler.

Einführung

Im Moderne Physik (besonders generelle Relativität) Freizeit wird durch a dargestellt Lorentzer Verteiler. Die kausalen Beziehungen zwischen Punkten im Verteiler werden als beschrieben, welche Ereignisse im Raumzeit die anderen Ereignisse beeinflussen können.

Die kausale Struktur eines willkürlichen (möglicherweise gebogenen) lorentzischen Verteilers wird durch das Vorhandensein von komplizierter gemacht Krümmung. Diskussionen über die Kausalstruktur für solche Verteiler müssen in Bezug auf die Formulierung formuliert werden glatt Kurven Beiträge von Punkten. Bedingungen auf der Tangentenvektoren der Kurven definieren dann die kausalen Beziehungen.

Tangentenvektoren

Unterteilung der Minkowski -Raumzeit in Bezug auf einen Punkt in vier disjunkten Sätzen. Das leichter Kegel, das kausale Zukunft, das kausale Vergangenheit, und anderswo. Die Terminologie ist in diesem Artikel definiert.

Wenn ist ein Lorentzer Verteiler (zum metrisch an vielfältig ) Dann können die Tangentenvektoren ungleich Null an jedem Punkt im Verteiler in drei eingeteilt werden disjunkt Typen. Ein Tangentenvektor ist:

  • zeitlich wenn
  • Null oder leicht wenn
  • räumlich wenn

Hier benutzen wir die Metrische Signatur. Wir sagen, dass ein Tangentenvektor ist nicht platzartig Wenn es null oder zeitlich ist.

Der kanonische lorentzische Verteiler ist Minkowski -Raumzeit, wo und ist der eben Minkowski -Metrik. Die Namen für die Tangentenvektoren stammen aus der Physik dieses Modells. Die kausalen Beziehungen zwischen Punkten in der Minkowski -Raumzeit haben eine besonders einfache Form, da der Tangentenraum auch ist und daher können die Tangentenvektoren mit Punkten im Raum identifiziert werden. Der vierdimensionale Vektor wird nach dem Zeichen von klassifiziert , wo ist ein Kartesischer Koordinate im 3-dimensionalen Raum, ist die Konstante, die die universelle Geschwindigkeitsgrenze darstellt, und ist an der Zeit. Die Klassifizierung eines Vektors im Raum wird in allen Referenzrahmen gleich sein, die durch a zusammenhängen Lorentz -Transformation (aber nicht von einem General Poincaré -Transformation Weil der Ursprung dann verschoben werden kann) wegen der Invarianz der Metrik.

Zeitorientierbarkeit

An jedem Punkt in die zeitlich tangentlichen Vektoren in den Punkten des Punktes Tangentenraum kann in zwei Klassen unterteilt werden. Um dies zu tun, definieren wir zuerst eine Äquivalenzbeziehung auf Paaren zeitlich tangentierter Vektoren.

Wenn und sind zwei zeitlichere Tangentenvektoren zu einem Punkt, den wir das sagen und sind äquivalent (geschrieben ) wenn .

Es gibt dann zwei Äquivalenzklassen was zwischen ihnen alle zeitlich tangentialen Vektoren enthält. Wir können (willkürlich) eine dieser Äquivalenzklassen aufrufen zukunftsgerichtet und rufen Sie den anderen an Vergangenheit gestaltet. Physisch diese Bezeichnung der beiden Klassen von zukunfts- und Vergangenheit gerichteten zeitlichen Vektoren entspricht einer Wahl von einem Pfeil der Zeit am Punkt. Die zukunfts- und vergangenen Bezeichnungen können an einem Punkt durch Kontinuität auf Nullvektoren ausgedehnt werden.

A Lorentzer Verteiler ist zeitorientierbar[1] Wenn eine kontinuierliche Bezeichnung von zukünftigen und gerichteten Vergangenheit für nicht spürfähige Vektoren über den gesamten Verteiler gemacht werden kann.

Kurven

A Weg in ist ein kontinuierlich Karte wo ist ein nicht genanntes Intervall (d. H. Ein verbundener Satz, der mehr als einen Punkt enthält) in . EIN glatt Pfad hat eine angemessene Häufigkeit differenzierbar (typischerweise ), und ein regulär Der Pfad hat nicht variantes Derivat.

A Kurve in ist das Bild eines Pfades oder, was ordnungsgemäß ist, eine Äquivalenzklasse von Pfademages, die durch Reparametrisation, d.h. Homomorphismen oder Diffeomorphismen von . Wann ist zeitorientierbar, die Kurve ist orientiert Wenn die Parameteränderung erforderlich ist monoton.

Glätte reguläre Kurven (oder Pfade) in Kann je nach Tangentenvektoren klassifiziert werden. Eine solche Kurve ist

  • chronologisch (oder zeitlich) Wenn der Tangentenvektor an allen Punkten in der Kurve zeitlich gut ist. Auch a genannt Weltlinie.[2]
  • Null Wenn der Tangentenvektor an allen Punkten in der Kurve null ist.
  • räumlich Wenn der Tangentenvektor an allen Punkten in der Kurve räumlich ist.
  • kausal (oder nicht platzartig) Wenn der Tangentenvektor zeitlich ist oder Null an allen Punkten in der Kurve.

Die Anforderungen der Regelmäßigkeit und der Nichtnetzungen von Stellen Sie sicher, dass geschlossene kausale Kurven (z.

Wenn der Verteiler zeitorientierbar ist, können die nicht spürbaren Kurven je nach Zeit in Bezug auf die Zeit weiter klassifiziert werden.

Eine chronologische, null- oder kausale Kurve in ist

  • zukunftsgerichtet Wenn für jeden Punkt in der Kurve der Tangentenvektor zukunftsgerichtet ist.
  • Vergangenheit gestaltet Wenn für jeden Punkt in der Kurve der Tangentenvektor vergangen ist.

Diese Definitionen gelten nur für kausale (chronologische oder null-) Kurven, da nur zeitliche oder null -Tangentenvektoren eine Ausrichtung in Bezug auf die Zeit zugeordnet werden können.

  • A geschlossene zeitlichartige Kurve ist eine geschlossene Kurve, die überall künftig geführte zeitlich (oder überall in der Vergangenheit gerichteten Zeiten) ist.
  • A geschlossene Nullkurve ist eine geschlossene Kurve, die überall zukunftsgerichtete Null (oder überall in der Vergangenheit gerichtete Null) ist.
  • Das Holonomie des Verhältnisses der Änderungsrate des affine Parameters um eine geschlossene Nullgeodät ist die Rotverschiebungsfaktor.

Kausale Beziehungen

Es gibt mehrere kausale Beziehungen zwischen Punkten und im Verteiler .

  • chronologisch voraus (oft bezeichnet ) Wenn es eine zukünftig gerichtete chronologische (zeitlichartige) Kurve von vorhanden ist zu .
  • streng kausal voraus (oft bezeichnet ) Wenn es eine zukünftig gerichtete kausale (nicht-spezifische) Kurve von vorhanden ist zu .
  • kausal vorausgeht (oft bezeichnet oder ) wenn streng kausal voraus oder .
  • Horismos [3] (oft bezeichnet oder ) wenn oder es gibt eine zukünftig gerichtete Nullkurve von zu [4] (oder gleichwertig, und ).

Diese Beziehungen erfüllen die folgenden Eigenschaften:

  • impliziert (Dies folgt trivial aus der Definition)[5]
  • , impliziert [5]
  • , impliziert [5]
  • , , sind transitiv.[5] ist nicht transitiv.[6]
  • , sind reflexiv[4]

Für einen Punkt im Verteiler wir definieren[5]

  • Das Chronologische Zukunft von , bezeichnet , wie der Satz aller Punkte in so dass chronologisch voraus :
  • Das Chronologische Vergangenheit von , bezeichnet , wie der Satz aller Punkte in so dass chronologisch voraus :

Wir definieren in ähnlicher Weise

  • Das kausale Zukunft (auch als die genannt Absolute Zukunft) von , bezeichnet , wie der Satz aller Punkte in so dass kausal vorausgeht :
  • Das kausale Vergangenheit (auch als die genannt Absolute Vergangenheit) von , bezeichnet , wie der Satz aller Punkte in so dass kausal vorausgeht :
  • Das zukünftiger Nullkegel von als die Menge aller Punkte in so dass .
  • Das Vergangener Nullkegel von als die Menge aller Punkte in so dass .
  • Das leichter Kegel von als die zukünftige und vergangene Nullkegel von zusammen.[7]
  • anderswo als Punkte nicht im Lichtkegel, der kausalen Zukunft oder der kausalen Vergangenheit.[7]

Punkte in kann zum Beispiel von erreicht werden durch eine zukünftig gerichtete zeitlichere Kurve. Der Punkt kann beispielsweise von Punkten in erreicht werden durch eine zukunftsgerichtete nicht-spürartige Kurve.

Im Minkowski -Raumzeit der Satz ist der Innere der Zukunft leichter Kegel bei . Der Satz ist der volle zukünftige Lichtkegel bei , einschließlich des Kegels selbst.

Diese Sets für alle definiert in , werden gemeinsam die genannt Kausalstruktur von .

Zum a Teilmenge von wir definieren[5]

Zum zwei Untergruppen von wir definieren

  • Das Chronologische Zukunft von relativ zu , , ist die chronologische Zukunft von als Submaniflold von angesehen . Beachten Sie, dass dies ein ganz anderes Konzept ist als das gibt den Satz von Punkten in die durch zukunftsgerichtete, zeitlichere Kurven von abgeschlossen werden können . Im ersten Fall müssen die Kurven darin liegen Im zweiten Fall nicht. Siehe Hawking und Ellis.
  • Das kausale Zukunft von relativ zu , , ist die kausale Zukunft von als Submaniflold von angesehen . Beachten Sie, dass dies ein ganz anderes Konzept ist als das gibt den Satz von Punkten in die durch zukunftsgerichtete kausale Kurven von abgeschlossen werden können . Im ersten Fall müssen die Kurven darin liegen Im zweiten Fall nicht. Siehe Hawking und Ellis.
  • A zukünftige Set ist ein Set in chronologischer Zukunft geschlossen.
  • A vergangener Satz ist ein Set unter chronologischer Vergangenheit geschlossen.
  • Ein unanständige Vergangenheit (IP) ist ein früherer Satz, der nicht die Vereinigung von zwei verschiedenen offenen, vergangenen Teilmengen ist.
  • Eine IP, die nicht mit der Vergangenheit eines Punktes zusammenfällt wird als a genannt terminal unddermächliche vergangene Menge (TIPP).
  • A ordnungsgemäße unddermächliche vergangene Set (PIP) ist eine IP, die kein Tipp ist. ist eine ordnungsgemäße undderbasierte Vergangenheit (PIP).
  • Die Zukunft Cauchy -Entwicklung von , ist der Satz aller Punkte für die jede vergangene gerichtete unbeständige kausale Kurve durch Schnittpunkte zumindest einmal. Ähnlich für die vergangene Cauchy -Entwicklung. Die Cauchy -Entwicklung ist die Vereinigung der zukünftigen und vergangenen Cauchy -Entwicklungen. Cauchy -Entwicklungen sind wichtig für das Studium von Determinismus.
  • Eine Teilmenge ist Achronal Wenn es nicht gibt so dass oder äquivalent, wenn ist disjunkt von .

Kausaldiamant
  • A Cauchy -Oberfläche ist ein geschlossenes Achronal -Set, dessen Cauchy -Entwicklung ist .
  • Eine Metrik ist global hyperbolisch Wenn es durch Cauchy -Oberflächen foliiert werden kann.
  • Das Chronologie verletzt das Set ist der Satz von Punkten, durch die geschlossene zeitlichere Kurven passieren.
  • Das Kausalität verletzt das Set ist der Satz von Punkten, durch die geschlossene Kausalkurven passieren.
  • Die Grenze der Verstoß gegen die Kausalität ist a Cauchy Horizon. Wenn der Cauchy -Horizont durch geschlossene Nullgeodäsik erzeugt wird, ist mit jedem von ihnen ein Rotverschiebungsfaktor verbunden.
  • Für eine kausale Kurve , das Kausaldiamant ist (Hier verwenden wir die lockerere Definition von 'Kurve', wobei es nur eine Reihe von Punkten ist). In Worten: Der kausale Diamant der Weltlinie eines Partikels ist der Satz aller Ereignisse, die in der Vergangenheit von irgendeinem Punkt liegen und die Zukunft eines Punktes in .

Eigenschaften

Siehe Penrose (1972), P13.

  • Ein Punkt ist in dann und nur dann, wenn ist in .
  • Der Horismos wird von Null Geodätischen Kongruenzen erzeugt.

Topologisch Eigenschaften:

  • ist für alle Punkte offen in .
  • ist offen für alle Teilmengen .
  • Für alle Teilmengen . Hier ist der Schließung einer Untergruppe .

Konforme Geometrie

Zwei Metriken und sind konform verwandt[8] wenn für eine echte Funktion genannt Konformenfaktor. (Sehen konforme Karte).

Betrachten Sie die Definitionen, von denen Tangentenvektoren zeitlich, null und räumlich sind. Wir sehen, dass sie unverändert bleiben, wenn wir verwenden oder Als Beispiel annehmen ist ein zeitlich Tangentenvektor in Bezug auf die metrisch. Das bedeutet, dass . Wir haben das dann Also ist ein zeitlich Tangentenvektor in Bezug auf die zu.

Daraus folgt, dass die kausale Struktur eines lorentzischen Verteilers von a nicht betroffen ist Konforme Transformation.

Eine Nullgeodätikum bleibt unter einer konformen Neuschließung ein Nullgeodät.

Konforme Unendlichkeit

Eine unendliche Metrik gibt Geodätikerin mit unendlicher Länge/richtiger Zeit zu. Wir können jedoch manchmal eine konforme Neuschließung der Metrik mit einem konformen Faktor vornehmen konforme Grenze des Verteilers. Die topologische Struktur der konformen Grenze hängt von der kausalen Struktur ab.

  • Zukünftig gerichtete zeitlichere Geodäsik landet auf , das zukünftige zeitliche Unendlichkeit.
  • Zeitlich-zeitlich gerichtete zeitlichere Geodäsik landet auf , das vergangene zeitliche Unendlichkeit.
  • Zukünftige Null-Geodäsik landet auf ℐ+, das Future Null Infinity.
  • Null-Geodäsik in der Vergangenheit landet auf ℐ, das Past Null Infinity.
  • Räumliche Geodätikale landen auf räumliche Unendlichkeit.
  • Zum Minkowski -Raum, sind Punkte, ℐ± sind Nullblätter und räumliche Unendlichkeit hat Codimension 2.
  • Zum Anti-de SitterraumEs gibt keine Zeit- oder Nullend Infinity, und die räumliche Unendlichkeit hat eine Codimension 1.
  • Zum De SitterraumDie zukünftige und vergangene zeitlichere Unendlichkeit hat Codimension 1.

Gravitations Singularität

Wenn eine geodätische Geodät nach einem endlichen affine Parameter endet und es nicht möglich ist, den Verteiler zu erweitern, um die Geodät zu verlängern, haben wir eine Singularität.

  • Zum Schwarze Löcher, die zukünftige zeitlichartige Grenze endet auf a Singularität an einigen Stellen.
  • Für die UrknallDie vergangene zeitlichartige Grenze ist auch eine Singularität.

Das Absoluter Ereignishorizont ist der frühere Nullkegel der zukünftigen zeitlichen Unendlichkeit. Es wird von Null -Geodäsik erzeugt, die dem gehorchen Raychaudhuri Optische Gleichung.

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Hawking & Israel 1979, p. 255
  2. ^ Galloway, Gregory J. "Anmerkungen zur Lorentzschen Kausalität" (PDF). ESI-IMP-Sommerschule zur mathematischen Relativitätstheorie. Universität von Miami. p. 4. Abgerufen 2. Juli 2021.
  3. ^ Penrose 1972, p. fünfzehn
  4. ^ a b Papadopoulos, Kyriakos; Acharjee, Santanu; Papadopoulos, Basil K. (Mai 2018). "Die Reihenfolge auf dem Lichtkegel und seiner induzierten Topologie" (PDF). Internationales Journal für geometrische Methoden in der modernen Physik. 15 (5): 1850069–1851572. Arxiv:1710.05177. Bibcode:2018ijgmm..1550069p. doi:10.1142/s021988781850069X. S2CID 119120311. Abgerufen 2. Juli 2021.
  5. ^ a b c d e f Penrose 1972, p. 12
  6. ^ Stoica, O. C. (25. Mai 2016). "Raumzeitkausalstruktur und -dimension aus horismotischer Beziehung". Journal of Gravity. 2016: 1–6. doi:10.1155/2016/6151726.
  7. ^ a b Sard 1970, p. 78
  8. ^ Hawking & Ellis 1973, p. 42

Verweise

Weitere Lektüre

Externe Links