Bijection

Eine bijektive Funktion, f: X → Y, wobei Set x {1, 2, 3, 4} und set y ist {a, b, c, d}. Zum Beispiel, f(1) = D.

In Mathematik, a Bijection, auch bekannt als a Bijektive Funktion, Eins-zu-eins-Korrespondenz, oder invertierbare Funktion, ist ein Funktion zwischen den Elementen von zwei Sets, wobei jedes Element eines Satzes mit genau einem Element des anderen Satzes gepaart ist und jedes Element des anderen Satzes mit genau einem Element des ersten Satzes gepaart ist. Es gibt keine ungepaarten Elemente. In mathematischer Hinsicht eine bijektive Funktion f: X → Y ist ein Eins-zu-eins (injektiv) und auf (surjektiv) Zuordnung eines Satzes X zu einem Satz Y.^[1] Der Begriff Eins-zu-eins-Korrespondenz darf nicht verwechselt werden mit Eins-zu-Eins-Funktion (ein Injektivfunktion; Siehe Abbildungen).

Eine Bijection aus dem Satz X zum Set Y hat an Umkehrfunktion aus Y zu X. Wenn X und Y sind Finite -SetsDann bedeutet die Existenz einer Bijection, dass sie die gleiche Anzahl von Elementen haben. Zum Unendliche SetsDas Bild ist komplizierter und führt zum Konzept von Kardinalzahl- Eine Möglichkeit, die verschiedenen Größen unendlicher Sets zu unterscheiden.

Eine bijektive Funktion von einem Set zu sich selbst wird auch als a genannt Permutationund der Satz aller Permutationen eines Satzes bildet die Symmetrische Gruppe.

Bijektivfunktionen sind für viele Bereiche der Mathematik von wesentlicher Bedeutung, einschließlich der Definitionen von Isomorphismus, Homomorphismus, Diffeomorphismus, Permutationsgruppe, und Projektive Karte.

Definition

Für eine Paarung zwischen X und Y (wo Y muss nicht anders sein als X) Um eine Bijektion zu sein, müssen vier Eigenschaften auftreten:

1. Jedes Element von X muss mit mindestens einem Element von gepaart werden Y,
2. kein Element von X kann mit mehr als einem Element von gepaart werden Y,
3. Jedes Element von Y muss mit mindestens einem Element von gepaart werden X, und
4. kein Element von Y kann mit mehr als einem Element von gepaart werden X.

Befriedigende Eigenschaften (1) und (2) bedeutet, dass eine Paarung a ist Funktion mit Domain X. Es tritt häufiger an, Eigenschaften (1) und (2) als einzelne Aussage zu sehen: jedes Element von X ist mit genau einem Element von gepaart Y. Funktionen, die Eigentum (3) erfüllen, sollen sein "auf zu Y "und werden genannt Überwachungen (oder Surjektivfunktionen). Funktionen, die Eigentum (4) erfüllen, sollen sein "Eins-zu-Eins-Funktionen"und werden genannt Injektionen (oder Injektivfunktionen).^[2] Mit dieser Terminologie ist eine Bijection eine Funktion, die sowohl eine Überwachung als auch eine Injektion ist oder andere Wörter verwendet. Eine Bijection ist eine Funktion, die sowohl "eins zu eins" als auch "auf" ist.^[3]

Bijiziere werden manchmal mit einem zweiköpfigen Rightwards-Pfeil mit Schwanz bezeichnet (Schwanz ( U+2916 ⤖ Richtiger zweiköpfiger Pfeil mit Schwanz), wie in f: X ⤖ Y. Dieses Symbol ist eine Kombination aus dem zweiköpfigen Rightwards-Pfeil ( U+21A0 ↠ Richtig zwei Köpfe Pfeil), manchmal verwendet, um Überprüfungen zu bezeichnen, und den richtigen Pfeil mit einem Stachelschwanz ( U+21A3 ↣ Richtiger Pfeil mit Schwanz), manchmal verwendet, um Injektionen zu bezeichnen.

Beispiele

Schlagen einer Reihe eines Baseball- oder Cricket-Teams

Bedenke die Schlagaufstellung eines Baseballs oder Kricket Team (oder eine Liste aller Spieler eines Sportteams, in dem jeder Spieler einen bestimmten Platz in einer Aufstellung hält). Der Satz X Wird die Spieler im Team (von neun Größe im Fall von Baseball) und der Set sein Y Wird die Positionen in der Schlagreihenfolge (1., 2., 3. usw.) sein. Die "Paarung" wird angegeben, von der der Spieler in welcher Position in dieser Reihenfolge sich befindet. Eigenschaft (1) ist zufrieden, da sich jeder Spieler irgendwo in der Liste befindet. Eigentum (2) ist zufrieden, da in zwei (oder mehr) Positionen in der Reihenfolge kein Spieler Fledermäuse flecken. Immobilien (3) besagt, dass für jede Position in der Reihenfolge einige Spieler in dieser Position und Eigentum (4) besagt, dass zwei oder mehr Spieler in der Liste nie in derselben Position schlagen.

Sitze und Schüler eines Klassenzimmers

In einem Klassenzimmer gibt es eine bestimmte Anzahl von Sitzen. Eine Gruppe von Schülern betritt den Raum und der Ausbilder bittet sie, zu sitzen. Nach einem kurzen Blick in den Raum erklärt der Ausbilder, dass zwischen den Studenten und der Sitze eine Bijection besteht war das:

1. Jeder Schüler saß auf einem Sitz (ich stand niemanden),
2. Kein Student war auf mehr als einem Sitz,
3. Jeder Sitz hatte jemanden dort saß (es gab keine leeren Sitze) und
4. Kein Sitz hatte mehr als einen Schüler.

Der Ausbilder konnte zu dem Schluss kommen, dass es genauso viele Sitze wie Studenten gab, ohne die beiden Sets zu zählen.

Mathematische Beispiele und einige Nicht-Auszeichnungen

• Für jeden Satz X, das Identitätsfunktion 1_X: X → X, 1_X(x) = x ist bijektiv.
• Die Funktion f: R → R, f(x) = 2x + 1 ist bijektiv, da für jeden y Es gibt eine einzigartige x = (y - 1)/2 so dass f(x) = y. Allgemeiner jeder lineare Funktion über die Realität, f: R → R, f(x) = Axt + b (wo a IS ungleich Null) ist eine Bijektion. Jede reelle Zahl y wird aus (oder gepaart mit) der realen Zahl erhalten x = (y − b)/a.
• Die Funktion f: R → (−π/2, π/2), gegeben durch f(x) = Arctan (x) ist bijektiv, da jede reelle Zahl x ist mit genau einem Winkel gepaart y im Intervall (−π/2, π/2) so, dass tan (tan (y) = x (das ist, y = Arctan (x)). Wenn die Codomäne (−π/2, π/2) wurde größer gemacht, um ein ganzzahliges Vielfaches von π/2 einzuschließen, dann würde diese Funktion nicht mehr (surjektiv) sein, da es keine reelle Zahl gibt, die mit dem Vielfachen von π gepaart werden könnte /2 durch diese Arctan -Funktion.
• Das Exponentialfunktion, g: R → R, g(x) = e^x, ist nicht bijektiv: Zum Beispiel gibt es keine x in R so dass g(x) = –1, das das zeigt g ist nicht auf (surjektiv). Wenn die Codomäne jedoch auf die positiven reellen Zahlen beschränkt ist ${\ displayStyle \ mathbb {r} ^{+} \ äquiv \ links (0, \ infty \ rechts)}$, dann g wäre bijektiv; Seine Umkehrung (siehe unten) ist das Natürlicher Logarithmus Funktion ln.
• Die Funktion h: R → R⁺, h(x) = x² ist nicht bijektiv: Zum Beispiel, h(–1) = h(1) = 1 und zeigen das h ist nicht eins zu eins (injektiv). Aber wenn die Domain ist beschränkt auf $oder$, dann h wäre bijektiv; Seine Umkehrung ist die positive Quadratwurzelfunktion.
• Durch Cantor-Bernstein-Klöder-Theorem, gegebene zwei Sätze X und Yund zwei Injektivfunktionen f: X → y und g: Y → xEs gibt eine bijektive Funktion h: X → y.

Inversen

Eine Bijection f mit Domain X (angezeigt durch f: X → y in Funktionale Notation) definiert auch a Gegentliche Beziehung Beginn Y und gehen zu X (durch Drehen der Pfeile). Der Prozess des "Umdrehens der Pfeile" für eine willkürliche Funktion nicht. Im Algemeinen, ergeben eine Funktion, aber die Eigenschaften (3) und (4) einer Bijection sagen, dass diese inverse Beziehung eine Funktion mit Domäne ist Y. Darüber hinaus sagen die Eigenschaften (1) und (2) dann, dass diese inverse Funktion ist eine Übersicht und eine Injektion, das heißt, die Umkehrfunktion existiert und ist auch eine Bijektion. Funktionen mit inversen Funktionen sollen sein invertierbar. Eine Funktion ist nur dann invertierbar, wenn es sich um eine Bijektion handelt.

In prägnanter mathematischer Notation angegeben, eine Funktion f: X → y ist bijektiv, wenn und nur wenn es den Zustand erfüllt

für jeden y in Y Es gibt eine einzigartige x in X mit y = f(x).

Wenn Sie das Beispiel für Baseball-Schlaganfälle fortsetzen, wird die Funktion, die definiert wird, als Eingabe des Namens eines der Spieler und gibt die Position dieses Spielers in der Schlagreihenfolge aus. Da diese Funktion eine Bijection ist, hat sie eine umgekehrte Funktion, die eine Position in der Schlagreihenfolge als Eingabe einnimmt und den Spieler ausgibt, der in dieser Position schlägt.

Komposition

Das Komposition ${\ displayStyle g \, \ circ \, f}$ von zwei Bijeionen f: X → y und g: Y → z ist eine Bijektion, deren Umkehrung durch gegeben wird durch ${\ displayStyle g \, \ circ \, f}$ ist ${\ displayStyle (g \, \ circ \, f)^{-1} \; = \; (f^{-1}) \, \ circ \, (g^{-1})}$.

Umgekehrt, wenn die Komposition ${\ displayStyle g \, \ circ \, f}$ von zwei Funktionen ist bijektiv, nur folgt das nur f ist injektiv und g ist surjektiv.

Eine Bijection, die aus einer Injektion (links) und einer Überwachung (rechts) besteht.

Kardinalität

Wenn X und Y sind Finite -Setsdann gibt es eine Bijection zwischen den beiden Sätzen X und Y dann und nur dann, wenn X und Y haben die gleiche Anzahl von Elementen. In der Tat in Axiomatische Set -TheorieDies wird als Definition von "gleicher Anzahl von Elementen" angesehen (Äquinumerosität) und verallgemeinern diese Definition zu Unendliche Sets führt zum Konzept von Kardinalzahl, eine Möglichkeit, die verschiedenen Größen von unendlichen Sätzen zu unterscheiden.

Eigenschaften

• Eine Funktion f: R → R ist bijektiv, wenn und nur wenn es ist Graph trifft jede horizontale und vertikale Linie genau einmal.
• Wenn X ist ein Satz, dann die bijektiven Funktionen von X für sich selbst zusammen mit dem Betrieb der funktionalen Zusammensetzung (∘) Form a Gruppe, das Symmetrische Gruppe von X, was durch s (s unterschiedlich bezeichnet wirdX), S_X, oder X! (X Fakultät).
• Bijionionen erhalten Kardinalitäten von Sätzen: Für eine Untergruppe A der Domain mit Kardinalität |A| und Teilmenge B der Codomäne mit Kardinalität |B|, man hat den folgenden Gleichheiten:

  |f(A) | = |A| und |f^–1(B) | = |B|.

• Wenn X und Y sind Finite -Sets mit der gleichen Kardinalität und f: X → yund dann sind die folgenden gleichwertig:
  1. f ist eine Bijektion.
  2. f ist ein Umfrage.
  3. f ist ein Injektion.
• Für ein endliches Set SEs gibt eine Bijektion zwischen dem möglichen Satz Gesamtbestellungen der Elemente und der Reihe von Bijeionen von S zu S. Das heißt, die Anzahl der Anzahl von Permutationen von Elementen von S ist die gleiche wie die Anzahl der Gesamtreihenfolge dieses Satzes - nämlich, n!

Kategoriestheorie

Bijeionen sind genau die Isomorphismen in dem Kategorie Satz von Sets und Funktionen festlegen. Die Bijeionen sind jedoch nicht immer die Isomorphismen für komplexere Kategorien. Zum Beispiel in der Kategorie GRP von Gruppen, die Morphismen müssen sein Homomorphismen Da müssen sie die Gruppenstruktur bewahren, so dass die Isomorphismen sind Gruppe Isomorphismen die bijektiven Homomorphismen sind.

Verallgemeinerung auf Teilfunktionen

Der Begriff der Eins-zu-Eins-Korrespondenz verallgemeinert auf Teilfunktionen, wo sie genannt werden Teilbijektionen, obwohl partielle Biumionen nur injiziert werden müssen. Der Grund für diese Entspannung ist, dass eine (richtige) Teilfunktion für einen Teil seines Domäne bereits nicht definiert ist. Somit gibt es keinen zwingenden Grund, seine Umkehrung als a zu beschränken Gesamtfunktion, d.h. überall auf seiner Domäne definiert. Die Menge aller teilweisen Bijizeile auf einem bestimmten Basissatz wird als die genannt Symmetrische inverse Semigroup.^[4]

Eine andere Möglichkeit, dieselbe Vorstellung zu definieren A zu B ist eine BeziehungR (was sich als Teilfunktion herausstellt) mit der Eigenschaft, die R ist der Graph von eine Bijection f:EIN'→B', wo EIN' ist ein Teilmenge von A und B' ist eine Teilmenge von B.^[5]

Wenn die Teilbijektion am selben Satz ist, wird sie manchmal als a genannt Eins-zu-eins-Teil Transformation.^[6] Ein Beispiel ist das Möbius -Transformation Einfach auf der komplexen Ebene definiert und nicht in der ausgedehnten komplexen Ebene.^[7]

Galerie

Siehe auch

• Axe -Grothendieck -Theorem
• Bijection, Injektion und Überwachung
• Bijektive Numation
• Bijektiver Beweis
• Kategoriestheorie
• Mehrwertige Funktion

Anmerkungen

Verweise

Dieses Thema ist ein grundlegendes Konzept in der festgelegten Theorie und kann in jedem Text gefunden werden, der eine Einführung in die festgelegte Theorie enthält. Fast alle Texte, die sich mit einer Einführung in das Schreiben von Proofs befassen, enthalten einen Abschnitt in der festgelegten Theorie. Daher kann das Thema in einem derjenigen gefunden werden:

• Wolf (1998). Beweis, Logik und Vermutung: Die Toolbox eines Mathematikers. Freeman.
• Sundstrom (2003). Mathematisches Denken: Schreiben und Beweis. Prentice-Hall.
• Schmied; Eiern; St.Andre (2006). Ein Übergang zur fortgeschrittenen Mathematik (6. Aufl.). Thomson (Brooks/Cole).
• Schumacher (1996). KAPITEL NO: Grundlegende Vorstellungen der abstrakten Mathematik. Addison-Wesley.
• O'Leary (2003). Die Struktur des Beweises: mit Logik und fester Theorie. Prentice-Hall.
• Morash. Brücke zur abstrakten Mathematik. Beliebiges Haus.
• Maddox (2002). Mathematisches Denken und Schreiben. Harcourt/ Academic Press.
• Lay (2001). Analyse mit einer Einführung in den Beweis. Prentice Hall.
• Gilbert; Vanstone (2005). Eine Einführung in das mathematische Denken. Pearson Prentice-Hall.
• Fletcher; Patty. Grundlagen höherer Mathematik. PWS-Kent.
• Iglewicz; Stoyle. Eine Einführung in mathematische Argumentation. Macmillan.
• Devlin, Keith (2004). Sätze, Funktionen und Logik: Eine Einführung in die abstrakte Mathematik. Chapman & Hall/ CRC Press.
• D'Angelo; West (2000). Mathematisches Denken: Problemlösung und Beweise. Prentice Hall.
• Cupillari (1989). Die Muttern und Beweisschrauben. Wadsworth. ISBN 9780534103200.
• Bindung. Einführung in die abstrakte Mathematik. Brooks/Cole.
• Barnier; Feldman (2000). Einführung in die fortgeschrittene Mathematik. Prentice Hall.
• Asche. Ein Grunder der abstrakten Mathematik. Maa.

Externe Links

• "Bijection", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Bijection". Mathord.
• Früherste Verwendungen einiger der Mathematikwörter: Eintritt in Injektion, Umsetzung und Bijektion hat die Vorgeschichte der Injektion und verwandte Begriffe.