Axonometrie

Kavalierprojektion eines halbkreisförmigen Torbogens.

Axonometrie ist ein grafisches Verfahren Beschreibende Geometrie das erzeugt a planares Bild eines dreidimensionalen Objekts. Der Begriff "Axonometrie" bedeutet "zu messen Äxte"und zeigt an, dass die Maße und Skalierung der Koordinatenachsen spielen eine entscheidende Rolle. Das Ergebnis eines axonometrischen Verfahrens ist ein gleichmäßig skaliertes Verfahren Parallele Projektion des Objekts. Im Allgemeinen ist die resultierende parallele Projektion schräg (Die Strahlen sind nicht aufrecht zur Bildebene); Aber in besonderen Fällen ist das Ergebnis orthografisch (Die Strahlen sind senkrecht zur Bildebene), was in diesem Zusammenhang als als bezeichnet wird senkrecht Axonometrie.

Im technische Zeichnung und in die Architektur, axonometrische Perspektive ist eine Form von zweidimensional Repräsentation von dreidimensional Objekte, deren Ziel es ist, den Eindruck von zu bewahren Volumen oder Hilfe. Manchmal auch als schnelle Perspektive oder künstliche Perspektive bezeichnet konisch Perspektive und repräsentiert nicht das, was das Auge tatsächlich sieht: In partikulären parallelen Linien bleiben parallel und entfernte Objekte sind nicht reduziert. Es kann als eine konische Perspektivkonique angesehen werden, deren Zentrum in Unendlichkeit gedrängt wurde, d. H. Nur sehr weit vom beobachteten Objekt entfernt.

Der Begriff Axonometrie wird sowohl für das unten beschriebene grafische Verfahren als auch für das Bild verwendet produziert durch dieses Verfahren.

Axonometrie sollte nicht verwechselt werden mit Axonometrische Projektion, was in englischer Literatur normalerweise bezieht Orthogonale Axonometrie.

Prinzip der Axonometrie

Der Punkt ist die Projektion eines Punktes auf die Projektionsebene Π. Die Voraussetzungen sind , und .

Pohlke's Theorem ist die Grundlage für das folgende Verfahren zum Bau einer skalierten parallele Projektion eines dreidimensionalen Objekts:[1][2]

  1. Wählen Sie Projektionen der Koordinatenachsen so aus, dass alle drei Koordinatenachsen nicht zu einem einzigen Punkt oder einer einzelnen Linie zusammengefasst werden. Normalerweise ist die Z-Achse vertikal.
  2. Wählen Sie für diese Projektionen die Voraussetzungen, , und , wo
  3. Die Projektion von einem Punkt wird in drei Unterschritten bestimmt (das Ergebnis ist unabhängig von der Reihenfolge dieser Unterschritte):
    • An dem Punkt beginnen , bewegen in der Richtung von , dann
    • sich um den Betrag bewegen in der Richtung von , dann
    • sich um den Betrag bewegen in der Richtung von und schlussendlich
  4. Markieren Sie die endgültige Position als Punkt .

Um ungelebende Ergebnisse zu erzielen, wählen Sie die Projektionen der Achsen und Vorgaben sorgfältig aus (siehe unten). Um eine zu produzieren orthographische ProjektionNur die Projektionen der Koordinatenachsen werden frei ausgewählt; Die Voraussetzungen sind festgelegt (siehe De: Orthogonale Axonometrie).[3]

Die Wahl der Bilder der Achsen und der Forshortenings

Parameter und Notationen

Notation:

  • Winkel zwischen -Axis und -Achse
  • Winkel zwischen -Axis und -Achse
  • Winkel zwischen -Axis und -Achse.

Das Winkel kann so ausgewählt werden, dass
Das Forshortens:

Nur für geeignete Auswahlmöglichkeiten von Winkeln und Forshortens erhalten man ungelebte Bilder. Das nächste Diagramm zeigt die Bilder des Einheitswürfels für verschiedene Winkel und Forshortens und gibt einige Hinweise darauf, wie diese persönlichen Entscheidungen getroffen werden können.

Verschiedene axonometrische Bilder eines Einheitswürfels. (Die Bildebene ist parallel zur Y-Z-Ebene.)
Die linke und die weit rechte Bilder sehen eher wie verlängerte Quader anstelle eines Würfels aus.
Axonometrie (Kavalierperspektive) eines Hauses auf geprüftem Musterpapier.

Um die Zeichnung einfach zu halten, sollte man beispielsweise einfache Forshortenings wählen oder .

Wenn zwei Forshortieren gleich sind, wird die Projektion genannt dimetrisch.
Wenn die drei Forshortieren gleich sind, wird die Projektion aufgerufen isometrisch.
Wenn alle Forshorten unterschiedlich sind, wird die Projektion genannt trimetrisch.

Die Parameter im Diagramm rechts (z. B. des auf Diagrammpapiers gezogenen Hauses) sind: Daher ist es a dimetrisch Axonometrie. Die Bildebene ist parallel zur Y-Z-Ebene und jede planare Figur, die parallel zur Y-Z-Ebene in ihrer wahren Form erscheint.

Spezielle Axonometrien

Häufig verwendete Projektionen und Perspektiven mit Winkeln zwischen den transformierten Koordinatenachsen (α, β, γ), Winkel aus dem Horizont (α)h, βh, ohne γh = 90 °) und Skalierungsfaktoren (vi))
Name oder Eigenschaft α = testx̄z̄ β = schrenȳz̄ γ = testx̄ȳ αh βh vx vy vz v
Orthogonaler, orthografischer, planarer 90 ° 0 ° 270 ° 0 ° 270 ° v 0% irgendein
Trimetrisch 90 ° + αh 90 ° + βh 360 ° - α - β irgendein irgendein irgendein irgendein irgendein irgendein
Dimetrisch v
Isometrisch v
Normal 100%
Schräg, klinographisch < 90° < 90° irgendein irgendein irgendein Tan (αh))
Symmetrisch α 360 ° - 2 · α < 90° αh irgendein
Gleichwinklig 120 ° 30 °
Normal, 1: 1 isometrisch v 100%
Standard, verkürzt isometrisch ≈ 81%
Pixel, 1: 2 isometrisch 116,6 ° 126,9 ° Arctan (v)) 50%
Maschinenbau 131,4 ° 97,2 ° 131,4 ° Arccos ( 3/4) Bogenbogen ( 1/8)) 50% v 100%
Kavalier 90 ° + αh 90 ° 270 ° - α irgendein 0 ° irgendein
Kabinett, dimetrischer Kavalier < 100%
Standard, isometrischer Kavalier 135 ° 135 ° 45 ° v
Standard 1: 2 Schrank 50% v
30 ° Schrank 116,6 ° 153,4 ° Arctan (vx))
60 ° Schrank 153,4 ° 116,6 ° Arccot ​​(vx))
30 ° Cavalier 120 ° 150 ° 30 ° irgendein
Antenne, Vogelperspektive 135 ° 90 ° 45 ° v irgendein 100%
Militär v
Planometrisch 90 ° + αh 180 ° - αh irgendein 90 ° - αh irgendein
Normaler planometrischer 100%
Verkürzte planometrische 2/3 ≈ 67%
Parameter spezieller Axonometrien.

Ingenieurprojektion

In diesem Fall [4][5]

  • das Forshortens sind: (dimetrische Axonometrie) und
  • das Winkel Zwischen den Achsen befinden sich:

Diese Winkel sind auf vielen Deutschen markiert Setzen Sie Quadrate.

Vorteile einer Ingenieurprojektion:

  • einfache Vorgaben,
  • Eine gleichmäßig skalierte orthografische Projektion mit Skalierungsfaktor 1.06,
  • Die Kontur einer Kugel ist ein Kreis (im Allgemeinen eine Ellipse).

Für weitere Details: siehe DE: Axonometrie.

Kavalierperspektive, Kabinett Perspektive

  • Bildebene parallel zu Y-Z-Ebene.

In der Literatur sind die Begriffe "Cavalier Perspektive" und "Kabinettperspektive" nicht einheitlich definiert. Die obige Definition ist die allgemeinste. Oft werden weitere Einschränkungen angewendet.[6][7] Zum Beispiel:

Kabinett Perspektive: zusätzlich wählen (schräg) und (dimetrisch),
Kavalierperspektive: zusätzlich wählen (schräg) und (isometrisch).

Vögel Augensicht, Militärprojektion

  • Bildebene parallel zur X-Y-Ebene.
Militärprojektion: zusätzlich wählen (isometrisch).

Solche Axonometrien werden häufig für Stadtkarten verwendet, um die horizontalen Figuren nicht zu halten.

Isometrische Axonometrie

Standard -Isometrie: Würze, Quader, Haus und Kugel

(Nicht zu verwechseln mit einem Isometrie zwischen metrischen Räumen.)

Für ein isometrische Axonometrie Alle Forshorten sind gleich. Die Winkel können willkürlich ausgewählt werden, aber eine gemeinsame Wahl ist .

Für die Standard -Isometrie oder nur Isometrie Man wählt:

  • (Alle Äxte ungelastet)

Der Vorteil einer Standard -Isometrie:

  • Die Koordinaten können unverändert genommen werden,
  • Das Bild ist eine skalierte orthografische Projektion mit Skalierungsfaktor . Daher hat das Bild einen guten Eindruck und die Kontur einer Kugel ist ein Kreis.
  • Einige Computergrafiksysteme (zum Beispiel, xfig) Geben Sie einen geeigneten Raster (siehe Diagramm) als Unterstützung an.

Um die Skalierung zu verhindern, kann man die uneingeformten Forshorten wählen

  • (statt 1)

und das Bild ist eine (ungezogene) orthografische Projektion.

Verschiedene Axonometrien eines Turms
Dimetrische militärische Projektion: , Dimetrische Technik und Kavalierprojektionen: , isometrische Axonometrie:

Kreise in der Axonometrie

Eine parallele Projektion eines Kreises ist im Allgemeinen eine Ellipse. Ein wichtiger Sonderfall tritt auf, wenn die Ebene des Kreises parallel zur Bildebene ist - das Bild des Kreises ist dann ein kongruenter Kreis. Im Diagramm ist der in der vordere Gesicht enthaltene Kreis ungelastet. Wenn das Bild eines Kreises eine Ellipse ist, kann man vier Punkte auf orthogonalen Durchmessern und das umgebende Quadrat der Tangenten und im Bildparallelogramm eine Ellipse von Hand kartieren. Eine bessere, aber zeitaufwändigere Methode besteht darin, die Bilder von zwei senkrechten Durchmessern des Kreises zu zeichnen, die konjugierten Durchmesser der Bildelipse sind, die die Achsen der Ellipse mit bestimmen Rytz 'Konstruktion und Zeichnen der Ellipse.

Kugeln in der Axonometrie

In einer allgemeinen Axonometrie einer Kugel ist die Bildkontur eine Ellipse. Die Kontur einer Kugel ist ein Kreis nur in einem senkrecht Axonometrie. Da jedoch die Ingenieurprojektion und die Standard -Isometrie skalierte orthografische Projektionen sind, ist die Kontur einer Kugel auch in diesen Fällen ein Kreis. Wie das Diagramm zeigt, könnte eine Ellipse als Kontur einer Kugel verwirrend sein. Wenn also eine Kugel Teil eines Objekts ist, sollte man eine orthogonale Axonomie oder eine Ingenieurprojektion oder eine Standard -Isometrie auswählen.

Verweise

  • Graf, Ulrich; Barner, Martin (1961). Darstellende Geometrie. Heidelberg: Quelle & Meyer. ISBN 3-494-00488-9.
  • Fucke, Kirch Nickel (1998). Darstellende Geometrie. Leipzig: Fachbuch-Verlag. ISBN 3-446-00778-4.
  • Leopold, Cornelie (2005). Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Stuttgart: Kohlhammer Verlag. ISBN 3-17-018489-x.
  • Brailov, Aleksandr Yurievich (2016). Engineering Grafik: Theoretische Grundlagen der Engineering -Geometrie für das Design. Springer. ISBN 978-3-319-29717-0.
  • Stärk, Roland (1978). Darstellende Geometrie. Schöningh. ISBN 3-506-37443-5.
Anmerkungen
  1. ^ Graf 1961, p. 144.
  2. ^ Stärk 1978, p. 156.
  3. ^ Graf 1961, p. 145.
  4. ^ Graf 1961, p. 155.
  5. ^ Stärk 1978, p. 168.
  6. ^ Graf 1961, p. 95.
  7. ^ Stärk 1978, p. 159.

Externe Links