Kardinalzahl

A Bijektive Funktion, f: XY, von set X zu setzen Y zeigt, dass die Sets dieselbe Kardinalität haben, in diesem Fall gleich der Kardinalzahl 4.
Aleph-Null, der kleinste unendliche Kardinal

Im Mathematik, Kardinalzahlen, oder Kardinäle Kurz gesagt sind eine Verallgemeinerung der natürliche Zahlen verwendet, um die zu messen Kardinalität (Größe von Sets. Die Kardinalität von a endliche Menge ist eine natürliche Zahl: Die Anzahl der Elemente im Set. Das transfinite Kardinalnummern, oft bezeichnet die Verwendung der hebräisch Symbol (Aleph), gefolgt von einem Index, die Größen von beschreiben Unendliche Sets.

Kardinalität wird in Bezug auf definiert Bijektive Funktionen. Zwei Sets haben die gleiche Kardinalität dann und nur dann, wenn, da ist ein Eins-zu-eins-Korrespondenz (Bijection) zwischen den Elementen der beiden Sätze. Bei endlichen Sätzen stimmt dies mit dem intuitiven Begriff der Größe überein. Bei unendlichen Mengen ist das Verhalten komplexer. Ein grundlegender Theorem aufgrund Georg Cantor zeigt, dass unendliche Sets unterschiedliche Kardinalitäten und insbesondere die Kardinalität des Satzes von haben können reale Nummern ist größer als die Kardinalität des Satzes von natürliche Zahlen. Es ist auch für a möglich echte Teilmenge von einem unendlichen Satz, der die gleiche Kardinalität wie das ursprüngliche Set aufweist - etwas, das bei den richtigen Teilmengen von endlichen Sätzen nicht passieren kann.

Es gibt eine transfinite Abfolge von Kardinalnummern:

Diese Sequenz beginnt mit der natürliche Zahlen einschließlich null (endliche Kardinäle), gefolgt von der Aleph -Zahlen (unendliche Kardinäle von Geordnete Sets). Die Aleph -Zahlen werden durch indiziert von Ordnungszahlen. Unter der Annahme der Axiom der Wahl, Dies Transfinite Sequenz Enthält jede Kardinalzahl. Wenn man lehnt ab Das Axiom, die Situation ist komplizierter, mit zusätzlichen unendlichen Kardinälen, die keine Alephs sind.

Kardinalität wird als Teil von für sich selbst untersucht Mengenlehre. Es ist auch ein Tool, das in Zweigen der Mathematik verwendet wird, einschließlich Modelltheorie, Kombinatorik, Zusammenfassung Algebra und Mathematische Analyse. Im Kategoriestheorie, die Kardinalnummern bilden a Skelett des Kategorie von Sets.

Geschichte

Der Begriff der Kardinalität wurde, wie jetzt verstanden, von formuliert Georg Cantor, der Urheber von Mengenlehre1874–1884. Kardinalität kann verwendet werden, um einen Aspekt endlicher Sets zu vergleichen. Zum Beispiel sind die Sets {1,2,3} und {4,5,6} nicht gleich, aber haben das Gleiche Kardinalität, nämlich drei. Dies wird durch die Existenz von a festgestellt Bijection (d. H. Eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz) zwischen den beiden Sätzen, wie z. B. der Korrespondenz (1 → 4, 2 → 5, 3 → 6}.

Cantor wandte sein Konzept der Bijektion auf unendliche Sets an[1] (Zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen N = {0, 1, 2, 3, ...}). So rief er alle Sets an, die eine Bijection mit hatten N renumerable (zählich unendlich) Sätze, die alle die gleiche Kardinalnummer teilen. Diese Kardinalzahl heißt , Aleph-Null. Er nannte die Kardinalzahl von unendlichen Sätzen Transfinite Kardinalnummern.

Cantor hat das bewiesen Unbundierte Untergruppe von N hat die gleiche Kardinalität wie N, obwohl dies gegen Intuition zu sein scheint. Er hat auch bewiesen, dass das Set von allen bestellte Paare von natürlichen Zahlen ist reneulich; Dies impliziert, dass der Satz von allen Rationale Zahlen ist auch renumerierbar, da jeder Rationale durch zwei Ganzzahlen dargestellt werden kann. Er hat später bewiesen, dass das Set aller real Algebraische Zahlen ist auch renumerierbar. Jede echte algebraische Zahl z kann als endliche Folge von Ganzzahlen codiert werden, die die Koeffizienten in der Polynomgleichung sind, deren Lösung, d. H. Das geordnete N-Tupel (a0, a1, ..., an), aiZ zusammen mit einem Paar Rationals (b0, b1) so dass z ist die einzigartige Wurzel des Polynoms mit Koeffizienten (a0, a1, ..., an) das liegt in der Intervall (b0, b1).

In seiner Zeitung von 1874 "Auf einer Eigenschaft der Sammlung aller realen algebraischen Zahlen", Cantor hat bewiesen, dass es Kardinalnummern höherer Ordnung gibt, indem er zeigt, dass die reelle Anzahl von Kardinalität größer ist als die von N. Sein Beweis verwendete einen Streit mit verschachtelte IntervalleAber in einem Papier von 1891 erwies er sich mit seinem genialen und viel einfacheren Ergebnis dasselbe Ergebnis diagonales Argument. Die neue Kardinalzahl der reellen Zahlen wird als die genannt Kardinalität des Kontinuums und Cantor benutzte das Symbol dafür.

Cantor entwickelte auch einen großen Teil der allgemeinen Theorie der Kardinalzahlen; Er hat bewiesen, dass es eine kleinste transfinite Kardinalzahl gibt (, Aleph-Null), und dass für jede Kardinalzahl einen nächsten Kardinal vorhanden ist

Seine Kontinuumshypothese ist der Vorschlag, dass die Kardinalität von der Reihe von reellen Zahlen ist der gleiche wie . Es wurde festgestellt, dass diese Hypothese unabhängig von den Standard -Axiomen der mathematischen Set -Theorie ist; Es kann weder nach den Standardannahmen bewiesen noch widerlegt werden.

Motivation

Im informellen Gebrauch ist eine Kardinalzahl das, was normalerweise als als bezeichnet wird Zählzahl, vorausgesetzt, 0 sind enthalten: 0, 1, 2, .... Sie können mit dem identifiziert werden natürliche Zahlen Beginnend mit 0. Die Zählzahlen sind genau das, was formell als die definiert werden kann endlich Kardinalzahlen. Unendliche Kardinäle treten nur in Mathematik auf höherer Ebene auf und treten nur auf Logik.

Formaler kann eine Zahl ungleich Null für zwei Zwecke verwendet werden: Um die Größe eines Satzes zu beschreiben oder die Position eines Elements in einer Sequenz zu beschreiben. Bei endlichen Sätzen und Sequenzen ist leicht zu erkennen, dass diese beiden Vorstellungen übereinstimmen, da wir für jede Zahl, die eine Position in einer Sequenz beschreibt, einen Satz erstellen können, der genau die richtige Größe hat. Zum Beispiel beschreibt 3 die Position von 'C' in der Sequenz <'A', 'B', 'C', 'D', ...>, und wir können den Satz {a, b, c} konstruieren. das hat 3 Elemente.

Im Umgang mit dem Umgang mit Unendliche SetsEs ist wichtig, zwischen den beiden zu unterscheiden, da die beiden Begriffe bei unendlichen Mengen tatsächlich unterschiedlich sind. Die Berücksichtigung des Positionsaspekts führt zu Ordnungszahlen, während der Größenaspekt durch die hier beschriebenen Kardinalzahlen verallgemeinert wird.

Die Intuition hinter der formalen Definition von Kardinal ist die Konstruktion eines Begriffs der relativen Größe oder "Größe eines Satzes", ohne auf die Art von Mitgliedern zu Bezug auf die Mitglieder, die sie hat. Für endliche Sets ist dies einfach; Man zählt einfach die Anzahl der Elemente, die ein Set hat. Um die Größen größerer Sätze zu vergleichen, ist es notwendig, raffiniertere Begriffe anzusprechen.

Ein Satz Y ist mindestens so groß wie ein Satz X Wenn es eine gibt injektiv Kartierung aus den Elementen von X zu den Elementen von Y. Eine Injektivzuordnung identifiziert jedes Element des Satzes X mit einem einzigartigen Element des Satzes Y. Dies ist am leichtesten an einem Beispiel zu verstehen. Angenommen, wir haben die Sets X = {1,2,3} und Y = {a, b, c, d}, und dann würden wir beobachten, dass es eine Zuordnung gibt:

1 → a
2 → b
3 → c

das ist injektiv und schließe damit das Y hat Kardinalität größer oder gleich X. Das Element D hat keine Elementzuordnung, aber dies ist zulässig, da wir nur eine Injektivzuordnung und nicht unbedingt ein Injektiv erfordern und auf zu Kartierung. Der Vorteil dieser Vorstellung besteht darin, dass sie auf unendliche Sets ausgedehnt werden kann.

Wir können dies dann auf eine Beziehung im Gleichstellungsstil erweitern. Zwei Sets X und Y sollen dasselbe haben Kardinalität Wenn es vorhanden ist a Bijection zwischen X und Y. Bis zum Schroeder -Bernstein TheoremDies entspricht dem Sein beide eine Injektivzuordnung von X zu Y, und eine Injektivzuordnung von Y zu X. Wir schreiben dann |X| = |Y|. Die Kardinalzahl von X selbst wird oft als die geringste Ordinal definiert a mit |a| = |X|.[2] Dies nennt man die Von Neumann Cardinal Asendment; Damit diese Definition sinnvoll ist, muss bewiesen werden, dass jeder Satz die gleiche Kardinalität hat wie etwas Ordinal; Diese Aussage ist die Gutes Prinzip. Es ist jedoch möglich, die relative Kardinalität von Mengen zu diskutieren, ohne Objekte explizit Namen zuzuweisen.

Das klassische Beispiel ist das des unendlichen Hotelparadoxons, auch genannt Hilberts Paradox des Grand Hotel. Angenommen, es gibt einen Gasthüter in einem Hotel mit einer unendlichen Anzahl von Zimmern. Das Hotel ist voll und dann kommt ein neuer Gast an. Es ist möglich, den zusätzlichen Gast zu passen, indem Sie den Gast, der in Raum 1 war, in Raum 2, den Gast in Raum 2, in Raum 3 und so weiter gefragt, um Raum 1 frei zu lassen. Wir können explizit ein Segment dieser Zuordnung schreiben:

1 → 2
2 → 3
3 → 4
...
nn + 1
...

Mit dieser Aufgabe können wir sehen, dass der Satz {1,2,3, ...} die gleiche Kardinalität wie der Satz {2,3,4, ...} hat gezeigt. Dies motiviert die Definition eines unendlichen Satzes, der ein Satz ist, der eine ordnungsgemäße Teilmenge derselben Kardinalität hat (d. H. A. Dedekind-infinites Set); In diesem Fall ist {2,3,4, ...} eine ordnungsgemäße Teilmenge von {1,2,3, ...}.

Wenn man diese großen Objekte berücksichtigt, möchte man möglicherweise auch sehen, ob der Begriff der Zählung der Reihenfolge mit dem von Cardinal zusammenfasst, der oben für diese unendlichen Sätze definiert ist. Es kommt vor, dass es nicht tut; Wenn wir das obige Beispiel berücksichtigen, können wir sehen, dass es die gleiche Kardinalität wie das unendliche Set haben muss, mit dem wir begonnen haben, wenn ein Objekt "größer als unendlich" existiert. Es ist möglich, einen anderen formalen Begriff für die Zahl zu verwenden, genannt OrdinaleBasierend auf den Ideen des Zählens und Betrachtens jeder Nummer und wir stellen fest, dass die Vorstellungen von Kardinalität und Ordnlichkeit unterschiedlich sind, sobald wir uns aus den endlichen Zahlen herausziehen.

Es kann bewiesen werden, dass die Kardinalität der reale Nummern ist größer als die der gerade beschriebenen natürlichen Zahlen. Dies kann mithilfe der visuellen Visualisierung Cantors diagonales Argument; Klassische Fragen der Kardinalität (zum Beispiel die Kontinuumshypothese) befassen sich mit der Entdeckung, ob zwischen einigen anderen unendlichen Kardinälen ein Kardinal besteht. In jüngerer Zeit haben Mathematiker die Eigenschaften immer größerer Kardinäle beschrieben.

Da Kardinalität ein so häufiges Konzept in der Mathematik ist, werden verschiedene Namen verwendet. Gleichheit der Kardinalität wird manchmal als bezeichnet Ausrüstung, Ausrüstung, oder Äquinumerosität. Es wird daher gesagt, dass zwei Sätze mit der gleichen Kardinalität jeweils sind Equipotent, ausrüstet, oder äquinumisch.

Formale Definition

Formell unter Annahme des Axiom der Wahl, die Kardinalität eines Satzes X ist das Mindeste Ordinalzahl α so, dass es eine Bijektion zwischen besteht X und α. Diese Definition ist als die bekannt Von Neumann Cardinal Asendment. Wenn das Axiom der Wahl nicht angenommen wird, ist ein anderer Ansatz erforderlich. Die älteste Definition der Kardinalität eines Satzes X (implizit in Cantor und explizit in Frege und Principia Mathematica) ist wie die Klasse [X] aller Sätze, die gleichrangig sind mit X. Dies funktioniert nicht in ZFC oder andere verwandte Systeme von Axiomatische Set -Theorie weil wenn X ist nicht leer, diese Sammlung ist zu groß, um ein Satz zu sein. In der Tat für X ≠ ∅ Es gibt eine Injektion aus dem Universum in [X] durch Abbildung eines Satzes m zu {m} × Xund so durch die Axiom der Größe der Größe, [X] ist eine richtige Klasse. Die Definition funktioniert jedoch in Typentheorie und in Neufundamente und verwandte Systeme. Wenn wir jedoch von dieser Klasse auf die Equinumous einschränken X das hat am wenigsten Rangdann wird es funktionieren (dies ist ein Trick aufgrund Dana Scott:[3] Es funktioniert, weil die Sammlung von Objekten mit einem bestimmten Rang ein Satz ist).

Von Neumann-Kardinalzuordnung impliziert, dass die Kardinalzahl eines endlichen Satzes die gemeinsame Ordnungszahl aller möglichen Bestellungen dieses Satzes ist, und die Kardinal- und Ordinalarithmetik (Addition, Multiplikation, Leistung, ordnungsgemäße Subtraktion) geben dieselben Antworten auf Finite an. Zahlen. Sie unterscheiden sich jedoch für unendliche Zahlen. Zum Beispiel, in Ordinalarithmetik während in der Kardinalarithmetik, obwohl die von Neumann -Auftrag . Andererseits impliziert Scotts Trick, dass die Kardinalzahl 0 ist , was auch die Ordnungszahl 1 ist, und dies kann verwirrend sein. Ein möglicher Kompromiss (um die Ausrichtung der endlichen Arithmetik auszunutzen und gleichzeitig das Abhängigkeit von dem Axiom der Wahl und der Verwirrung bei unendlicher Arithmetik zu vermeiden), besteht darin Equipotent zu den richtigen Teilmengen) und Scotts Trick für die Kardinalnummern anderer Sätze zu verwenden.

Formal ist die Reihenfolge unter den Kardinalnummern wie folgt definiert: |X| ≤ |Y| bedeutet, dass es eine gibt injektiv Funktion von X zu Y. Das Cantor -Bernstein -Schroeder -Theorem stellt fest, dass wenn |X| ≤ |Y| und |Y| ≤ |X| dann |X| = |Y|. Das Axiom der Wahl entspricht der Aussage, die zwei Sätze gegeben hat X und Yentweder |X| ≤ |Y| oder |Y| ≤ |X|.[4][5]

Ein Satz X ist Dedekind-infinite Wenn es vorhanden ist a echte Teilmenge Y von X mit |X| = |Y| und Dedekind-Finite Wenn eine solche Untergruppe nicht existiert. Das endlich Kardinäle sind nur die natürliche Zahlenin dem Sinne, dass ein Satz X ist endlich, wenn und nur wenn |X| = |n| = n für eine natürliche Zahl n. Jeder andere Satz ist unendlich.

Unter der Annahme des Axioms der Wahl kann bewiesen werden, dass die Dedekind -Begriffe den Standards entsprechen. Es kann auch nachgewiesen werden, dass der Kardinal (Aleph Null oder Aleph-0, wo Aleph der erste Buchstabe in der ist Hebräisch Alphabet, repräsentiert ) der natürlichen Zahlen ist der kleinste unendliche Kardinal (d. H. Jeder unendliche Satz hat eine Untergruppe von Kardinalität ). Der nächste größere Kardinal wird mit bezeichnet durch , usw. Für jeden Ordinal- α gibt es eine Kardinalzahl und diese Liste erschöpfen alle unendlichen Kardinalnummern.

Kardinalarithmetik

Wir können definieren Arithmetik Operationen zu Kardinalnummern, die die gewöhnlichen Operationen für natürliche Zahlen verallgemeinern. Es kann gezeigt werden, dass diese Operationen für endliche Kardinäle mit den üblichen Operationen für natürliche Zahlen übereinstimmen. Darüber hinaus haben diese Operationen viele Eigenschaften mit gewöhnlicher Arithmetik.

Nachfolger Kardinal

Wenn das Axiom der Wahl gilt, hat jeder Kardinal κ einen Nachfolger, der κ bezeichnet wird+, wo κ+ > κ und es gibt keine Kardinäle zwischen κ und seinem Nachfolger. (Ohne das Axiom der Wahl, verwenden Sie Hartogs 'TheoremEs kann gezeigt werden, dass für jede Kardinalzahl κ ein minimales Kardinal κ vorhanden ist+ so dass ) Für endliche Kardinäle ist der Nachfolger einfach κ + 1. Bei unendlichen Kardinälen unterscheidet sich der Nachfolger Kardinal von der Nachfolger Ordinal.

Kardinalabzug

Wenn X und Y sind disjunkt, Addition wird durch die gegeben Union von X und Y. Wenn die beiden Sätze nicht bereits disjunkt sind, können sie durch Disjoint -Sätze derselben Kardinalität ersetzt werden (z. B. Ersetzen, ersetzen X durch X× {0} und Y durch Y× {1}).

[6]

Null ist eine additive Identität κ + 0 = 0 + κ = κ.

Addition ist assoziativ (κ + μ) + ν = κ + (μ + ν).

Addition ist kommutativ κ + μ = μ + κ.

Die Addition ist in beiden Argumenten nicht abgeschreckt:

Unter der Annahme des Axioms der Wahl ist die Zugabe von unendlichen Kardinalzahlen einfach. Wenn entweder κ oder μ ist dann unendlich

Subtraktion

Annahme des Axioms der Wahl und bei einem unendlichen Kardinal σ und ein Kardinal μEs gibt einen Kardinal κ so dass μ + κ = σ dann und nur dann, wenn μσ. Es wird einzigartig sein (und gleich dem σ) dann und nur dann, wenn μ < σ.

Kardinalmultiplikation

Das Produkt von Kardinälen stammt von der kartesisches Produkt.

[7]

κ· 0 = 0 ·κ = 0.

κ·μ = 0 → ((κ = 0 oder μ = 0).

Einer ist eine multiplikative Identität κ· 1 = 1 ·κ = κ.

Multiplikation ist assoziativ (κ·μ) ·ν = κ· (μ·ν).

Multiplikation ist kommutativ κ·μ = μ·κ.

Die Multiplikation ist in beiden Argumenten nicht abgeschreckt:κμ → (κ·νμ·ν und ν·κν·μ).

Multiplikation verteilt Über Zugabe:κ· (μ + ν) = κ·μ + κ·ν und (μ + ν) ·κ = μ·κ + ν·κ.

Unter der Annahme des Axioms der Wahl ist auch die Multiplikation unendlicher Kardinalnummern einfach. Wenn entweder κ oder μ ist unendlich und beide sind dann ungleich Null

Aufteilung

Annahme des Axioms der Wahl und bei einem unendlichen Kardinal π und ein Kardinal ungleich Null μEs gibt einen Kardinal κ so dass μ · κ = π dann und nur dann, wenn μπ. Es wird einzigartig sein (und gleich dem π) dann und nur dann, wenn μ < π.

Kardinalponentiation

Exponentiation ist gegeben durch

wo XY ist der Satz von allen Funktionen aus Y zu X.[8]

κ0 = 1 (insbesondere 00 = 1) siehe leere Funktion.
Wenn 1 ≤ μdann 0μ = 0.
1μ = 1.
κ1 = κ.
κμ + ν = κμ·κν.
κμ · ν = (κμ)ν.
(κ·μ)ν = κν·μν.

Die Exponentiation ist in beiden Argumenten nicht abgeschreckt:

(1 ≤ ν und κμ) → (νκνμ) und
(κμ) → (κνμν).

2|X| ist die Kardinalität der Leistungssatz des Satzes X und Cantors diagonales Argument zeigt das 2|X| > |X| für jeden Satz X. Dies beweist, dass kein größter Kardinal vorhanden ist (weil für jeden Kardinal κWir können immer einen größeren Kardinal 2 findenκ). In der Tat die Klasse von Cardinals ist a richtige Klasse. (Dieser Beweis schlägt in einigen festgelegten Theorien insbesondere in den festgelegten Theorien aus Neufundamente.))

Alle verbleibenden Aussagen in diesem Abschnitt nehmen das Axiom der Wahl an:

Wenn κ und μ sind sowohl endlich als auch größer als 1, und ν ist dann unendlich κν = μν.
Wenn κ ist unendlich und μ ist dann endlich und ungleich Null, dann κμ = κ.

Wenn 2 ≤ κ und 1 ≤ μ und mindestens einer von ihnen ist dann unendlich:

Max (κ, 2μ) ≤ κμ ≤ max (2κ, 2μ).

Verwendung Königs Theorem, man kann beweisen κ < κvgl. (κ) und κ < cf(2κ) für jeden unendlichen Kardinal κ, wo vgl. (κ) ist der Cofinalität von κ.

Wurzeln

Annahme des Axioms der Wahl und bei einem unendlichen Kardinal κ und ein endlicher Kardinal μ größer als 0, der Kardinal ν befriedigend wird sein .

Logarithmen

Annahme des Axioms der Wahl und bei einem unendlichen Kardinal κ und ein endlicher Kardinal μ größer als 1, es kann einen Kardinal geben oder nicht λ befriedigend . Wenn jedoch ein solcher Kardinal existiert, ist es unendlich und weniger als κund jede endliche Kardinalität ν größer als 1 wird auch befriedigen .

Der Logarithmus einer unendlichen Kardinalzahl κ ist definiert als die am wenigsten Kardinalzahl μ so dass κ ≤ 2μ. Logarithmen unendlicher Kardinäle sind in einigen Bereichen der Mathematik nützlich, zum Beispiel in der Studie von Kardinalinvarianten von Topologische Räumeobwohl ihnen einige der Eigenschaften fehlen, die Logarithmen positiver realer Zahlen besitzen.[9][10][11]

Die Kontinuumshypothese

Das Kontinuumshypothese (Ch) gibt an, dass es keine Kardinäle streng dazwischen gibt und Die letztere Kardinalzahl wird auch oft durch bezeichnet ; es ist der Kardinalität des Kontinuums (der Satz von reale Nummern). In diesem Fall

Ebenso das Generalisierte Kontinuumshypothese (GCH) erklärt, dass für jeden unendlichen Kardinal Es gibt keine Kardinäle streng dazwischen und . Sowohl die Kontinuumshypothese als auch die verallgemeinerte Kontinuumshypothese wurden unabhängig von den üblichen Axiomen der festgelegten Theorie, den Zermelo -Fraenkel -Axiomen zusammen mit dem Axiom der Wahl (Auswahl (ZFC).

In der Tat, Eastons Theorem zeigt das für normale Kardinäle die einzigen Einschränkungen ZFC legt die Kardinalität von sind das und dass die exponentielle Funktion nicht abfällt.

Siehe auch

Verweise

Anmerkungen

  1. ^ Dauben 1990, pg. 54
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Kardinalzahl". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 2020-09-06.
  3. ^ Deiser, Oliver (Mai 2010). "Über die Entwicklung des Begriffs einer Kardinalzahl". Geschichte und Philosophie der Logik. 31 (2): 123–143. doi:10.1080/01445340903545904. S2CID 171037224.
  4. ^ Enderton, Herbert. "Elemente of Set Theory", Academic Press Inc., 1977. ISBN0-12-238440-7
  5. ^ Friedrich M. Hartogs (1915), Felix Klein; Walther von Dyck; David Hilbert; Otto Blumenthal (Hrsg.), "Über Problem der Wohlordnung", Mathematik. Ann., Leipzig: B. G. Teubner, Bd. 76 (4): 438–443, doi:10.1007/bf01458215, ISSN 0025-5831, S2CID 121598654, archiviert vom Original am 2016-04-16, abgerufen 2014-02-02
  6. ^ Schindler 2014, pg. 34
  7. ^ Schindler 2014, pg. 34
  8. ^ Schindler 2014, pg. 34
  9. ^ Robert A. McCoy und Ibula Ntantu, topologische Eigenschaften von Räumen kontinuierlicher Funktionen, Vorlesungsnotizen in Mathematik 1315, Springer-Verlag.
  10. ^ Eduard čech, Topologische Räume, überarbeitet von Zdenek Frolík und Miroslav Katetov, John Wiley & Sons, 1966.
  11. ^ D. A. Vladimirov, Boolesche Algebren in Analyse, Mathematik und ihre Anwendungen, Kluwer -Akademische Verlage.

Literaturverzeichnis

Externe Links