Binäre Zahl

A binäre Zahl ist ein Nummer ausgedrückt in der Basis-2 Ziffernungssystem oder Binäres Ziffernsystem, eine Methode des mathematischen Ausdrucks, bei dem nur zwei Symbole verwendet werden: Typisch "0" (Null) und 1" (eines).

Das Basis-2-Ziffernsystem ist a Positionsnotation mit einer Radix von 2. Jede Ziffer wird als als bezeichnet bisschen, oder binäre Ziffer. Wegen seiner unkomplizierten Implementierung in Digitale elektronische Schaltung Verwendung Logik -ToreDas binäre System wird von fast allen modernen verwendet Computer und computergestützte Geräte, als bevorzugtes Nutzungssystem über verschiedene andere menschliche Kommunikationstechniken, aufgrund der Einfachheit der Sprache und der Geräuschimmunität im physikalischen Implementierung.^[1]

Geschichte

Das moderne Binärzahlensystem wurde in Europa im 16. und 17. Jahrhundert von untersucht Thomas Harriot, Juan Caramuel y Lobkowitz, und Gottfried Leibniz. Systeme im Zusammenhang mit binären Zahlen sind jedoch früher in mehreren Kulturen aufgetreten, darunter das alte Ägypten, China und Indien. Leibniz wurde speziell von den Chinesen inspiriert Ich ching.

Ägypten

Die Schriftgelehrten des alten Ägyptens verwendeten zwei verschiedene Systeme für ihre Brüche, Ägyptische Brüche (nicht mit dem Binärzahlensystem zusammenhängen) und Horusauge Brüche (so genannt, weil viele Mathematikhistoriker glauben, dass die für dieses System verwendeten Symbole angeordnet werden könnten, um das Auge von zu bilden Horus, obwohl dies umstritten wurde).^[2] Horus-Eye-Fraktionen sind ein binäres Nummernsystem für fraktionale Größen von Getreide, Flüssigkeiten oder anderen Maßnahmen, bei denen ein Bruchteil von a Hekat wird als Summe der binären Fraktionen 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 und 1/64 ausgedrückt. Frühe Formen dieses Systems finden Sie in Dokumenten aus dem Fünfte Dynastie Ägyptens, ca. 2400 v. Neunzehnte Dynastie Ägyptens, ca. 1200 v. Chr.^[3]

Die Methode für Alte ägyptische Multiplikation ist auch eng mit Binärzahlen verwandt. Bei dieser Methode wird das Multiplizieren einer Zahl mit einer Sekunde durch eine Abfolge von Schritten durchgeführt, in denen ein Wert (anfangs die erste der beiden Zahlen) entweder verdoppelt wird oder die erste Zahl wieder in sie hinzugefügt hat. Die Reihenfolge, in der diese Schritte durchgeführt werden sollen, wird durch die binäre Darstellung der zweiten Zahl angegeben. Diese Methode ist beispielsweise in der Verwendung zu sehen Rhind Mathematical Papyrus, was auf 1650 v. Chr. Dauert.^[4]

China

Das Ich ching Daten aus dem 9. Jahrhundert v. Chr. In China.^[5] Die binäre Notation in der Ich ching wird verwendet, um seine zu interpretieren Quartär Divination Technik.^[6]

Es basiert auf taoistischer Dualität von Yin und Yang.^[7] Acht Trigramme (Bagua) und ein Satz von 64 Hexagramme ("64" GUA), analog zu den drei Bit- und sechs-Bit Zhou -Dynastie des alten China.^[5]

Das Lied Dynastie Gelehrte Shao Yong (1011–1077) ordnete die Hexagramme in einem Format neu, das modernen Binärzahlen ähnelt, obwohl er nicht beabsichtigte, dass sein Arrangement mathematisch verwendet wird.^[6] Anzeigen der niedrigstwertige Bit über Single -Hexagramme in Shao Yongs Platz und lesen Sie entlang von Reihen entweder von unten rechts nach oben links mit durchgezogenen Linien als 0 und zerbrochenen Linien wie 1 oder von oben links nach unten rechts mit durchgezogenen Linien als 1 und zerbrochenen Linien, da 0 Hexagramme als Sequenz von 0 bis 63 interpretiert werden können.^[8]

Indien

Der indische Gelehrte Pingala (c. 2. Jahrhundert v. Chr.) Entwicklung eines binären Systems zur Beschreibung Prosodie.^[9][10] Er verwendete Binärzahlen in Form von kurzen und langen Silben (letztere gleich in der Länge bis zu zwei kurzen Silben), was es ähnlich ist Morse-Code.^[11][12] Sie waren bekannt als als Laghu (Licht) und Guru (schwere) Silben.

Pingalas hinduistischer Klassiker mit dem Titel " Chandaḥśāstra (8.23) beschreibt die Bildung einer Matrix, um jedem Meter einen eindeutigen Wert zu geben. "Chandaḥśāstra" bedeutet buchstäblich von Wissenschaft der Meter in Sanskrit. Die binären Darstellungen in Pingalas System steigen nach rechts und nicht nach links wie in der binären Anzahl der Moderne Positionsnotation.^[11][13] In Pingalas System beginnen die Zahlen von Nummer eins und nicht Null. Vier kurze Silben "0000" sind das erste Muster und entsprechen dem Wert 1. Der numerische Wert wird erhalten, indem eine zur Summe von addiert wird Platzwerte.^[14]

Andere Kulturen

Die Bewohner der Insel von Mangareva in Französisch Polynesien verwendeten einen hybriden Binär-Dezimal System vor 1450.^[15] Schlitztrommeln Mit binären Tönen werden Nachrichten in Afrika und Asien codiert.^[7] Sätze von binären Kombinationen, die ähnlich dem I -Ching ähnlich sind Wenn ein sowie in mittelalterlich Western Geomantie.

Westliche Vorgänger von Leibniz

Im späten 13. Jahrhundert Ramon Llull Hatte den Ehrgeiz, jede Weisheit in jedem Zweig menschlicher Wissen über die Zeit zu erklären. Zu diesem Zweck entwickelte er eine allgemeine Methode oder eine „ARS Generalis“ basierend auf binären Kombinationen einer Reihe einfacher Grundprinzipien oder Kategorien, für die er als Vorgänger für Computerwissenschaft und künstliche Intelligenz angesehen wurde.^[16]

1605 Francis Bacon diskutierte ein System, bei dem Buchstaben des Alphabets auf Sequenzen binärer Ziffern reduziert werden konnten, die dann als kaum sichtbare Variationen in der Schrift in jedem zufälligen Text codiert werden könnten.^[17] Wichtig für die allgemeine Theorie der Binärcodierung, fügte er hinzu, dass diese Methode überhaupt mit allen Objekten verwendet werden könne: "vorausgesetzt von Musketen und jeglichen Instrumenten der Natur ".^[17] (Sehen Specks Chiffre.))

John Napier 1617 beschrieb er ein System, das er nannte Ort Arithmetik Für binäre Berechnungen unter Verwendung einer nicht positionellen Darstellung durch Buchstaben.Thomas Harriot untersuchte mehrere Positionsnummerierungssysteme, einschließlich Binärer, veröffentlichte aber seine Ergebnisse nicht; Sie wurden später unter seinen Papieren gefunden.^[18] Möglicherweise war die erste Veröffentlichung des Systems in Europa von Juan Caramuel y Lobkowitz1700.^[19]

Leibniz und das i Ching

Leibniz studierte 1679 eine binäre Nummerierung; Seine Arbeit erscheint in seinem Artikel Erklärung de l'Arithmétique Binaire (veröffentlicht im Jahr 1703). Der vollständige Titel von Leibnizs Artikel wird als die ins Englische übersetzt "Erklärung der binären Arithmetik, die nur die Charaktere 1 und 0 verwendet, mit einigen Bemerkungen zu ihrer Nützlichkeit und auf dem Licht, das es auf die alten chinesischen Figuren von wirft Fu xi".^[20] Das System von Leibniz verwendet 0 und 1, wie das moderne binäre Ziffernsystem. Ein Beispiel für Leibnizs binäres Zahlensystem ist wie folgt:^[20]

0 0 0 1 Numerischer Wert 2⁰

0 0 1 0 Numerischer Wert 2¹

0 1 0 0 Numerischer Wert 2²

1 0 0 0 Numerischer Wert 2³

Leibniz interpretierte die Hexagramme des I Ching als Beweis für binäre Kalkül.^[21] Als ein Sinophil, Leibniz war sich des i Ching bewusst, merkte mit Faszination, wie seine Hexagramme den binären Zahlen von 0 bis 111111 entsprechen, und kam zu dem Schluss, dass diese Kartierung ein Beweis für wichtige chinesische Leistungen in der Art von Philosophisch war Mathematik er bewunderte. Die Beziehung war eine zentrale Idee für sein universelles Konzept einer Sprache oder charakteristische Universalis, eine beliebte Idee, die von seinen Nachfolger wie genau verfolgt werden würde, z. B. Gottlob Frege und George Boole In Forming Moderne symbolische Logik.^[22] Leibniz wurde zuerst in die vorgestellt Ich ching durch seinen Kontakt mit dem französischen Jesuit Joachim Bouvet, der China 1685 als Missionar besuchte. Leibniz sah das Ich ching Hexagramme als Bestätigung der Universalität seiner eigenen religiösen Überzeugungen als Christ.^[21] Binäre Ziffern waren für Leibnizs Theologie von zentraler Bedeutung. Er glaubte, dass binäre Zahlen symbolisch für die christliche Idee von waren Creatio ex nihilo oder aus nichts schöpft.^[23]

[Ein Konzept, das] den Heiden nicht leicht zu vermitteln ist, ist die Schöpfung aus dem Nichts durch Gottes allmächtige Kraft. Jetzt kann man sagen, dass nichts auf der Welt diese Kraft besser präsentieren und demonstrieren kann als der Ursprung der Zahlen, wie es hier durch die einfache und schmucklose Präsentation von ein und null oder nichts präsentiert wird.

-Leibnizs Brief an die Herzog von Brunswick mit dem angeschlossen Ich ching Hexagramme^[21]

Spätere Entwicklungen

1854 britischer Mathematiker George Boole veröffentlichte ein wegweisendes Papier, in dem ein detailliertes detailliertes Papier detailliert wurde algebraisch System von Logik das würde als bekannt werden als boolsche Algebra. Sein logischer Kalkül sollte maßgeblich an der Gestaltung digitaler elektronischer Schaltkreise beteiligt sein.^[24]

1937, Claude Shannon produzierte seine Masterarbeit bei MIT Diese implementierten boolesche Algebra und binäre Arithmetik mit elektronischen Relais und Schalter zum ersten Mal in der Geschichte. Berechtigt Eine symbolische Analyse von Relais und Schaltkreisen, Shannons These hat im Wesentlichen praktisch gegründet Digitaler Schaltung Entwurf.^[25]

Im November 1937, George Stibitzdann arbeiten bei Bell LabsEr absolvierte einen auf Relais basierenden Computer, den er als "Modell K" bezeichnete (für "Kitchen ", wo er es zusammengebaut hatte), der mit binärer Addition berechnet wurde.^[26] Bell Labs autorisierte Ende 1938 ein volles Forschungsprogramm mit Stibitz an der Spitze. Ihr komplexer Zahlcomputer, der am 8. Januar 1940 fertiggestellt wurde, konnte berechnen komplexe Zahlen. In einer Demonstration an die American Mathematical Society Konferenz bei Dartmouth College Am 11. September 1940 konnte Stibitz die Befehle des komplexen Nummernrechners über Telefonleitungen über a senden Teletyp. Es war der erste Computergerät, der jemals über eine Telefonleitung aus der Ferne verwendet wurde. Einige Teilnehmer der Konferenz, die Zeuge der Demonstration waren John von Neumann, John Mauchly und Norbert Wiener, der in seinen Memoiren darüber schrieb.^[27][28][29]

Das Z1 -Computer, das entworfen und gebaut wurde von Konrad Zuse Zwischen 1935 und 1938 verwendet Boolesche Logik und Binäre schwimmende Punktzahlen.^[30]

Darstellung

Eine beliebige Zahl kann durch eine Sequenz von dargestellt werden Bits (Binäre Ziffern), die wiederum durch jeden Mechanismus dargestellt werden können, der in zwei gegenseitig ausschließlichen Zuständen sein kann. Eine der folgenden Symbolezeilen kann als binärer numerischer Wert von 667 interpretiert werden:

1	0	1	0	0	1	1	0	1	1
|	―	|	―	―	|	|	―	|	|
☒	☐	☒	☐	☐	☒	☒	☐	☒	☒
y	n	y	n	n	y	y	n	y	y

Der in jedem Fall dargestellte numerische Wert hängt von dem für jedes Symbol zugewiesenen Wert ab. In den früheren Computertagen wurden Schalter, Stanzlöcher und Stanzpapierbänder verwendet, um binäre Werte darzustellen.^[31] In einem modernen Computer können die numerischen Werte durch zwei verschiedene dargestellt werden Spannungen; auf einen magnetisch Scheibe, Magnetische Polaritäten könnte genutzt werden. Ein "positiv", "Jawohl"oder" über "staatlich entspricht nicht unbedingt dem numerischen Wert eines; er hängt von der verwendeten Architektur ab.

Entspricht der üblichen Darstellung von Ziffern mit Verwendung arabische Ziffern, binäre Zahlen werden üblicherweise unter Verwendung der Symbole geschrieben 0 und 1. Wenn es geschrieben ist, werden binäre Ziffern häufig abonniert, vorangestellt oder satt gemischt, um ihre Basis anzuzeigen, oder Radix. Die folgenden Notationen sind gleichwertig:

• 100101 Binär (explizite Aussage des Formats)
• 100101b (ein Suffix, das ein Binärformat anzeigt; auch bekannt als Intel -Konvention^[32][33])
• 100101b (ein Suffix, das ein Binärformat anzeigt)
• Bin 100101 (ein Präfix, das das Binärformat anzeigt)
• 100101₂ (Ein Index, das Base-2 (binäre) Notation angibt)
• %100101 (ein Präfix, das ein Binärformat anzeigt; auch bekannt als Motorola -Übereinkommen^[32][33])
• 0B100101 (ein Präfix, das ein binäres Format anzeigt, häufig in Programmiersprachen)
• 6B100101 (ein Präfix, das die Anzahl der Bits im Binärformat angibt, die in Programmiersprachen häufig sind)
• #B100101 (ein Präfix, das ein binäres Format anzeigt, häufig in LISP -Programmiersprachen)

Beim Sprechen werden binäre Ziffern normalerweise digital zu Digit gelesen, um sie von Dezimalzahlen zu unterscheiden. Zum Beispiel wird die binäre Ziffer 100 ausgesprochen Eine Null Null, statt einhundert, um seine binäre Natur explizit und aus Gründen der Korrektheit zu machen. Da die binäre Ziffer 100 den Wert vier darstellt, wäre es verwirrend, die Ziffer als zu beziehen einhundert (Ein Wort, das einen völlig anderen Wert oder eine völlig andere Menge darstellt). Alternativ kann die binäre Ziffer 100 als "vier" vorgelesen werden (die richtige Wert), aber das macht seine binäre Natur nicht explizit.

Zählen in binär

Dezimal Nummer	Binär Nummer
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
7	111
8	1000
9	1001
10	1010
11	1011
12	1100
13	1101
14	1110
15	1111

Das Zählen in binär ist ähnlich wie das Zählen in einem anderen Zahlensystem. Beginnend mit einer einzigen Ziffer erfolgt das Zählen in zunehmender Reihenfolge durch jedes Symbol. Vor der Untersuchung der binären Zählung ist es nützlich, kurz die vertrauteren zu diskutieren Dezimal Zählen Sie das System als Referenzrahmen.

Dezimalzählung

Dezimal Das Zählen verwendet die zehn Symbole 0 durch 9. Das Zählen beginnt mit der inkrementellen Substitution der am wenigsten signifikanten Ziffer (rechts Ziffer Erste Ziffer. Wenn die verfügbaren Symbole für diese Position erschöpft sind, wird die am wenigsten signifikante Ziffer zurückgesetzt 0und die nächste Ziffer höherer Signifikanz (eine Position nach links) wird inkrementiert (Überlauf) und inkrementelle Substitution der Ziffern mit niedriger Ordnung. Diese Methode des Zurücksetzens und des Überflusses wird für jede Ziffer von Signifikanz wiederholt. Das Zählen verläuft wie folgt:

000, 001, 002, ... 007, 008, 009 (rechts rechts wird auf Null zurückgesetzt, und die Ziffer nach links wird erhöht)

010, 011, 012, ...

...

090, 091, 092, ... 097, 098, 099, (rechts rechts werden zwei Ziffern auf Nullen zurückgesetzt, und die nächste Ziffer wird inkrementiert)

100, 101, 102, ...

Binärzählung

Die binäre Zählung folgt genau dem gleichen Verfahren, und wieder beginnt die inkrementelle Substitution mit der am wenigsten signifikanten Ziffer oder bisschen (das rechts, auch die genannt Erstes Bit), außer dass nur die beiden Symbole 0 und 1 stehen zur Verfügung. Nachdem ein bisschen 1 in Binärer erreicht ist, setzt ein Inkrement auf 0 zurück, führt jedoch auch zu einem Aufstieg des nächsten Bits links:

0000,

0001, (das the Bit beginnt von vorne und die nächste Ziffer wird inkrementiert)

0010, 0011, (die meisten zwei Bits starten von vorne und das nächste Bit wird inkrementiert)

0100, 0101, 0110, 0111 (rechts drei Bits beginnen von vorne und das nächste Bit wird erhöht)

1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 ...

Im binären System repräsentiert jedes Bit eine zunehmende Leistung von 2, wobei das rechts rechtliche Bit 2 darstellt 2⁰, die nächste darstellen 2¹dann 2², usw. Der Wert einer Binärzahl ist die Summe der Kräfte von 2, die durch jedes "1" -Bit dargestellt werden. Beispielsweise wird die Binärzahl 100101 wie folgt in Dezimalform umgewandelt:

100101₂ = [((() 1 ) × 2⁵ ] + [(( 0 ) × 2⁴ ] + [(( 0 ) × 2³ ] + [(( 1 ) × 2² ] + [(( 0 ) × 2¹ ] + [(( 1 ) × 2⁰ ]

100101₂ = [ 1 × 32] + [ 0 × 16] + [ 0 × 8] + [ 1 × 4] + [ 0 × 2] + [ 1 × 1]

100101₂ = 37₁₀

Brüche

Fraktionen in binärer Arithmetik kündigen nur wenn 2 ist der einzige Hauptfaktor in dem Nenner. Infolgedessen hat 1/10 keine endliche binäre Darstellung (10 hat erstklassige Faktoren 2 und 5). Dies verursacht 10 × 0,1 nicht genau 1 in schwimmende Punktarithmetik. Zum Beispiel, um den binären Ausdruck für 1/3 = .010101 ... zu interpretieren, bedeutet dies: 1/3 = 0 × 2^–1 + 1 × 2^–2 + 0 × 2^–3 + 1 × 2^–4 + ... = 0,3125 + ... Ein genauer Wert kann nicht mit einer Summe einer endlichen Anzahl von inversen Kräften von zwei, den Nullen und denen in der binären Darstellung von 1/3 Alternativ für immer gefunden werden.

Fraktion	Dezimal	Binär	Bruchnäherung
1/1	1 oder 0,999 ...	1 oder 0.111 ...	1/2 + 1/4 + 1/8 ...
1/2	0,5 oder 0,4999 ...	0,1 oder 0.0111 ...	1/4 + 1/8 + 1/16. . .
1/3	0,333 ...	0.010101 ...	1/4 + 1/16 + 1/64. . .
1/4	0,25 oder 0,24999 ...	0,01 oder 0,00111 ...	1/8 + 1/16 + 1/32. . .
1/5	0,2 oder 0,1999 ...	0,00110011 ...	1/8 + 1/16 + 1/128. . .
1/6	0,1666 ...	0,0010101 ...	1/8 + 1/32 + 1/128. . .
1/7	0,142857142857 ...	0,001001 ...	1/8 + 1/64 + 1/512. . .
1/8	0,125 oder 0,124999 ...	0,001 oder 0,000111 ...	1/16 + 1/32 + 1/64. . .
1/9	0.111 ...	0,000111000111 ...	1/16 + 1/32 + 1/64. . .
1/10	0,1 oder 0,0999 ...	0,000110011 ...	1/16 + 1/32 + 1/256. . .
1/11	0.090909 ...	0.00010111010001011101 ...	1/16 + 1/64 + 1/128. . .
1/12	0,08333 ...	0,00010101 ...	1/16 + 1/64 + 1/256. . .
1/13	0.076923076923 ...	0,000100111011000100111011 ...	1/16 + 1/128 + 1/256. . .
1/14	0,0714285714285 ...	0,0001001001 ...	1/16 + 1/128 + 1/1024. . .
1/15	0,0666 ...	0,00010001 ...	1/16 + 1/256. . .
1/16	0,0625 oder 0,0624999 ...	0,0001 oder 0,0000111 ...	1/32 + 1/64 + 1/128. . .

Binärarithmetik

Arithmetik In binär ist die Arithmetik in anderen Ziffernsystemen ähnlich. Addition, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung können mit binären Ziffern durchgeführt werden.

Zusatz

Die einfachste arithmetische Operation in Binärer ist die Zugabe. Das Hinzufügen von zwei einstelligen Binärzahlen ist relativ einfach, wobei eine Form des Tragens verwendet wird:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, tragen 1 (da 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2)¹))

Durch das Hinzufügen von zwei "1" -Ingits wird eine Ziffer "0" erzeugt, während 1 zur nächsten Spalte hinzugefügt werden muss. Dies ähnelt dem, was in dezimaler passiert, wenn bestimmte einstellige Zahlen zusammengefügt werden. Wenn das Ergebnis den Wert des Radix (10) entspricht oder überschreitet, wird die Ziffer links erhöht:

5 + 5 → 0, tragen 1 (da 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10)¹))

7 + 9 → 6, tragen 1 (da 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10)¹))

Dies ist bekannt als als Tragen. Wenn das Ergebnis einer Zugabe den Wert einer Ziffer überschreitet, besteht das Verfahren darin, den überschüssigen Betrag geteilt durch den Radix (dh 10/10) nach links zu "tragen" und ihn zum nächsten Positionswert hinzuzufügen. Dies ist richtig, da die nächste Position ein Gewicht aufweist, das um einen Faktor höher ist, der dem Radix entspricht. Das Tragen funktioniert in Binärdatei auf die gleiche Weise:

  1 1 1 1 1 (2 Ziffern)     0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 -------------- = 1 0 0 1 0 0 = 36

In diesem Beispiel werden zwei Ziffern zusammengefügt: 01101₂ (13₁₀) und 10111₂ (23₁₀). Die obere Reihe zeigt die verwendeten Trageteile. Beginnend in der Spalte rechts, 1 + 1 = 10₂. Die 1 wird nach links getragen und die 0 unten in der Spalte rechts geschrieben. Die zweite Spalte von rechts wird hinzugefügt: 1 + 0 + 1 = 10₂ wieder; Die 1 wird getragen und 0 ist unten geschrieben. Die dritte Spalte: 1 + 1 + 1 = 11₂. Diesmal wird eine 1 getragen und eine 1 in der unteren Reihe geschrieben. Wenn Sie so fortfahren, gibt die endgültige Antwort 100100₂ (36₁₀).

Wenn Computer zwei Zahlen hinzufügen müssen, die Regel, die: x xor y = (x + y) Mod 2 für zwei beliebige Bits x und y ermöglicht auch eine sehr schnelle Berechnung.

Lange Tragemethode

Eine Vereinfachung für viele binäre Additionsprobleme ist die Long Carry -Methode oder die Brookhouse -Methode der binären Addition. Diese Methode ist im Allgemeinen bei jeder binären Addition nützlich, bei der eine der Zahlen eine lange "Zeichenfolge" enthält. Es basiert auf der einfachen Prämisse, die unter dem Binärsystem bei einer "Zeichenfolge" von Ziffern, die ausschließlich zusammengestellt wurden n Einen (wo n ist jede ganzzahlige Länge), und das Hinzufügen von 1 führt zu der Nummer 1, gefolgt von einer Zeichenfolge von n Nullen. Dieses Konzept folgt logischerweise genau wie im Dezimalsystem, bei dem 1 zu einer Zeichenfolge von 1 hinzugefügt wird n 9s führen zu der Nummer 1, gefolgt von einer Zeichenfolge von n 0s:

     Binäre Dezimalzahl 1 1 1 1 1 Ebenso 9 9 9 9 9 + 1 + 1 ———————————————————————— 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Solche langen Saiten sind im Binärsystem weit verbreitet. Aus diesem Fall findet man, dass große Binärzahlen mit zwei einfachen Schritten ohne übermäßige Tragvorgänge hinzugefügt werden können. Im folgenden Beispiel werden zwei Ziffern zusammengefügt: 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0₂ (958₁₀) und 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1₂ (691₁₀) mit der traditionellen Tragemethode links und der langen Tragemethode rechts:

Traditionelle Carry -Methode Long Carry -Methode vs. 1 1 1 1 1 1 1 1 (2 Ziffern) 1 ← 1 ←            Tragen Sie die 1, bis es eine Ziffer der "String" unter 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 ist 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 Überqueren Sie die "String", + 1 0 1 0 1 1 0 0 1 + 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1  and cross out the digit that was added to it ———————————————————————                    ———————————————— ——————— = 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

Die obere Reihe zeigt die verwendeten Trageteile. Anstelle des Standards von einer Spalte zur nächsten kann der am niedrigsten geordnete "1" mit einem "1" im entsprechenden Platzwert darunter hinzugefügt werden, und ein "1" kann zu einem Ziffern über das Ende des Endes übertragen werden Serie. Die "gebrauchten" Nummern müssen überschritten werden, da sie bereits hinzugefügt werden. Andere lange Saiten können ebenfalls mit derselben Technik storniert werden. Fügen Sie dann einfach alle verbleibenden Ziffern normal hinzu. Auf diese Weise gibt es die endgültige Antwort von 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1₂ (1649₁₀). In unserem einfachen Beispiel unter Verwendung kleiner Zahlen erforderte die herkömmliche Tragemethode acht Carry -Operationen, doch die Long Carry -Methode erforderte nur zwei, was eine erhebliche Verringerung des Aufwands darstellt.

Additionstabelle

	0	1
0	0	1
1	1	10

Die binäre Additionstabelle ist ähnlich, aber nicht gleich wie die Wahrheitstabelle des logische Disjunktion Betrieb ${\ displayStyle \ lor}$. Der Unterschied ist das ${\ displayStyle 1 \ lor 1 = 1}$, während ${\ displayStyle 1+1 = 10}$.

Subtraktion

Subtraktion funktioniert auf die gleiche Weise:

0 - 0 → 0

0 - 1 → 1, leihen 1 aus

1 - 0 → 1

1 - 1 → 0

Subtrahieren einer "1" -Ingit von einer "0" -Ingite erzeugt die Ziffer "1", während 1 von der nächsten Spalte abgezogen werden muss. Dies ist bekannt als als Kreditaufnahme. Das Prinzip ist das gleiche wie für das Tragen. Wenn das Ergebnis einer Subtraktion weniger als 0 beträgt, besteht das Verfahren, das durch den Radix (dh 10/10) von links geteilte Defizit (dh 10/10) zu "ausleihen", und subtrahieren Sie es von der nächsten Position. Wert.

    * * * * (Spalten stammen aus) 1 1 0 1 1 1 0-1 0 1 1 1 ---------------- = 1 0 1 0 1 1 1 1 1

  * (Spalten sind ausgeliehen) 1 0 1 1 1 1 1-1 0 1 0 1 ---------------- = 0 1 1 0 1 0 0 0

Die Subtraktion einer positiven Zahl ist gleichbedeutend mit Hinzufügen a negative Zahl gleich absoluter Wert. Computer verwenden Signierte Zahlen Darstellungen negative Zahlen zu bewältigen - am häufigsten die Zwei ergänzt Notation. Solche Darstellungen beseitigen die Notwendigkeit eines separaten "Subtrahierens". Mit der folgenden Formel kann die Subtraktion von zwei Komplementnotationen miteinander zusammengefasst werden:

A - b = a + nicht b + 1

Multiplikation

Multiplikation In Binary ähnelt seinem Dezimal -Gegenstück. Zwei Zahlen A und B kann mit Teilprodukten multipliziert werden: für jede Ziffer in Bdas Produkt dieser Ziffer in A wird berechnet und in einer neuen Zeile geschrieben, nach links verschoben, sodass es die gesamte Ziffer mit der Ziffer in der Ziffer entspricht B das wurde verwendet. Die Summe all dieser Teilprodukte liefert das Endergebnis.

Da es nur zwei Ziffern in Binärer gibt, gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse jeder teilweisen Multiplikation:

• Wenn die Ziffer in B ist 0, das Teilprodukt ist auch 0
• Wenn die Ziffer in B ist 1, das Teilprodukt ist gleich A

Beispielsweise werden die Binärzahlen 1011 und 1010 wie folgt multipliziert:

           1 0 1 1 (A) × 1 0 1 0 ((B) ---------- 0 0 0 0 ← entspricht der rechts 'Null' in B    + 1 0 1 1 ← entspricht dem nächsten 'One' in B    + 0 0 0 0 + 1 0 1 1 --------------- = 1 1 0 1 1 1 0

Binärzahlen können auch mit Bits nach a multipliziert werden binärer Punkt:

               1 0 1. 1 0 1 A (5,625 in Dezimalzahl) × 1 1 0. 0 1 B (6.25 in Dezimalal) ------------------- 1. 0 1 1 0 1 ← entspricht einem 'One' in B      + 0 0. 0 0 0 0 ← entspricht einem 'Null' in B      + 0 0 0. 0 0 0 + 1 0 1 1. 0 1 + 1 0 1 1 0. 1 --------------------------- = 1 0 0 0 1 1. 0 0 1 0 1 (35,15625 in Dezimalzahl)

Siehe auch Multiplikationsalgorithmus des Standes.

Multiplikationstabelle

	0	1
0	0	0
1	0	1

Die binäre Multiplikationstabelle ist die gleiche wie die Wahrheitstabelle des logische Konjunktion Betrieb ${\ displayStyle \ Land}$.

Aufteilung

Lange Division In Binärdatei ähnelt es wieder seinem Dezimal -Gegenstück.

Im folgenden Beispiel die Divisor ist 101₂, oder 5 in Dezimaler, während die Dividende ist 11011₂, oder 27 in Dezimal. Das Verfahren ist das gleiche wie das der Dezimalzahl Lange Division; Hier der Divisor 101₂ geht in die ersten drei Ziffern 110₂ Von der Dividende einmal ist ein "1" in der oberen Zeile geschrieben. Dieses Ergebnis wird mit dem Divisor multipliziert und von den ersten drei Ziffern der Dividende abgezogen. Die nächste Ziffer (A "1") ist enthalten, um eine neue dreistellige Sequenz zu erhalten:

              1 ___________ 1 0 1) 1 1 0 1 1-1 0 1 ------ 0 0 1

Die Prozedur wird dann mit der neuen Sequenz wiederholt und wird fortgesetzt, bis die Ziffern in der Dividende erschöpft sind:

             1 0 1 ___________ 1 0 1) 1 1 0 1 1-1 0 1 ------ 1 1 1-1 0 1 ------ 0 1 0 0

Und so kam es dass der Quotient von 11011₂ geteilt durch 101₂ ist 101₂Wie auf der oberen Linie gezeigt, ist der Rest, der auf der Fazit gezeigt ist, 10₂. In Dezimalal entspricht dies der Tatsache, dass 27 geteilt durch 5 5 mit einem Rest von 2 beträgt.

Abgesehen von der Long Division kann man auch das Verfahren entwickeln, um über den Teilresten bei jeder Iteration zu subtrahiert zu werden, wodurch zu alternativen Methoden führt, die weniger systematisch, aber infolgedessen flexibler sind.

Quadratwurzel

Der Prozess der Einnahme einer Binärquadratwurzelstufe nach Ziffer ist der gleiche wie bei einer Dezimalquadratwurzel und wird erklärt hier. Ein Beispiel ist:

             1 0 0 1 --------- √ 1010001 1 ---------- 101 01 0 -------- 1001 100 0 -------- 10001 10001 10001 ------- 0

Bitgewise Operations

Obwohl nicht direkt mit der numerischen Interpretation binärer Symbole zusammenhängen, können Sequenzen von Bits verwendet werden Boolesche logische Operatoren. Wenn eine Reihe von binären Symbolen auf diese Weise manipuliert wird, heißt sie a Bitgewise Operation; die logischen Operatoren UND, ODER, und Xor kann an entsprechenden Bits in zwei als Eingabe bereitgestellten binären binären Ziffern durchgeführt werden. Die logisch NICHT Der Betrieb kann an einzelnen Bits in einer einzelnen binären Zahl durchgeführt werden, die als Eingabe bereitgestellt wird. Manchmal können solche Operationen als arithmetische Kurzschnitte verwendet werden und haben auch andere Rechenvorteile. Zum Beispiel eine arithmetische Verschiebung Links von einer binären Zahl entspricht der Multiplikation mit einer (positiven, integralen) Leistung von 2.

Umwandlung zu und von anderen Ziffernsystemen

Dezimal zu binär

Von einer Basis-10 konvertieren ganze Zahl zu seinem Basis-2 (binären) Äquivalent ist die Zahl geteilt durch zwei. Der Rest ist der niedrigstwertige Bit. Der Quotient wird erneut durch zwei geteilt; Sein Rest wird zum nächstgelegenen signifikanten Stück. Dieser Vorgang wiederholt sich, bis ein Quotient von einem erreicht ist. Die Abfolge der Reste (einschließlich des endgültigen Quotienten von einem) bildet den Binärwert, da jeder Rest entweder Null oder eins sein muss, wenn sie durch zwei Teilen dividiert werden. Zum Beispiel (357)₁₀ wird ausgedrückt als (101100101)_2.^[34]

Binär bis dezimal

Die Konvertierung von Base-2 in Basis-10 umdreht einfach den vorhergehenden Algorithmus. Die Bits der Binärzahl werden nacheinander verwendet, beginnend mit dem bedeutendsten (links links) Bit. Beginnend mit dem Wert 0 wird der vorherige Wert verdoppelt, und das nächste Bit wird dann hinzugefügt, um den nächsten Wert zu erzeugen. Dies kann in einer mehrspaltigen Tabelle organisiert werden. Zum Beispiel um 10010101101 umzuwandeln₂ zu dezimal:

Vorwert	× 2 +	Nächstes Bit	= Nächster Wert
0	× 2 +	1	= 1
1	× 2 +	0	= 2
2	× 2 +	0	= 4
4	× 2 +	1	= 9
9	× 2 +	0	= 18
18	× 2 +	1	= 37
37	× 2 +	0	= 74
74	× 2 +	1	= 149
149	× 2 +	1	= 299
299	× 2 +	0	= 598
598	× 2 +	1	= 1197

Das Ergebnis ist 1197₁₀. Der erste vorherige Wert von 0 ist einfach ein anfänglicher Dezimalwert. Diese Methode ist eine Anwendung der Horner -Schema.

Binär	1	0	0	1	0	1	0	1	1	0	1
Dezimal	1 × 210 +	0 × 29 +	0 × 28 +	1 × 27 +	0 × 26 +	1 × 25 +	0 × 24 +	1 × 23 +	1 × 22 +	0 × 21 +	1 × 20 =	1197

Die fraktionalen Teile einer Zahl werden mit ähnlichen Methoden konvertiert. Sie basieren wieder auf der Äquivalenz der Verschiebung durch Verdoppelung oder Halbierung.

In einer fraktionalen Binärzahl wie 0,1101011011111101₂Die erste Ziffer ist ${\ textstyle {\ frac {1} {2}}}$, der Zweite ${\ textstyle ({\ frac {1} {2}})^{2} = {\ frac {1} {4}}}$usw. Also, wenn es nach der Dezimalheit überhaupt eine 1 gibt, dann ist die Zahl mindestens ${\ textstyle {\ frac {1} {2}}}$, und umgekehrt. Die doppelte Zahl ist mindestens 1. Dies deutet auf den Algorithmus hin: Wiederholt die zu konvertierende Zahl, zeichnen Sie auf, wenn das Ergebnis mindestens 1 beträgt, und werfen Sie dann den Ganzzahl -Teil weg.

Zum Beispiel, ${\ textstyle ({\ frac {1} {3}}) _ {10}}$, in binär, ist:

Konvertieren	Ergebnis
${\ textstyle {\ frac {1} {3}}}$	0.
${\ textstyle {\ frac {1} {3}} \ times 2 = {\ frac {2} {3} <1}$	0,0
$oder$	0,01
${\ textstyle {\ frac {1} {3}} \ times 2 = {\ frac {2} {3} <1}$	0,010
$oder$	0.0101

Somit die sich wiederholende Dezimalanteile 0.3... entspricht der sich wiederholenden Binäranteile 0.01....

Oder zum Beispiel 0.1₁₀, in binär, ist:

Konvertieren	Ergebnis
0,1	0.
0,1 × 2 = 0,2 < 1	0,0
0,2 × 2 = 0,4 < 1	0,00
0,4 × 2 = 0,8 < 1	0,000
0,8 × 2 = 1.6 ≥ 1	0,0001
0,6 × 2 = 1.2 ≥ 1	0,00011
0,2 × 2 = 0,4 < 1	0,000110
0,4 × 2 = 0,8 < 1	0,0001100
0,8 × 2 = 1.6 ≥ 1	0,00011001
0,6 × 2 = 1.2 ≥ 1	0,000110011
0,2 × 2 = 0,4 < 1	0,0001100110

Dies ist auch eine sich wiederholende Binäranteile 0,00011.... Es kann eine Überraschung sein, dass die Beendigung von Dezimalfraktionen wiederholte Erweiterungen in Binärer haben kann. Aus diesem Grund sind viele überrascht zu entdecken schwimmender Punktarithmetik. Tatsächlich haben die einzigen binären Fraktionen mit terminierenden Erweiterungen die Form einer Ganzzahl geteilt durch eine Kraft von 2, die 1/10 nicht ist.

Die endgültige Umwandlung ist von binären zu Dezimalfraktionen. Die einzige Schwierigkeit tritt bei wiederholten Brüchen auf, aber ansonsten besteht die Methode darin, den Bruch in eine Ganzzahl zu verschieben, ihn wie oben umzuwandeln und dann durch die entsprechende Leistung von zwei in der Dezimalbasis zu teilen. Zum Beispiel:

Eine andere Möglichkeit, von binär zu dezimal zu konvertieren, oft schneller für eine Person, die mit der Person vertraut ist hexadezimal, soll dies indirekt tun - erstmals konvertieren (${\ displayStyle x}$ in binär) in (${\ displayStyle x}$ in hexadezimal) und dann konvertieren (${\ displayStyle x}$ in hexadezimal) in (${\ displayStyle x}$ in Dezimalzahl).

Für sehr große Zahlen sind diese einfachen Methoden ineffizient, da sie eine große Anzahl von Multiplikationen oder Abteilungen ausführen, in denen ein Operand sehr groß ist. Ein einfacher Divide-and-Conquer-Algorithmus ist asymptotisch wirksamer: Bei einer Binärzahl wird er durch 10 geteilt^k, wo k wird so ausgewählt, dass der Quotient ungefähr dem Rest entspricht; Dann wird jedes dieser Teile in Dezimalheit umgewandelt und die beiden sind verkettet. Bei einer Dezimalzahl kann es in zwei Stücke von ungefähr gleich groß aufgeteilt werden, von denen jedes in Binärum umgewandelt wird, woraufhin das erste konvertierte Stück mit 10 multipliziert wird^k und zum zweiten konvertierten Stück hinzugefügt, wo k ist die Anzahl der Dezimalstellen im zweiten, am wenigsten signifikanten Stück vor der Umstellung.

Hexadezimal

0verhexen	=	0dez	=	0Oktober		0	0	0	0
1verhexen	=	1dez	=	1Oktober		0	0	0	1
2verhexen	=	2dez	=	2Oktober		0	0	1	0
3verhexen	=	3dez	=	3Oktober		0	0	1	1
4verhexen	=	4dez	=	4Oktober	0	1	0	0
5verhexen	=	5dez	=	5Oktober	0	1	0	1
6verhexen	=	6dez	=	6Oktober	0	1	1	0
7verhexen	=	7dez	=	7Oktober	0	1	1	1
8verhexen	=	8dez	=	10Oktober	1	0	0	0
9verhexen	=	9dez	=	11Oktober	1	0	0	1
Averhexen	=	10dez	=	12Oktober	1	0	1	0
Bverhexen	=	11dez	=	13Oktober	1	0	1	1
Cverhexen	=	12dez	=	14Oktober	1	1	0	0
Dverhexen	=	13dez	=	15Oktober	1	1	0	1
Everhexen	=	14dez	=	16Oktober	1	1	1	0
Fverhexen	=	15dez	=	17Oktober	1	1	1	1

Binär kann leichter zu und von Hexadezimal umgewandelt werden. Das liegt daran, dass die Radix des hexadezimalen Systems (16) ist eine Leistung des Radix des binären Systems (2). Insbesondere 16 = 2⁴Daher dauert es vier Ziffern binärer, um eine Ziffer von Hexadezimal zu repräsentieren, wie in der benachbarten Tabelle gezeigt.

Um eine hexadezimale Zahl in ihren binären Äquivalent umzuwandeln, ersetzen Sie einfach die entsprechenden binären Ziffern:

3a₁₆ = 0011 1010₂

E7₁₆ = 1110 0111₂

Um eine binäre Zahl in ihr hexadezimales Äquivalent umzuwandeln, teilen Sie sie in Gruppen von vier Bits ein. Wenn die Anzahl der Bits kein Vielfache von vier ist, fügen Sie einfach extra ein 0 Bits links (genannt Polsterung). Zum Beispiel:

1010010₂ = 0101 0010 gruppiert mit Polsterung = 52₁₆

11011101₂ = 1101 1101 grupped = dd₁₆

Um eine hexadezimale Zahl in ihr Dezimaläquivalent umzuwandeln, multiplizieren Sie das Dezimaläquivalent jeder hexadezimalen Ziffer mit der entsprechenden Leistung von 16 und fügen Sie die resultierenden Werte hinzu:

C0E7₁₆ = (12 × 16³) + (0 × 16²) + (14 × 16¹) + (7 × 16⁰) = (12 × 4096) + (0 × 256) + (14 × 16) + (7 × 1) = 49,383₁₀

Oktal

Binär kann auch leicht in die umgewandelt werden Oktal Ziffernsystem, da Oktal einen Radix von 8 verwendet, was a ist Kraft von zwei (nämlich 2³Es dauert also genau drei binäre Ziffern, um eine Oktalfigur darzustellen). Die Korrespondenz zwischen Oktal- und Binärzahlen ist die gleiche wie für die ersten acht Ziffern von hexadezimal in der obigen Tabelle. Binär 000 entspricht der Oktalfigur 0, binär 111 entspricht Oktal 7 und so weiter.

Oktal	Binär
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

Konvertieren von Oktal zu Binärerlösen auf die gleiche Weise wie für hexadezimal:

65₈ = 110 101₂

17₈ = 001 111₂

Und von binär zu Oktal:

101100₂ = 101 100₂ gruppiert = 54₈

10011₂ = 010 011₂ mit Polsterung gruppiert = 23₈

Und von Oktal bis Dezimal:

65₈ = (6 × 8¹) + (5 × 8⁰) = (6 × 8) + (5 × 1) = 53₁₀

127₈ = (1 × 8²) + (2 × 8¹) + (7 × 8⁰) = (1 × 64) + (2 × 8) + (7 × 1) = 87₁₀

Reelle Zahlen darstellen

Nichtinstärkte können durch Verwendung negativer Kräfte dargestellt werden, die mit a Radixpunkt (genannt Komma im Dezimalsystem). Zum Beispiel die Binärzahl 11.01₂ meint:

1 × 21	(1 × 2 = 2)	Plus
1 × 20	(1 × 1 = 1)	Plus
0 × 2–1	(0 × 1⁄2 = 0)	Plus
1 × 2–2	(1 × 1⁄4 = 0,25))

Für insgesamt 3,25 Dezimal.

Alle dyadische rationale Zahlen ${\ displaystyle {\ frac {p} {2^{a}}}}$ haben eine enden Binäre Ziffer - Die binäre Darstellung hat eine begrenzte Anzahl von Begriffen nach dem Radix -Punkt. Sonstiges Rationale Zahlen binäre Darstellung haben, aber anstatt zu enden, anstatt zu enden wiederkehrenmit einer endlichen Abfolge von Ziffern, die auf unbestimmte Zeit wiederholt werden. Zum Beispiel

Das Phänomen, dass die binäre Darstellung eines rationalen Zeitpunkts entweder endet oder wiederkehrend ist, tritt auch in anderen radix-basierten Ziffernsystemen auf. Siehe zum Beispiel die Erklärung in Dezimal. Eine andere Ähnlichkeit ist das Vorhandensein alternativer Darstellungen für jede abgeschlossene Darstellung, die sich auf die Tatsache stützt, dass 0.111111 ... ist die Summe der geometrische Reihe 2^–1 + 2^–2 + 2^–3 + ... was ist 1.

Binäre Ziffern, die weder enden noch wieder aufnehmen irrationale Zahlen. Zum Beispiel,

• 0.10100100010000100000100 ... hat ein Muster, aber es ist kein rezidivierendes Muster mit fester Länge, daher ist die Zahl irrational
• 1.01101010000010011100110011001111110 ... ist die binäre Darstellung von ${\ displayStyle {\ sqrt {2}}}$, das Quadratwurzel von 2, eine andere irrationale. Es hat kein erkennbares Muster.

Siehe auch

• Ausgewogener Ternär
• Binärcode
• Binärcodierte Dezimalzahl
• Finger binär
• Graucode
• IEEE 754
• Linear-Feedback-Schaltregister
• Offset binär
• Zeitlich
• Reduzierung von Summen
• Redundante binäre Darstellung
• Dezimal wiederholen
• Zwei ergänzt

Verweise

Externe Links

• Binärsystem bei Schnitt
• Umwandlung von Brüchen bei Schnitt
• Sir Francis Bacons biliterales Cypher -System, schon Binärzahlensystem.