Axiomatisches System

Im Mathematik und Logik, ein Axiomatisches System ist jeder einstellen von Axiome von denen einige oder alle Axiome in Verbindung verwendet werden können logisch ableiten Theoreme. EIN Theorie ist ein konsistent, relativ selbst geschlossenes Wissenskörper, der normalerweise ein axiomatisches System und alle seine abgeleiteten Theoreme enthält. Ein vollständig beschriebenes axiomatisches System ist eine besondere Art von Art von formelles System. Eine formale Theorie ist ein axiomatisches System (normalerweise innerhalb von Inneren formuliert Modelltheorie) Das beschreibt eine Reihe von Sätzen, die unter logischer Implikation geschlossen sind.[1] A formeller Beweis ist eine vollständige Wiedergabe von a mathematischer Beweis Innerhalb eines formalen Systems.

Eigenschaften

Ein axiomatisches System soll sein konsistent Wenn es fehlt Widerspruch. Das heißt, es ist unmöglich, sowohl eine Aussage als auch ihre Negation aus den Axiomen des Systems abzuleiten. Die Konsistenz ist eine wichtige Anforderung für die meisten axiomatischen Systeme, da das Vorhandensein von Widersprüchen ermöglichen würde, dass jede Aussage nachgewiesen wird (nachgewiesen wird (Explosionsprinzip).

In einem axiomatischen System wird ein Axiom genannt unabhängig Wenn es nicht nachgewiesen oder von anderen Axiomen im System widerlegt werden kann. Ein System wird als unabhängig bezeichnet, wenn jedes seiner zugrunde liegenden Axiome unabhängig ist. Im Gegensatz zur Konsistenz ist die Unabhängigkeit keine notwendige Anforderung für ein funktionierendes axiomatisches System - obwohl sie normalerweise gesucht wird, um die Anzahl der Axiome im System zu minimieren.

Ein axiomatisches System wird genannt Komplett Wenn für jede Aussage entweder sich selbst oder ihre Negation aus den Axiomen des Systems abgeleitet werden kann (entsprechend ist jede Aussage in der Lage, wahr oder falsch erwiesen zu werden).[2]

Relative Konsistenz

Über die Konsistenz hinaus ist die relative Konsistenz auch die Marke eines lohnenden Axiomsystems. Dies beschreibt das Szenario, in dem die undefinierten Begriffe eines ersten Axiomsystems Definitionen aus einer zweiten bereitgestellt werden, so dass die Axiome der ersten Theoreme der zweiten sind.

Ein gutes Beispiel ist die relative Konsistenz von Absolute Geometrie in Bezug auf die Theorie der Theorie reales Zahlensystem. Linien und Punkte sind undefinierte Begriffe (auch genannt primitive Vorstellungen) In der absoluten Geometrie, aber zugewiesen in der Theorie realer Zahlen auf eine Weise, die mit beiden Axiomsystemen übereinstimmt.

Modelle

A Modell Für ein axiomatisches System ist ein gut definierter einstellen, die eine Bedeutung für die im System dargestellten undefinierten Begriffe zuweist, die mit den im System definierten Beziehungen korrekt ist. Die Existenz von a Betonmodell beweist die Konsistenz eines Systems[umstritten – diskutieren]. Ein Modell heißt Beton Wenn die zugewiesenen Bedeutungen Objekte und Beziehungen aus der realen Welt sind[Klarstellung erforderlich]im Gegensatz zu einem Zusammenfassung Modell das basiert auf anderen axiomatischen Systemen.

Modelle können auch verwendet werden, um die Unabhängigkeit eines Axioms im System zu zeigen. Durch den Bau eines gültigen Modells für ein Subsystem ohne ein bestimmtes Axiom zeigen wir, dass das ausgelassene Axiom unabhängig ist, wenn seine Korrektheit nicht unbedingt aus dem Subsystem folgt.

Zwei Modelle sollen sein isomorph Wenn eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen ihren Elementen gefunden werden kann, ist es in einer Weise, die ihre Beziehung bewahrt.[3] Ein axiomatisches System, für das jedes Modell zu einem anderen isomorph ist Kategorie (manchmal Kategorisch). Die Eigenschaft der Kategorialität (Kategorizität) gewährleistet die Vollständigkeit eines Systems, das Umkehrung ist jedoch nicht der Fall: Vollständigkeit gewährleistet die Kategorialität (Kategorizität) eines Systems nicht, da sich zwei Modelle in Eigenschaften unterscheiden können, die nicht von der ausgedrückt werden können Semantik vom System.

Beispiel

Beobachten Sie als Beispiel das folgende axiomatische System basierend auf Logik erster Ordnung mit zusätzlicher Semantik der folgenden Zählerlich unendlich viele Axiome hinzugefügt (diese können leicht als formalisiert werden als Axiomschema):

(informell gibt es zwei verschiedene Elemente).
(informell gibt es drei verschiedene Elemente).

In diesem unendlichen Satz von Axiomen gibt es informell fest, dass es unendlich viele verschiedene Elemente gibt. Das Konzept von einem jedoch Infinite Set kann nicht im System definiert werden - geschweige denn in Kardinalität von solchen fest.

Das System hat mindestens zwei verschiedene Modelle - einer ist das natürliche Zahlen (isomorph zu jedem anderen zählich unendlichen Satz) und eine andere sind die realen Zahlen (isomorph für jeden anderen Satz mit dem Kardinalität des Kontinuums). Tatsächlich hat es eine unendliche Anzahl von Modellen, eine für jede Kardinalität eines unendlichen Satzes. Die Eigenschaft, die diese Modelle unterscheidet, ist jedoch ihre Kardinalität - eine Eigenschaft, die im System nicht definiert werden kann. Somit ist das System kein Kategorien. Es kann jedoch gezeigt werden, dass es vollständig ist.

Axiomatische Methode

Die Angabe von Definitionen und Aussagen auf eine Weise, so dass jeder neue Begriff durch die vorbehaltlich eingeführten Begriffe offiziell beseitigt werden kann unendlich zurückgeblieben. Diese Art der Mathematik wird die genannt Axiomatische Methode.[4]

Eine häufige Haltung gegenüber der axiomatischen Methode ist Logicismus. In ihrem Buch Principia Mathematica, Alfred North Whitehead und Bertrand Russell versuchte zu zeigen, dass jede mathematische Theorie auf eine Sammlung von Axiomen reduziert werden könnte. Allgemeiner ist die Verringerung einer Aussagekasse zu einer bestimmten Sammlung von Axiomen dem Forschungsprogramm des Mathematikers zugrunde. Dies war sehr prominent in der Mathematik des 20. Jahrhunderts, insbesondere in Themen, die darauf beruhen Homologische Algebra.

Die Erklärung der bestimmten Axiome, die in einer Theorie verwendet werden, kann dazu beitragen, ein geeignetes Abstraktionsniveau zu klären, mit dem der Mathematiker gerne arbeiten würde. Zum Beispiel haben die Mathematiker das entschieden Ringe muss nicht sein kommutativ, was sich von unterschiedlich unterschieden Emmy Noetherursprüngliche Formulierung. Mathematiker beschlossen zu berücksichtigen Topologische Räume allgemeiner ohne die ohne die Trennungs Axiom die Felix Hausdorff ursprünglich formuliert.

Das Zermelo-Fraenkel-Set-Theorie, Ein Ergebnis der axiomatischen Methode, die auf die festgelegte Theorie angewendet wurde, erlaubte die "ordnungsgemäße" Formulierung von Set-Theory-Problemen und half dabei, die Paradoxe von zu vermeiden Naive Set -Theorie. Ein solches Problem war das Kontinuumshypothese. Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie mit der historisch kontroversen Axiom der Wahl enthalten, wird üblicherweise abgekürzt ZFC, wo "C" für "Choice" steht. Viele Autoren verwenden Zf sich auf die Axiome der Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie mit dem ausgeschlossenen Axiom der Wahl zu beziehen.[5] Heute ist ZFC die Standardform von Axiomatische Set -Theorie und als solches ist das häufigste Grundlage der Mathematik.

Geschichte

Weitere Informationen: Geschichte der Mathematik

Mathematische Methoden entwickelten sich zu einem gewissen Grad an Raffinesse im alten Ägypten, Babylon, Indien und China anscheinend ohne die axiomatische Methode.

Euklid von Alexandria verfasst die früheste vorhandene axiomatische Darstellung von Euklidische Geometrie und Zahlentheorie. Im 19. Jahrhundert wurden viele axiomatische Systeme entwickelt, einschließlich Nichteuklidische Geometrie, die Grundlagen von Echte Analyse, Kantor's Mengenlehre, FregeArbeiten an Stiftungen und Hilbert's' neue 'Verwendung der axiomatischen Methode als Forschungsinstrument. Zum Beispiel, Gruppentheorie wurde zuerst gegen Ende dieses Jahrhunderts auf axiomatische Basis gebracht. Sobald die Axiome geklärt waren (das inverse Elemente sollte zum Beispiel erforderlich sein), das Subjekt könnte autonom vorgehen, ohne Bezug auf die Transformationsgruppe Ursprünge dieser Studien.

Ausgaben

Nicht jeder konsequente Satz von Sätzen kann durch eine beschreibebare Sammlung von Axiomen erfasst werden. In der Rekursionstheorie heißt eine Sammlung von Axiomen rekursiv Wenn ein Computerprogramm erkennen kann, ob ein bestimmter Satz in der Sprache ein Satz ist. Gödels erster Unvollständigkeitstheorem Dann sagt uns, dass es bestimmte konsistente Körperkörper ohne rekursive Axiomatisierung gibt. Normalerweise kann der Computer die Axiome und logischen Regeln für die Ableitung von Theoreme erkennen, und der Computer kann erkennen, ob ein Beweis gültig ist, um jedoch festzustellen, ob ein Beweis für eine Erklärung vorhanden ist generiert. Das Ergebnis ist, dass man nicht weiß, welche Aussagen Theoreme sind und die axiomatische Methode zusammenbricht. Ein Beispiel für einen solchen Satz von Sätzen ist die Theorie der Theorie der natürliche Zahlen, was nur teilweise von der axiomatisiert wird Peano -Axiome (nachstehend beschrieben).

In der Praxis wird nicht jeder Beweis auf die Axiome zurückgeführt. Manchmal ist nicht einmal klar, welche Ansammlung von Axiomen ein Beweis für einen Beweis anspricht. Zum Beispiel könnte eine nummer-theoretische Aussage in der Sprache der Arithmetik (d. H. Die Sprache der Erdgüter-Axiome) ausdrücklich sein, und ein Beweis könnte gegeben werden, die ansprechen Topologie oder Komplexe Analyse. Es ist möglicherweise nicht sofort klar, ob ein weiterer Beweis gefunden werden kann, der sich ausschließlich von den Peano -Axiomen ableitet.

Etwas mehr oder weniger willkürlich ausgewähltes System von Axiomen ist die Grundlage für eine mathematische Theorie, aber ein solches willkürliches axiomatisches System ist nicht unbedingt frei von Widersprüchen, und selbst wenn es so ist, ist es wahrscheinlich kein Licht auf irgendetwas. Philosophen der Mathematik behaupten manchmal, dass Mathematiker Axiome "willkürlich" wählen, aber es ist möglich, dass sie zwar willkürlich erscheinen, wenn sie nur aus der Sicht der Kanonen der deduktiven Logik betrachtet werden, diese Erscheinung auf eine Einschränkung der deduktiven Zwecke zurückzuführen ist, die deduktiv sind Logik dient.

Beispiel: Die Peano -Axiomatisierung natürlicher Zahlen

Hauptartikel: Peano -Axiome

Das mathematische System von natürliche Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, ... basiert auf einem axiomatischen System, das zum ersten Mal vom Mathematiker entwickelt wurde Giuseppe Peano 1889. Er wählte die Axiome in der Sprache eines einzelnen Unärtungssymbols aus S (kurz für "Nachfolger"), damit die natürliche Zahlen sind:

  • Es gibt eine natürliche Nummer 0.
  • Jede natürliche Zahl a hat einen Nachfolger, bezeichnet von Sa.
  • Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
  • Unterschiedliche natürliche Zahlen haben unterschiedliche Nachfolger: wenn a ≠ b, dann Sa ≠ Sb.
  • Wenn eine Eigenschaft von 0 und auch vom Nachfolger jeder natürlichen Zahl besessen ist, ist es von allen natürlichen Zahlen besessen ("("Induktion Axiom").

Axiomatisierung

Im Mathematik, Axiomatisierung ist der Prozess, einen Wissensgrad zu nehmen und rückwärts in Richtung seiner Axiome zu arbeiten. Es ist die Formulierung eines Anweisungssystems (d. H. Axiome) die eine Reihe von primitiven Begriffen beziehen - damit a konsistent Körper von Aussagen kann abgeleitet werden deduktiv Aus diesen Aussagen. Danach die nachweisen von jedem Satz sollte im Prinzip zurück zu diesen Axiomen zurückzuführen sein.

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Theorie". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 2019-10-31.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Vollständige axiomatische Theorie". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 2019-10-31.
  3. ^ Hodges, Wilfrid; Scanlon, Thomas (2018), "Modelltheorie erster Ordnung"in Zalta, Edward N. (Hrsg.), Die Stanford -Enzyklopädie der Philosophie (Winter 2018 Hrsg.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, abgerufen 2019-10-31
  4. ^ "Festgelegte Theorie und ihre Philosophie, eine kritische Einführung S.6; Michael Potter, Oxford, 2004
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Zermelo-Fraenkel-Axiome". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 2019-10-31.

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