Kartesisches Koordinatensystem

Illustration einer kartesischen Koordinatenebene. Vier Punkte sind mit ihren Koordinaten gekennzeichnet und gekennzeichnet: (2, 3) in grün, (–3, 1) in rot, (–1,5, –2,5) in Blau und der Ursprung (0, 0) in lila.

A Kartesisches Koordinatensystem (Vereinigtes Königreich: /kːˈtichzjən/, UNS: /kːrˈtiʒən/) in einem Flugzeug ist ein Koordinatensystem Das gibt jeden an Punkt einzigartig durch ein Paar von numerisch Koordinaten, die die sind unterzeichnet Entfernungen bis zum Punkt von zwei festgelegt aufrecht orientierte Linien, gemessen in gleich Längeneinheit. Jede Referenz Koordinatenlinie wird als a genannt Koordinatenachse oder nur Achse (Plural Äxte) des Systems, und der Punkt, an dem sie sich treffen Ursprung, bei bestelltem Paar (0, 0). Die Koordinaten können auch als die Positionen der Positionen definiert werden senkrechte Projektionen des Punktes auf die beiden Achsen, ausgedrückt als signierte Abstände vom Ursprung.

Man kann das gleiche Prinzip verwenden, um die Position eines beliebigen Punktes in den Punkten anzugeben dreidimensionaler Raum durch drei kartesische Koordinaten, seine signierten Abstände zu drei senkrechten Ebenen (oder gleichzeitig durch seine senkrechte Projektion auf drei senkrechte Linien). Im Algemeinen, n Kartesische Koordinaten (ein Element von real n-Platz) Geben Sie den Punkt in einem an n-Dimensional Euklidischer Raum für jeden Abmessungen n. Diese Koordinaten sind gleich bis zu Schild, zu Entfernungen vom Punkt nach n gegenseitig senkrecht Hyperebenen.

Kartesisches Koordinatensystem mit einem Kreis von Radius 2, der auf rot gekennzeichnet ist. Die Gleichung eines Kreises ist (x − a)² + (y − b)² = r² wo a und b sind die Koordinaten des Zentrums (a, b) und r ist der Radius.

Die Erfindung kartesischer Koordinaten im 17. Jahrhundert von René Descartes (Latinisiert Name: Cartesius) revolutionierte die Mathematik, indem er den ersten systematischen Zusammenhang zwischen stellte Euklidische Geometrie und Algebra. Verwenden des kartesischen Koordinatensystems, geometrische Formen (wie z. Kurven) kann beschrieben werden durch Kartesische Gleichungen: algebraisch Gleichungen die Koordinaten der Punkte einbeziehen, die auf der Form liegen. Zum Beispiel a Kreis von Radius 2, zentriert auf den Ursprung der Ebene, kann als die beschrieben werden einstellen von allen Punkten, deren Koordinaten x und y die Gleichung erfüllen x² + y² = 4.

Kartesische Koordinaten sind die Grundlage von analytische Geometrieund bieten aufschlussreiche geometrische Interpretationen für viele andere Zweige der Mathematik, wie z. Lineare Algebra, Komplexe Analyse, Differentialgeometrie, multivariate Infinitesimalrechnung, Gruppentheorie und mehr. Ein vertrautes Beispiel ist das Konzept der Grafik einer Funktion. Kartesische Koordinaten sind auch wichtige Werkzeuge für die meisten angewandten Disziplinen, die sich mit Geometrie befassen, einschließlich Astronomie, Physik, Ingenieurwesen und viele mehr. Sie sind das am häufigsten verwendete Koordinatensystem in Computergrafik, Computergestütztes geometrisches Design und andere Geometrische Datenverarbeitung.

Geschichte

Das Adjektiv Kartesischer bezieht sich auf die Franzosen Mathematiker und Philosoph René Descartes, der diese Idee 1637 veröffentlichte, als er in ansässig war die Niederlande. Es wurde unabhängig voneinander entdeckt von Pierre de Fermat, der auch in drei Dimensionen arbeitete, obwohl Fermat die Entdeckung nicht veröffentlichte.^[1] Der französische Geistliche Nicole Oresme Gebrauchte Konstruktionen, die kartesischen Koordinaten lange vor der Zeit von Descartes und Fermat ähnelten.^[2]

Sowohl Descartes als auch Fermat verwendeten eine einzelne Achse in ihren Behandlungen und haben eine variable Länge, die in Bezug auf diese Achse gemessen wurde. Das Konzept der Verwendung eines Achsenpaares wurde später nach Descartes eingeführt. La Géométrie wurde 1649 ins Latein übersetzt von Frans Van Schooten und seine Schüler. Diese Kommentatoren führten mehrere Konzepte ein, während sie versuchten, die in Descartes 'Arbeit enthaltenen Ideen zu klären.^[3]

Die Entwicklung des kartesischen Koordinatensystems würde eine grundlegende Rolle bei der Entwicklung des Infinitesimalrechnung durch Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz.^[4] Die zweikoordinierte Beschreibung der Ebene wurde später in das Konzept von verallgemeinert Vektorräume.^[5]

Viele andere Koordinatensysteme wurden seit Descartes entwickelt, wie die Polar Koordinaten für das Flugzeug und das sphärisch und Zylindrische Koordinaten Für dreidimensionale Raum.

Beschreibung

Eine Dimension

Auswahl eines kartesischen Koordinatensystems für einen eindimensionalen Raum-dh für eine geraden Linie-involviert die Auswahl eines Punktes O der Linie (der Ursprung), eine Längeeinheit und eine Orientierung für die Linie. Eine Orientierung wählt aus, von welcher der beiden Halblinien bestimmt werden O ist das Positive und was negativ ist; Wir sagen dann, dass die Linie "orientiert" (oder "Punkte") von der negativen Hälfte in Richtung der positiven Hälfte ist. Dann jeder Punkt P der Linie kann durch ihren Abstand von angegeben werden O, mit einem + oder-Zeichen eingenommen, je nachdem, welche Halblinie enthält P.

Eine Linie mit einem ausgewählten kartesischen System wird a genannt Zahlenlinie. Jede echte Zahl hat einen einzigartigen Ort in der Leitung. Umgekehrt kann jeder Punkt auf der Linie als interpretiert werden Nummer in einem geordneten Kontinuum wie den realen Zahlen.

Zwei Dimensionen

Ein kartesisches Koordinatensystem in zwei Dimensionen (auch als a genannt Rechteckiges Koordinatensystem oder an orthogonales Koordinatensystem^[6]) wird durch eine definiert geordnetes Paar von aufrecht Linien (Achsen), eine einzelne Längeneinheit für beide Achsen und eine Orientierung für jede Achse. Der Punkt, an dem sich die Achsen treffen, wird als Ursprung für beide angenommen, wodurch jede Achse in eine Zahlenlinie verwandelt wird. Für jeden Punkt P, eine Linie wird durchgezogen P Senkrecht zu jeder Achse und die Position, an der sie die Achse trifft, wird als Zahl interpretiert. Die beiden Zahlen in dieser gewählten Reihenfolge sind die Kartesischen Koordinaten von P. Die umgekehrte Konstruktion ermöglicht es, den Punkt zu bestimmen P Angesichts seiner Koordinaten.

Die erste und zweite Koordinaten werden als die genannt Abszisse und die Ordinate von P, beziehungsweise; und der Punkt, an dem sich die Achsen treffen, heißt die Ursprung des Koordinatensystems. Die Koordinaten werden normalerweise als zwei Zahlen in Klammern geschrieben, in dieser Reihenfolge, die durch ein Komma getrennt ist, wie in (3, –10,5). Somit hat der Ursprung Koordinaten (0, 0)und die Punkte auf den positiven halben Achsen, eine Einheit vom Ursprung, haben Koordinaten (1, 0) und (0, 1).

In Mathematik, Physik und Technik wird die erste Achse normalerweise als horizontal definiert und nach rechts ausgerichtet, und die zweite Achse ist vertikal und nach oben ausgerichtet. (In einigen Computergrafik Kontexte, die Ordinatachse kann nach unten ausgerichtet sein.) Der Ursprung wird häufig gekennzeichnet Ound die beiden Koordinaten werden oft durch die Buchstaben bezeichnet X und Y, oder x und y. Die Achsen können dann als die bezeichnet werden X-Axis und Y-Achse. Die Auswahl der Buchstaben stammen aus der ursprünglichen Konvention, die den letzten Teil des Alphabets verwenden soll, um unbekannte Werte anzuzeigen. Der erste Teil des Alphabets wurde verwendet, um bekannte Werte zu bezeichnen.

A Euklidische Ebene mit einem gewählten kartesischen Koordinatensystem wird a genannt Kartesische Ebene. In einer kartesischen Ebene kann man kanonische Vertreter bestimmter geometrischer Figuren definieren, wie die Einheitskreis (mit Radius gleich der Längeeinheit und in der Mitte am Ursprung), die Einheitsquadrat (deren Diagonale Endpunkte bei hat (0, 0) und (1, 1)), das Einheit Hyperbola, usw.

Die beiden Achsen teilen die Ebene in vier rechte Winkel, genannt Quadranten. Die Quadranten können auf verschiedene Weise benannt oder nummeriert werden, aber der Quadrant, in dem alle Koordinaten positiv sind Erster Quadrant.

Wenn die Koordinaten eines Punktes sind (x, y), dann ist es Entfernungen von dem X-Axis und von der Y-Axis sind |y| und |x|, jeweils; wo | ... | bezeichnet die absoluter Wert einer Zahl.

Drei Dimensionen

Ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem mit Herkunft O und Achsenlinien X, Y und Z, orientiert, wie durch die Pfeile gezeigt. Die Zeckenspuren an den Achsen sind eine Längeeinheit voneinander entfernt. Der schwarze Punkt zeigt den Punkt mit Koordinaten x = 2, y = 3, und z = 4, oder (2, 3, 4).

Ein kartesisches Koordinatensystem für einen dreidimensionalen Raum besteht aus einem geordneten Triplett von Linien (die Äxte) die einen gemeinsamen Punkt durchlaufen (die Ursprung), und sind paarweise senkrecht; eine Orientierung für jede Achse; und eine Längeeinheit für alle drei Achsen. Wie im zweidimensionalen Fall wird jede Achse zu einer Zahlenlinie. Für jeden Punkt P des Raums berücksichtigt man eine Hyperebene durch P Senkrecht zu jeder Koordinatenachse und interpretiert den Punkt, an dem diese Hyperebene die Achse als Zahl schneidet. Die kartesischen Koordinaten von P sind diese drei Zahlen in der gewählten Reihenfolge. Die umgekehrte Konstruktion bestimmt den Punkt P Angesichts seiner drei Koordinaten.

Alternativ jede Koordinate eines Punktes P kann als Abstand von genommen werden P an die durch die andere beiden Achsen definierte Hyperebene, wobei das Vorzeichen durch die Ausrichtung der entsprechenden Achse bestimmt wird.

Jedes Achsenpaar definiert a Hyperebene koordinieren. Diese Hyperplanes teilen den Raum in acht Trihedra, genannt Oktanten.

Die Oktanten sind: ${\ displayStyle \ scriptstyle | (+x,+y,+z) | (-x,+y,+z) | (+x,+y, -z) | (-x,+y, -z) | (+x, -y,+z) | (-x, -y,+z) | (+x, -y, -z) | (-x, -y, -z) |}$

Die Koordinaten werden normalerweise als drei Zahlen (oder algebraische Formeln) geschrieben, die von Klammern umgeben und durch Kommas getrennt sind, wie in (3, –2,5, 1) oder (t, u + v, π/2). Somit hat der Ursprung Koordinaten (0, 0, 0)und die Einheitenpunkte auf den drei Achsen sind (100), (0, 1, 0), und (0, 0, 1).

Es gibt keine Standardnamen für die Koordinaten in den drei Achsen (jedoch die Begriffe Abszisse, Ordinate und anwenden werden manchmal verwendet). Die Koordinaten werden oft durch die Buchstaben bezeichnet X, Y, und Z, oder x, y, und z. Die Achsen können dann als die bezeichnet werden X-Achse, Y-Axis und Z-achis. Dann können die Koordinatenhyperplanes als die bezeichnet werden Xy-Flugzeug, Yz-plane und Xz-Flugzeug.

In Mathematik-, Physik- und technischen Kontexten werden die ersten beiden Achsen häufig als horizontal definiert oder dargestellt, wobei die dritte Achse nach oben zeigt. In diesem Fall kann die dritte Koordinate aufgerufen werden Höhe oder Höhe. Die Ausrichtung wird normalerweise so ausgewählt, dass der 90-Grad-Winkel von der ersten Achse bis zur zweiten Achse gegen den Uhrzeigersinn aussieht, wenn er vom Punkt aus gesehen wird (0, 0, 1); eine Konvention, die allgemein genannt wird das Rechte Regel.

Das Koordinatenflächen der kartesischen Koordinaten (x, y, z). Das z-achis ist vertikal und die x-Axis wird grün hervorgehoben. Somit zeigt die rote Hyperebene die Punkte mit x = 1Die blaue Hyperebene zeigt die Punkte mit z = 1und die gelbe Hyperebene zeigt die Punkte mit y = –1. Die drei Oberflächen kreuzen sich an dem Punkt P (als schwarze Kugel gezeigt) mit den kartesischen Koordinaten (1, –1, 1).

Höhere Dimensionen

Da kartesische Koordinaten einzigartig und nicht ambging sind, können die Punkte einer kartesischen Ebene mit Paaren von identifiziert werden reale Nummern; das heißt mit dem kartesisches Produkt $oder$, wo ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ ist der Satz aller reellen Zahlen. Ebenso die Punkte in jedem Euklidischer Raum von Dimension n mit dem identifiziert werden Tupel (Listen) von n reale Nummern; Das heißt, mit dem kartesischen Produkt ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$.

Verallgemeinerungen

Das Konzept der kartesischen Koordinaten verallgemeinert, um Achsen zu ermöglichen, die nicht senkrecht zueinander und/oder unterschiedliche Einheiten entlang jeder Achse sind. In diesem Fall wird jede Koordinate erhalten, indem der Punkt auf eine Achse entlang einer Richtung projiziert wird, die parallel zur anderen Achse ist (oder im Allgemeinen, zu der Hyperebene definiert durch alle anderen Achsen). In einem solchen Schrägkoordinatensystem Die Berechnungen von Entfernungen und Winkeln müssen aus der in Standard -kartesischen Systemen modifiziert werden, und viele Standardformeln (wie die pythagoräische Formel für die Entfernung) gilt nicht (siehe Effine -Ebene).

Notationen und Konventionen

Die kartesischen Koordinaten eines Punktes sind normalerweise in geschrieben Klammern und durch Kommas getrennt, wie in (10, 5) oder (3, 5, 7). Der Ursprung wird oft mit dem Großbuchstaben gekennzeichnet O. In der analytischen Geometrie werden unbekannte oder generische Koordinaten häufig durch die Buchstaben bezeichnet (x, y) im Flugzeug und (x, y, z) im dreidimensionalen Raum. Dieser Brauch stammt aus einer Algebra -Konvention, bei der die Buchstaben am Ende des Alphabets für unbekannte Werte (wie die Koordinaten der Punkte in vielen geometrischen Problemen) und die Buchstaben am Anfang für bestimmte Größen am Anfang verwendet werden.

Diese konventionellen Namen werden häufig in anderen Bereichen wie Physik und Technik verwendet, obwohl andere Buchstaben verwendet werden können. Zum Beispiel in einer Grafik, die zeigt, wie a Druck variiert mit ZeitDie Grafikkoordinaten können bezeichnet werden p und t. Jede Achse wird normalerweise nach der Koordinate benannt, die entlang gemessen wird; Also sagt man das X-Achse, das y-Achse, das Taxen, etc.

Eine weitere gemeinsame Konvention für die Koordinatenbenennung besteht darin, Indexs zu verwenden, wie (x₁, x₂, ..., x_n) für die n Koordinaten in einem n-Dimensionaler Raum, besonders wenn n ist größer als 3 oder nicht spezifiziert. Einige Autoren bevorzugen die Nummerierung (x₀, x₁, ..., x_n–1). Diese Notationen sind besonders vorteilhaft in Computerprogrammierung: durch Speichern der Koordinaten eines Punktes als Array, anstelle einer Aufzeichnung, das Index kann dazu dienen, die Koordinaten zu indizieren.

In mathematischen Abbildungen von zweidimensionalen kartesischen Systemen, der ersten Koordinate (traditionell als die genannt Abszisse) wird entlang a gemessen horizontal Achse, von links nach rechts ausgerichtet. Die zweite Koordinate (die Ordinate) wird dann entlang a gemessen vertikal Achse, normalerweise von unten nach oben ausgerichtet. Kleine Kinder lernen das kartesische System und lernen häufig die Ordnung, die Werte zu lesen, bevor er das zementiert x-,, y-, und z-Achsenkonzepte, indem Sie mit 2D -Mnemonik beginnen (z. x-Axis dann vertikal entlang der y-Achse).^[7]

Computergrafik und BildverarbeitungVerwenden Sie jedoch häufig ein Koordinatensystem mit dem y-Axis orientiert auf dem Computer Display. Diese Konvention entwickelte sich in den 1960er Jahren (oder früher) aus der Art Puffer anzeigen.

Für dreidimensionale Systeme besteht eine Konvention darin, die darzustellen xy-plane horizontal mit dem z-Axis ist hinzugefügt, um die Höhe darzustellen (positiv nach oben). Darüber hinaus gibt es eine Konvention, um die zu orientieren x-Axis zum Betrachter, voreingenommen entweder nach rechts oder links. Wenn ein Diagramm (3D -Projektion oder 2D Perspektive Zeichnung) zeigt die x- und y-Axis horizontal bzw. vertikal, dann die z-Axis sollte angezeigt werden, wie "aus der Seite" zum Betrachter oder der Kamera zeigte. In einem solchen 2D -Diagramm eines 3D -Koordinatensystems die z-Axis würde als Linie oder Strahl nach unten und nach links oder unten und nach rechts zeigen, abhängig vom vermuteten Betrachter oder Kamera Perspektive. In jedem Diagramm oder Diagramm ist die Ausrichtung der drei Achsen insgesamt willkürlich. Die Ausrichtung der Achsen relativ zueinander sollte jedoch immer den entsprechen Rechtsregel, sofern nicht ausdrücklich anders angegeben. Alle Gesetze der Physik und Mathematik nehmen dies an Rechtshändigkeit, was Konsistenz gewährleistet.

Für 3D -Diagramme werden die Namen "Abscissa" und "Ordinate" selten verwendet x und y, beziehungsweise. Wenn sie sind, die z-Coordinate wird manchmal das genannt anwenden. Die Wörter Abszisse, Ordinate und anwenden werden manchmal verwendet, um Koordinatenachsen zu verweisen und nicht auf die Koordinatenwerte.^[6]

Quadranten und Oktanten

Die vier Quadranten eines kartesischen Koordinatensystems

Die Achsen eines zweidimensionalen kartesischen Systems teilen die Ebene in vier unendliche Regionen, genannt Quadranten,^[6] jeweils durch zwei halbe Achsen begrenzt. Diese sind oft vom 1. bis 4. und bezeichnet von römische Zahlen: I (wo die Koordinaten beide positiven Vorzeichen haben), II (wo die Abszisse negativ ist - und die Ordinate positiv +), III (wo sowohl die Abszisse als auch die Ordinate sind -) und IV (Abscissa +, Ordinate -) . Wenn die Äxte nach dem mathematischen Brauch gezeichnet werden, geht die Nummerierung gegen den Uhrzeigersinn Ausgehend von der oberen rechten ("Nordost") Quadrant.

In ähnlicher Weise definiert ein dreidimensionales kartesisches System eine Abteilung des Raums in acht Regionen oder Oktanten,^[6] nach den Anzeichen der Koordinaten der Punkte. Die Konvention, die zur Benennung eines bestimmten Oktanten verwendet wird, besteht darin, seine Zeichen aufzulisten. zum Beispiel, ( + + +) oder ( - + -). Die Verallgemeinerung des Quadranten und Oktanten auf eine willkürliche Anzahl von Dimensionen ist die orthantund ein ähnliches Namenssystem gilt.

Kartesische Formeln für das Flugzeug

Abstand zwischen zwei Punkten

Das Euklidische Entfernung zwischen zwei Punkten des Flugzeugs mit kartesischen Koordinaten ${\ displayStyle (x_ {1}, y_ {1})}$ und ${\ displayStyle (x_ {2}, y_ {2})}$ ist

${\ displayStyle d = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1})^{2}+(y_ {2} -y_ {1})^{2}}}.}$

Dies ist die kartesische Version von Pythagoras 'Theorem. Im dreidimensionalen Raum der Abstand zwischen den Punkten ${\ displayStyle (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$ und ${\ displayStyle (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}$ ist

$oder })^{2}}},},}$

Dies kann durch zwei aufeinanderfolgende Anwendungen des Theorems von Pythagoras erhalten werden.^[8]

Euklidische Transformationen

Das Euklidische Transformationen oder Euklidische Bewegungen sind die (Bijektiv) Zuordnungen der Punkte der Euklidische Ebene für sich selbst, die Entfernungen zwischen Punkten bewahren. Es gibt vier Arten dieser Zuordnungen (auch Isometrien genannt): Übersetzungen, Rotationen, Reflexionen und Gleitreflexionen.^[9]

Übersetzung

Übersetzung Ein Satz von Punkten der Ebene, die die Entfernungen und Richtungen zwischen ihnen erhalten, entspricht dem Hinzufügen eines festen Zahlenpaars (a, b) zu den kartesischen Koordinaten jedes Punktes im Set. Das heißt, wenn die ursprünglichen Koordinaten eines Punktes sind (x, y)nach der Übersetzung werden sie sein

${\ displayStyle (x ', y') = (x+a, y+b).}$

Drehung

Zu drehen eine Figur gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung durch einen Winkel ${\ displayStyle \ theta}$ ist gleichbedeutend mit dem Ersetzen jedes Punkts durch Koordinaten (x,y) durch den Punkt mit Koordinaten (x',y '), wo

${\ displaystyle x '= x \ cos \ theta -y \ sin \ theta}$

${\ displayStyle y '= x \ sin \ theta +y \ cos \ theta.}$

Daher:

$${\ displayStyle (x ', y') = ((x \ cos \ theta -y \ sin \ theta \,), (x \ sin \ theta +y \ cos \ theta \,)).}.}.}.}.}.}.}.}.}.$$

Betrachtung

Wenn (x, y) sind die kartesischen Koordinaten eines Punktes dann ( -x, y) sind die Koordinaten seiner Betrachtung Über die zweite Koordinatenachse (die y-Achse), als ob diese Linie ein Spiegel wäre. Ebenfalls, (x, -y) sind die Koordinaten ihrer Reflexion über die erste Koordinatenachse (die x-Achse). In mehr Allgemeinheit, Reflexion über eine Linie durch den Ursprung, der einen Winkel macht ${\ displayStyle \ theta}$ Mit der X-Achse ist es gleichwertig, jeden Punkt durch Koordinaten zu ersetzen (x, y) durch den Punkt mit Koordinaten (x',y')), wo

${\ displaystyle x '= x \ cos 2 \ theta +y \ sin 2 \ theta}$

${\ displayStyle y '= x \ sin 2 \ theta -y \ cos 2 \ theta.}$

Daher:

$${\ displayStyle (x ', y') = ((x \ cos 2 \ theta +y \ sin 2 \ theta \,), (x \ sin 2 \ theta -y \ cos 2 \ theta \,)).}$$

Gleitreflexion

Eine Gleitreflexion ist die Zusammensetzung einer Reflexion über eine Linie, gefolgt von einer Übersetzung in Richtung dieser Linie. Es ist ersichtlich, dass die Reihenfolge dieser Operationen keine Rolle spielt (die Übersetzung kann zuerst kommen, gefolgt von der Reflexion).

Allgemeine Matrixform der Transformationen

Alle Affine -Transformationen der Ebene kann auf einheitliche Weise unter Verwendung von Matrizen beschrieben werden. Zu diesem Zweck die Koordinaten ${\ displayStyle (x, y)}$ eines Punktes werden üblicherweise als die dargestellt Säulenmatrix ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}.}.$ Das Ergebnis ${\ displayStyle (x ', y')}$ eine affine Transformation auf einen Punkt anzuwenden ${\ displayStyle (x, y)}$ wird durch die Formel gegeben

$oder$

wo

$oder$

ist ein 2 × 2 Matrix und ${\ displaystyle b = {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \ end {pmatrix}}}$ ist eine Spaltenmatrix.^[10] Das ist,

${\ displaystyle x '= xa_ {1,1}+ya_ {1,1}+b_ {1}}$

${\ displayStyle y '= xa_ {2,1}+ya_ {2,2}+b_ {2}.}.$

Unter den affinen Transformationen die Euklidische Transformationen sind durch die Tatsache gekennzeichnet, dass die Matrix ${\ displayStyle a}$ ist senkrecht; Das heißt, seine Spalten sind orthogonale Vektoren von Euklidische Norm eins oder explizit,

${\ displayStyle a_ {1,1} a_ {1,2}+a_ {2,1} a_ {2,2} = 0}$

und

${\ displayStyle a_ {1,1}^{2}+a_ {2,1}^{2} = a_ {1,2}^{2}+a_ {2,2}^{2} = 1.}$

Dies ist gleichbedeutend damit, das zu sagen A mal seine Transponieren ist der Identitätsmatrix. Wenn diese Bedingungen nicht gelten, beschreibt die Formel einen allgemeineren Affine -Transformation.

Die Transformation ist eine Übersetzung dann und nur dann, wenn A ist der Identitätsmatrix. Die Transformation ist eine Rotation um einen Punkt, wenn und nur wenn A ist ein Rotationsmatrix, was bedeutet, dass es orthogonal ist und

${\ displayStyle a_ {1,1} a_ {2,2} -a_ {2,1} a_ {1,2} = 1.}$

Eine Reflexions- oder Gleitreflexion wird erhalten, wenn,

${\ displayStyle a_ {1,1} a_ {2,2} -a_ {2,1} a_ {1,2} =-1.}$

Unter der Annahme, dass Übersetzungen nicht verwendet werden (dh,, ${\ displayStyle b_ {1} = b_ {2} = 0}$) Transformationen können sein zusammengesetzt durch einfaches Multiplizieren der zugehörigen Transformationsmatrizen. Im allgemeinen Fall ist es nützlich, die zu verwenden erweiterte Matrix der Transformation; das heißt, die Transformationsformel neu zu schreiben

$oder$

wo

${\ displayStyle a '= {\ begin {pmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} & b_ {1} \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} & b_ {2} \\ 0 & 0 & 1 \ & 1 \ Ende {pmatrix}}.}$

Mit diesem Trick wird die Zusammensetzung von Affine -Transformationen durch Multiplizieren der erweiterten Matrizen erhalten.

Affine -Transformation

Auswirkung der Anwendung verschiedener 2D -Affine -Transformationsmatrizen auf ein Einheitsquadrat (Reflexionen sind Sonderfälle von Skalierung)

Affine -Transformationen des Euklidische Ebene sind Transformationen, die Linien zu Linien kartieren, aber Entfernungen und Winkel ändern können. Wie im vorhergehenden Abschnitt gesagt, können sie mit erweiterten Matrizen dargestellt werden:

$oder }} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ 1 \ end {pmatrix}.}$

Die euklidischen Transformationen sind die affine Transformationen, so dass die 2 × 2 -Matrix der ${\ displayStyle a_ {i, j}}$ ist senkrecht.

Die erweiterte Matrix, die die darstellt Komposition von zwei affine Transformationen wird durch Multiplizieren ihrer erweiterten Matrizen erhalten.

Einige affine Transformationen, die keine euklidischen Transformationen sind, haben bestimmte Namen erhalten.

Skalierung

Ein Beispiel für eine affine Transformation, die nicht euklidisch ist, wird durch Skalierung gegeben. Um eine Zahl größer oder kleiner zu machen, ist es gleichwertig, die kartesischen Koordinaten jedes Punktes mit derselben positiven Zahl zu multiplizieren m. Wenn (x, y) sind die Koordinaten eines Punktes in der ursprünglichen Abbildung, der entsprechende Punkt in der skalierten Figur hat Koordinaten

${\ displayStyle (x ', y') = (mx, my).}$

Wenn m ist größer als 1, die Figur wird größer; wenn m ist zwischen 0 und 1, es wird kleiner.

Scherung

A Schurtransformation drückt die Oberseite eines quadratischen Seitwärts und bildet ein Parallelogramm. Horizontales Scheren wird definiert durch:

${\ displayStyle (x ', y') = (x+ys, y)}$

Das Scheren kann auch vertikal angewendet werden:

${\ displayStyle (x ', y') = (x, xs+y)}$

Orientierung und Händigkeit

In zwei Dimensionen

Das Rechtsregel

Reparieren oder Auswahl der x-Axis bestimmt die y-Axis bis zur Richtung. Nämlich das y-Axis ist notwendigerweise die aufrecht zum x-Axis durch den Punkt mit 0 auf dem markiert x-Achse. Es gibt jedoch die Wahl, welche der beiden halben Linien auf dem senkrechten Senkrecht als positiv und als negativ ausgewiesen sind. Jede dieser beiden Entscheidungen bestimmt eine andere Ausrichtung (auch genannt Händigkeit) des kartesischen Flugzeugs.

Die übliche Art, die Ebene mit dem Positiven zu orientieren x-Axis zeigt nach rechts und positiv y-Axis zeigt (und die x-Axis ist die "erste" und die y-Axis die "zweite" Achse) wird als die als die angesehen positiv oder Standard Orientierung, auch die genannt Rechtshändig Orientierung.

Eine häufig verwendete Mnemonikin zur Definition der positiven Orientierung ist die Rechtsregel. Die Finger zeigen eine etwas geschlossene rechte Hand im Flugzeug, wobei der Daumen nach oben zeigt, von der x-Axis zum y-Axis, in einem positiv orientierten Koordinatensystem.

Die andere Art, die Ebene zu orientieren linke HandregelDie linke Hand in das Flugzeug platzieren, wobei der Daumen nach oben zeigt.

Wenn Sie den Daumen vom Ursprung entlang einer Achse in Richtung positiv richten, zeigt die Krümmung der Finger eine positive Rotation entlang dieser Achse an.

Unabhängig von der Regel, die zur Ausrichtung der Ebene verwendet wird, erhalten Sie die Ausrichtung. Durch das Schalten einer Achse wird die Orientierung umgekehrt, aber das Schalten wird jedoch die Ausrichtung unverändert.

In drei Dimensionen

Abb. 7-Die linkshändige Orientierung ist links und rechts rechts angezeigt.

Abb. 8-Das rechtshändige kartesische Koordinatensystem, das die Koordinatenebenen angibt.

Einmal der x- und y-Axes werden angegeben, sie bestimmen die Linie entlang der die z-Axis sollte lügen, aber es gibt zwei mögliche Orientierung für diese Linie. Die beiden möglichen Koordinatensysteme, die resultieren, werden als "Rechtshänder" und "linkshändig" bezeichnet. Die Standardausrichtung, wo die xy-plane ist horizontal und die z-Axis zeigt (und die x- und die y-Axis bildet ein positiv orientiertes zweidimensionales Koordinatensystem in der xy-plane, wenn beobachtet von Oben das xy-plane) heißt Rechtshändig oder positiv.

3D -kartesische Koordinatenhändigkeit

Der Name leitet sich aus dem ab Rechtsregel. Wenn die Zeigefinger der rechten Hand ist nach vorne gerichtet, die Mittelfinger in einem rechten Winkel nach innen gebogen, und die Daumen In einem rechten Winkel nach beiden geben die drei Finger die relative Ausrichtung der an x-,, y-, und z-Axes in a Rechtshändig System. Der Daumen zeigt das an x-Axis, der Indexfinger der y-Axis und der Mittelfinger der z-Achse. Umgekehrt zu einem linkshändigen System zu einem linken Hand führt zu.

Abbildung 7 zeigt ein links und ein rechtshändiges Koordinatensystem. Da ein dreidimensionales Objekt auf dem zweidimensionalen Bildschirm, Verzerrungs- und Mehrdeutigkeitsergebnis dargestellt wird. Die Achse, die nach unten (und rechts) zeigt gegenüber Der Beobachter, während die "mittlere" Achse zeigen soll ein Weg vom Beobachter. Der rote Kreis ist parallel zur horizontalen xy-plane und zeigt eine Rotation aus dem an x-Axis zum y-Axis (in beiden Fällen). Daher geht der rote Pfeil vorbei vor dem das z-Achse.

Abbildung 8 ist ein weiterer Versuch, ein rechtshändiges Koordinatensystem darzustellen. Auch hier gibt es eine Unklarheit, die durch Projekte des dreidimensionalen Koordinatensystems in die Ebene verursacht wird. Viele Beobachter sehen Abbildung 8 als "Ein- und Ausschalten" zwischen einem konvexen Würfel und einer konkaven "Ecke". Dies entspricht den beiden möglichen Orientierungen des Raums. Die Figur als konvex zu sehen, gibt ein linkshändiges Koordinatensystem. Somit ist die "korrekte" Art, Abbildung 8 anzusehen x-Axis als Zeigen gegenüber der Beobachter und so eine konkave Ecke.

Einsatz eines Vektors auf der Standardbasis darstellen

Ein Punkt im Raum in einem kartesischen Koordinatensystem kann auch durch eine Position dargestellt werden Vektor, was als Pfeil angesehen werden kann, der aus dem Ursprung des Koordinatensystems auf den Punkt zeigt.^[11] Wenn die Koordinaten räumliche Positionen (Verschiebungen) darstellen, ist es üblich, den Vektor vom Ursprung bis zum Interesse darzustellen ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$. In zwei Dimensionen kann der Vektor vom Ursprung bis zum Punkt mit kartesischen Koordinaten (x, y) geschrieben werden als:

${\ displaystyle \ mathbf {r} = x \ mathbf {i} +y \ mathbf {j},},}$

wo $oder$ und $oder$ sind Einheitsvektoren in Richtung der x-Axis und y-achis, im Allgemeinen als die bezeichnet Standardbasis (In einigen Anwendungsbereichen können diese auch als als bezeichnet werden Verstern). In ähnlicher Weise in drei Dimensionen der Vektor vom Ursprung bis zum Punkt mit kartesischen Koordinaten ${\ displayStyle (x, y, z)}$ kann geschrieben werden als:^[12]

${\ displaystyle \ mathbf {r} = x \ mathbf {i} +y \ mathbf {j} +z \ mathbf {k},}$

wo $oder$ $oder$ und $oder$

Es gibt kein natürlich Interpretation von Multiplizieren von Vektoren, um einen anderen Vektor zu erhalten, der in allen Dimensionen arbeitet. Es gibt jedoch eine Möglichkeit zu verwenden komplexe Zahlen eine solche Multiplikation liefern. Identifizieren Sie in einer zweidimensionalen kartesischen Ebene den Punkt mit Koordinaten (x, y) mit der komplexen Zahl z = x + iy. Hier, i ist der imaginäre Einheit und wird mit dem Punkt mit Koordinaten identifiziert (0, 1), so ist es nicht der Einheitsvektor in Richtung der x-Achse. Da die komplexen Zahlen multipliziert werden können, gibt diese Identifikation eine Möglichkeit, Vektoren zu "multiplizieren". In einem dreidimensionalen kartesischen Raum kann eine ähnliche Identifikation mit einer Teilmenge der Quaternionen.

Anwendungen

Kartesische Koordinaten sind eine Abstraktion mit einer Vielzahl möglicher Anwendungen in der realen Welt. Drei konstruktive Schritte sind jedoch an Überlagerungskoordinaten zu einer Problemanwendung beteiligt.

1. Entfernungseinheiten müssen entschieden werden, die räumliche Größe zu definieren, die durch die als Koordinaten verwendeten Zahlen dargestellt werden.
2. Ein Ursprung muss einem bestimmten räumlichen Standort oder Wahrzeichen zugeordnet werden, und
3. Die Ausrichtung der Achsen muss unter Verwendung der verfügbaren Richtungsstände für alle bis auf eine Achse definiert werden.

Betrachten Sie als Beispiel über alle Punkte auf der Erde (dh Geospatial 3D). Kilometer sind eine gute Auswahl an Einheiten, da die ursprüngliche Definition des Kilometers Geospatial war, mit 10.000 km Ausgleich des Oberflächenabstands vom Äquator zum Nordpol. Basierend auf der Symmetrie deutet das Gravitationszentrum der Erde auf eine natürliche Platzierung des Ursprungs (die über Satellitenbahnen erfasst werden kann). Die Achse der Erdrotation liefert eine natürliche Orientierung für die X, Y, und Z Äxte, stark mit "Up vs. Down" verbunden, so positiv Z Kann die Richtung vom Geocenter zum Nordpol einnehmen. Ein Ort am Äquator ist erforderlich, um die zu definieren X-Axis und die Nullmeridian fällt als Referenzorientierung heraus, also die X-Axis nimmt die Orientierung vom Geocenter auf 0 Grad Längengrad, 0 Grad Breite. Beachten X und Z, das YDie Achse wird durch die ersten beiden Auswahlmöglichkeiten bestimmt. Um der rechten Regel zu befolgen, die Y-Axis muss vom Geocenter auf darauf hinweisen 90 Grad Längengrad, 0 Grad Breite. Aus einer Länge von –73,985656Grad, ein Breitengrad 40.748433Gradund Erdradius von 40.000/2πKM, und wandelt sich von kugelförmiger zu kartesischen Koordinaten um, man kann die geozentrischen Koordinaten des Empire State Building abschätzen. (x, y, z) = ((1,330,53 km, 4.635,75 km, 4,155,46 km). Die GPS -Navigation beruht auf solchen geozentrischen Koordinaten.

Bei Ingenieurprojekten ist die Einigung über die Definition von Koordinaten eine entscheidende Grundlage. Man kann nicht davon ausgehen, dass Koordinaten für eine neuartige Anwendung vordefiniert werden. Kenntnisse darüber, wie ein Koordinatensystem errichtet wird, bei dem zuvor kein solches Koordinatensystem für die Anwendung von René Descartes 'Denken erforderlich ist.

Während räumliche Anwendungen identische Einheiten entlang aller Achsen in geschäftlichen und wissenschaftlichen Anwendungen verwenden, kann jede Achse unterschiedlich sein Maßeinheiten damit verbunden (wie Kilogramm, Sekunden, Pfund usw.). Obwohl vier- und höherdimensionale Räume schwer zu visualisieren sind, kann die Algebra der kartesischen Koordinaten relativ leicht auf vier oder mehr Variablen verlängert werden, so dass bestimmte Berechnungen, die viele Variablen betreffen, durchgeführt werden können. (Diese Art von algebraischer Erweiterung wird verwendet, um die Geometrie höherdimensionaler Räume zu definieren.) Umgekehrt ist es häufig hilfreich, die Geometrie kartesischer Koordinaten in zwei oder drei Dimensionen zu verwenden, um algebraische Beziehungen zwischen zwei oder drei von vielen nicht zu visualisieren -Spatiale Variablen.

Das Grafik einer Funktion oder Beziehung ist die Menge aller Punkte erfüllt diese Funktion oder Beziehung. Für eine Funktion einer Variablen, f, die Menge aller Punkte (x, y), wo y = f(x) ist die Grafik der Funktion f. Für eine Funktion g von zwei Variablen, der Satz aller Punkte (x, y, z), wo z = g(x, y) ist die Grafik der Funktion g. Eine Skizze des Graphen einer solchen Funktion oder Beziehung würde aus allen hervorstechenden Teilen der Funktion oder Beziehung bestehen, die ihren Verwandten enthalten würden Extrema, es ist Konkavität und Beugungspunkte, alle Punkte der Diskontinuität und seines Endverhaltens. Alle diese Begriffe sind in Kalkül besser definiert. Solche Diagramme sind in der Berechnung nützlich, um die Art und das Verhalten einer Funktion oder Beziehung zu verstehen.

Siehe auch

• Horizontal und vertikal
• Jones Diagramm, was eher vier Variablen als zwei darstellt
• Orthogonale Koordinaten
• Polarkoordinatensystem
• Reguläres Netz
• Kugelkoordinatensystem

Verweise

Quellen

• Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), Geometrie, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6
• Burton, David M. (2011), Die Geschichte der Mathematik/einer Einführung (7. Aufl.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6
• Smart, James R. (1998), Moderne Geometrien (5. Aufl.), Pacific Grove: Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-35188-5

Weitere Lektüre

• Descartes, René (2001). Diskurs über Methode, Optik, Geometrie und Meteorologie. Übersetzt von Paul J. Oscamp (überarbeitete Ausgabe). Indianapolis, in: Hackett Publishing. ISBN 978-0-87220-567-3. OCLC 488633510.
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematisches Handbuch für Wissenschaftler und Ingenieure (1. Aufl.). New York: McGraw-Hill. pp.55–79. Lccn 59-14456. OCLC 19959906.
• Margenau h, Murphy GM (1956). Die Mathematik der Physik und Chemie. New York: D. Van Nostrand. Lccn 55-10911.
• Moon P, Spencer de (1988). "Rechteckige Koordinaten (x, y, z)". Feldtheoriehandbuch, einschließlich Koordinatensysteme, Differentialgleichungen und deren Lösungen (korrigiert 2., 3. Druck Ed.).New York: Springer-Verlag.S. 9–11 (Tabelle 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.
• Morse PM, Feshbach h (1953). Methoden der theoretischen Physik, Teil I.. New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-043316-8. Lccn 52-11515.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. Lccn 67-25285.

Externe Links

• Kartesisches Koordinatensystem
• MathWorld Beschreibung kartesischer Koordinaten
• Koordinatenkonverter - Konvertiert zwischen polaren, kartesischen und sphärischen Koordinaten
• Koordinaten eines Punktes Interaktives Tool zur Untersuchung der Koordinaten eines Punktes
• Open Source JavaScript -Klasse für 2D/3D -kartesische Koordinatensystemmanipulation