Augustus De Morgan

Augustus de Morgan
De Morgan Augustus.jpg
Geboren 27. Juni 1806
Gestorben 18. März 1871 (64 Jahre)
London, England
Staatsangehörigkeit britisch
Alma Mater Trinity College, Cambridge
Bekannt für De Morgans Gesetze
De Morgan Algebra
De Morgan Hierarchie
Beziehungalgebra
Universelle Algebra
Wissenschaftliche Karriere
Felder Mathematiker und Logiker
Institutionen University College London
Universitätsschule
Akademische Berater John Philips Higman
George Peacock
William Whewell
Bemerkenswerte Schüler Edward Routh
James Joseph Sylvester
Frederick Guthrie
William Stanley Jevons
Ada Lovelace
Francis Guthrie
Stephen Joseph Perry
Einflüsse George Boole
Beeinflusst Thomas Corwin Mendenhall
Isaac Todhunter
Anmerkungen
Er war der Vater von William de Morgan.

Augustus de Morgan (27. Juni 1806 - 18. März 1871) war ein Briten Mathematiker und Logiker. Er formulierte De Morgans Gesetze und führte den Begriff ein mathematische Induktion, seine Idee streng machen.[1]

Biografie

Kindheit

Augustus de Morgan wurde in geboren Madurai, Indien im Jahr 1806. [2] [a] Sein Vater war Oberstleutnant John de Morgan (1772–1816), der verschiedene Termine im Dienst des Dienstes abhielt Ostindische Kompanie. Seine Mutter, Elizabeth de Morgan (geb. Dodson, 1776–1856), war ein Nachkomme von James Dodson, der eine Tabelle von Anti-Logarithmen berechnet hat (umgekehrt Logarithmen). Augustus de Morgan wurde ein oder zwei Monate nach seiner Geburt in einem Auge blind. Die Familie zog nach England, als Augustus sieben Monate alt war. Als sein Vater und sein Großvater beide in Indien geboren worden waren, sagte De Morgan immer, dass er weder Englisch noch schottisch oder irisch, sondern ein Briten "ungezogen" unter Verwendung des technischen Begriffs, der an einen Student von angewendet wurde Oxford oder Cambridge Wer ist kein Mitglied eines der Colleges.

Als De Morgan zehn Jahre alt war, starb sein Vater. [2] Frau de Morgan wohnte an verschiedenen Orten im Südwesten Englands, und ihr Sohn erhielt seine Grundschulbildung an verschiedenen Schulen mit keinem großartigen Bericht. Seine mathematischen Talente blieben unbemerkt, bis er vierzehn Jahre alt war, als ein Familienfreund entdeckte Euklid'S funktioniert mit a Lineal und Zirkel. [2]

Er erhielt seine Sekundarschulbildung von Herrn Parsons, einem Fellow von Oriel College, Oxford, der Klassiker besser schätzte als Mathematik. Seine Mutter war ein aktives und leidenschaftliches Mitglied der Kirche von Englandund wünschte, ihr Sohn sollte Geistlicher werden, aber zu dieser Zeit hatte De Morgan begonnen, seine zu zeigen nicht konform Anordnung. Er wurde Atheist.[3][4]

Es gibt ein Wort in unserer Sprache, mit dem ich dieses Thema nicht verwirren werde, sowohl aufgrund der unehrlichen Verwendung, die häufig daraus gemacht wird, als eine von einer Sekte auf eine andere Sekte geworfene Imputation und der Vielzahl von damit verbundenen Bedeutung. Ich werde das Wort Antideismus verwenden, um die Meinung zu bezeichnen, dass es keinen Schöpfer gibt, der das Universum gemacht und aufrechterhält.

Universitäts Bildung

Im Jahr 1823 trat er im Alter von sechzehn Jahren ein Trinity College, Cambridge,[5] wo er unter dem Einfluss von kam George Peacock und William Whewell, der seine lebenslangen Freunde wurde; Aus ersterer stellte er ein Interesse an der Renovierung von Algebra und aus dem letzteren ein Interesse an der Renovierung der Logik - den beiden Themen seiner zukünftigen Lebensarbeit. Sein College -Tutor war John Philips Higman, FRS (1793–1855).

Am College spielte er das Flöte für Erholung und war in den Musikclubs prominent. Seine Liebe zum Wissen um sich selbst störte das Training für die große mathematische Rasse; Infolgedessen wurde er Vierter heraus Wrangler. Dies berechtigte ihn bis zum Bachelor of Arts; aber um den höheren Grad von zu nehmen Meister der Künste und dadurch berechtigt für eine Gemeinschaft, dass es dann notwendig war, einen theologischen Test zu bestehen. Bei der Unterzeichnung eines solchen Tests war De Morgan einen starken Einspruch, obwohl er in der Kirche von England erzogen worden war. Um 1875 wurden theologische Tests auf akademische Abschlüsse an den Universitäten Oxford und Cambridge abgeschafft.

London University

Da ihm an seiner eigenen Universität keine Karriere offen war, beschloss er, in die Bar zu gehen, und nahm in London nieder. Aber er liebte es viel vor, Mathematik zum Lesen von Recht zu lehren. Ungefähr zu dieser Zeit die Bewegung zur Gründung der London University (jetzt University College London) Form angenommen. Die beiden alten Universitäten von Oxford und Cambridge wurden von theologischen Tests so bewacht, dass kein Jude oder Dissens außerhalb der Church of England als Student eintreten konnte, noch weniger in ein Amt ernannt werden. Eine Körperschaft liberal denkender Männer beschloss, die Schwierigkeit zu befriedigen, indem er in London eine Universität nach dem Prinzip der religiösen Neutralität einrichtete. De Morgan, damals 22 Jahre alt, wurde zum Professor für Mathematik ernannt. Sein einleitender Vortrag "über das Studium der Mathematik" ist ein Diskurs über die geistige Erziehung von dauerhaftem Wert und wurde kürzlich in den USA nachgedruckt.

Die Londoner Universität war eine neue Institution, und die Beziehungen des Verwaltungsrates, des Senats der Professoren und der Studentenschaft waren nicht gut definiert. Es entstand ein Streit zwischen dem Professor für Anatomie und seinen Studenten, und infolge der vom Rat ergriffenen Maßnahmen traten mehrere Professoren zurück, die von De Morgan geleitet wurden. Ein weiterer Professor für Mathematik wurde ernannt, der dann einige Jahre später ertrank. De Morgan hatte sich ein Prinz der Lehrer gezeigt: Er wurde eingeladen, zu seinem Stuhl zurückzukehren, was danach dreißig Jahre lang zum kontinuierlichen Zentrum seiner Arbeit wurde.

Die gleiche Person von Reformatoren - der von der Köpfe von Lord Brougham, ein Schotter, der sowohl in der Wissenschaft als auch in der Politik hervorgeht, die die London University eingeleitet hatte - ungefähr zur gleichen Zeit a Gesellschaft zur Verbreitung nützlicher Wissen. Sein Ziel war es, wissenschaftliche und andere Kenntnisse durch billige und klar geschriebene Abhandlungen der besten Schriftsteller dieser Zeit zu verbreiten. Einer der voluminosen und effektivsten Schriftsteller war de Morgan. Er schrieb eine großartige Arbeit darüber Der Differential- und Integralkalkül das wurde von der Gesellschaft veröffentlicht; und er schrieb ein Sechstel der Artikel in der Penny Cyclopedia, veröffentlicht von der Gesellschaft und in Penny -Zahlen herausgegeben. Als de Morgan in London wohnte, fand er einen sympathischen Freund in William FrendTrotz seiner mathematischen Häresie über negative Mengen. Beide waren Arithmiker und Aktuare, und ihre religiösen Ansichten waren etwas ähnlich. Frend lebte in einem Vorort von London, in einem Landhaus, das früher von besetzt war von Daniel Defoe und Isaac Watts. De Morgan mit seiner Flöte war ein willkommener Besucher.

Die Londoner Universität, von der de Morgan Professor war, war eine andere Institution als die Universität von London. Die University of London wurde etwa zehn Jahre später von der Regierung gegründet, um nach der Prüfung einen Abschluss zu gewähren, ohne dass es sich um einen Wohnsitz handelt. Die London University wurde als Lehrkolleg an der University of London angeschlossen und ihr Name wurde in das University College geändert. Die University of London war kein Erfolg als prüfender Körper. Eine Lehruniversität wurde verlangt. De Morgan war ein sehr erfolgreicher Lehrer für Mathematik. Es war sein Plan, eine Stunde lang einen Vortrag zu machen und am Ende jedes Vortrags eine Reihe von Problemen und Beispielen herauszugeben, die das Thema veranschaulichen, über das er vorliegt; Seine Schüler mussten sich zu ihnen hinsetzen und ihm die Ergebnisse bringen, die er vor dem nächsten Vortrag überarbeitete und überarbeitete. Nach der Meinung von de Morgan überwogen ein gründliches Verständnis und eine mentale Assimilation großer Prinzipien bei weitem die Bedeutung, die lediglich analytische Geschicklichkeit bei der Anwendung von halb verstärkten Prinzipien auf bestimmte Fälle aufweist.

Während dieser Zeit förderte er auch die Arbeit des autodidaktischen indischen Mathematikers Ramchundra, der de Morgan's genannt wurde Ramanujan. Er beaufsichtigte die Veröffentlichung in London von Ramchundras Buch Abhandlung über Probleme von Maxima und Minima 1859. In seinem Vorwort zu dieser Ausgabe schrieb De Morgan:

Bei der Untersuchung dieser Arbeit habe ich darin gesehen, nicht nur verdient der Ermutigung verdient, sondern verdient eine besondere Art, deren Ermutigung, wie es mir erschien, wahrscheinlich die einheimische Bemühungen für die Wiederherstellung des einheimischen Geistes in Indien fördern.

Im gleichen Vorwort erkannte er sein Bewusstsein für die indische Tradition der Logik an und schrieb später 1860 erneut von ihrer Bedeutung:

"Die beiden Rennen, die die Mathematik gegründet haben, die der Sanscrit- und griechischen Sprachen, waren die beiden, die unabhängig logische Systeme gebildet haben.[6]

Obwohl die Raffinesse von Indischer logischer Gedanke Es wurde von einer Reihe von Autoren ab dem späten 18. Jahrhundert von einer Reihe von Autoren aufmerksam gemacht, es ist nicht bekannt, ob dies einen Einfluss auf die eigene Arbeit von De Morgan hatte. Mary Boole behauptete jedoch einen tiefgreifenden Einfluss - über ihren Onkel George Everest - des indischen Denkens im Allgemeinen und der indischen Logik im Besonderen auf George Boolesowie auf de Morgan und Charles Babbage:

Überlegen Sie, was die Wirkung der intensiven Hinduisierung von drei Männern wie Babbage, de Morgan und George Boole auf die mathematische Atmosphäre von 1830 bis 1865 gewesen sein muss. Welche Aktie hatte es bei der Erzeugung der Vektoranalyse Und die Mathematik, nach welchen Untersuchungen in der Physik jetzt durchgeführt werden?[7]

Jonardon Ganeri hat beobachtet, dass es diese Zeit des Mitte des neunzehnten Jahrhunderts von Mary Boole war, in der George Boole (1815–1864) und Augustus de Morgan (1806–1871) ihre Pionieranwendungen von algebraischen Ideen zur Formulierung von Logik gemacht haben (algebraische Logik und Boolesche Logik) und hat vorgeschlagen, dass diese Zahlen wahrscheinlich des indischen Logiksystems bewusst waren und dass ihr Bewusstsein für die Mängel der Aussagenlogik, wie sie dann formuliert wurde logische Tradition.[8]

Familie

Augustus war eines von sieben Kindern, von denen vier bis zum Erwachsenenalter überlebten.

  • Eliza (1801–1836) heiratete Lewis Hensley, einen Chirurg, der in Bath lebte.
  • Augustus (1806–1871)
  • George (1808–1890), ein Rechtsanwalt, der Josephine, Tochter von Vizeadmiral Josiah Coghill, 3. Baronet Coghill heiratete, heiratete
  • Campbell Greig (1811–1876), ein Chirurg im Middlesex Hospital

Im Herbst 1837 heiratete er Sophia Elizabeth Frend (1809–1892), älteste Tochter von William Frend (1757–1841) und Sarah Blackburne (1779–?), Eine Enkelin von Francis Blackburne (1705–1787), Erzdiakon von Cleveland.[9]

De Morgan hatte drei Söhne und vier Töchter, darunter der Märchenautor Mary de Morgan. Sein ältester Sohn war der Töpfer William de Morgan. Sein zweiter Sohn George erwarb am University College und an der University of London die Auszeichnung in Mathematik. Er und ein anderer gleichgesinnter Alumnus konzipierten die Idee, eine mathematische Gesellschaft in London zu gründen, in der mathematische Papiere nicht nur erhalten würden (wie von der königliche Gesellschaft) aber tatsächlich lesen und besprochen. Das erste Treffen fand am University College statt; De Morgan war der erste Präsident, sein Sohn der erste Sekretär. Es war der Beginn der London Mathematical Society.

Ruhestand und Tod

Augustus de Morgan.

1866 fiel der Vorsitzende für mentale Philosophie am University College frei. James Martineau, a Unitarisch Geistlicher und Professor für mentale Philosophie wurde vom Senat dem Rat formell empfohlen. Aber im Rat gab es einige, die sich gegen einen Initärer und andere, die gegen die theistische Philosophie protestierten, protestierten. Ein Laien der Schule von Bain und Spencer ernannt. De Morgan war der Ansicht, dass der alte Standard der religiösen Neutralität heruntergezogen worden war und sofort zurückgetreten sei. Er war jetzt 60 Jahre alt. Seine Schüler sicherten ihm eine Rente von 500 P.A., aber es folgten Unglücksfälle. Zwei Jahre später war sein Sohn George-der "jüngere Bernoulli", wie Augustus ihn liebte, ihn in Anspielung auf die bedeutenden Vater-Sohn-Mathematiker dieses Namens zu hören. Auf diesem Schlag folgte der Tod einer Tochter. Fünf Jahre nach seinem Rücktritt vom University College de Morgan starb an der University College nervöse Niederwerfung am 18. März 1871.

Mathematische Arbeit

De Morgan war ein brillanter und witziger Schriftsteller, sei es als kontroverser oder als Korrespondent. In seiner Zeit blühte zwei Sir William Hamiltons auf, die oft zusammengebunden wurden. Jemand war Sir William Hamilton, 9. Baronet, ein Schotter, Professor für Logik und Metaphysik am Universität von Edinburgh; Der andere war ein Ritter (dh den Titel gewann), ein Iren, Professor an Astronomy an der Universität von Dublin. Das Baronet trug zur Logik bei, insbesondere zur Quantifizierung des Prädikats; Der Ritter, dessen vollständiger Name war William Rowan Hamilton, insbesondere zur Mathematik beigetragen Geometrische Algebraund beschrieb das zuerst die Quaternionen. De Morgan interessierte sich für die Arbeit beider und entsprach beiden; Aber die Korrespondenz mit dem Schotten endete in einer öffentlichen Kontroverse, während dies mit dem Iren von Freundschaft geprägt und nur vom Tod gekündigt wurde. In einem seiner Briefe an Rowan sagt de Morgan:

Sei es Ihnen bekannt, dass ich entdeckt habe, dass Sie und der andere Sir W. H. gegen mich gegenseitige Polare sind (intellektuell und moralisch, denn das schottische Baronet ist ein Eisbären, und Sie, ich wollte sagen, sind ein Eisen -Gentleman, der polaren Gentleman ist ). Als ich ein wenig Untersuchung nach Edinburgh sende, sagt der W. H. von diesem Ilk, dass ich es ihm genommen habe. Wenn ich dir eins schicke, nimmst du es mir aus, verallgemeinerst es auf einen Blick, schenkt es so auf die Gesellschaft insgesamt und machen mich zum zweiten Entdecker eines bekannten Satzes.

Die Korrespondenz von de Morgan mit Hamilton, dem Mathematiker, erstreckte sich über vierundzwanzig Jahre; Es enthält Diskussionen nicht nur von mathematischen Angelegenheiten, sondern auch von Themen von allgemeinem Interesse. Es ist durch die Genialität von Hamilton und durch De Morgan gekennzeichnet. Das Folgende ist ein Exemplar: Hamilton schrieb:

Meine Kopie von Berkeleys Arbeit gehört nicht mir; Wie Berkeley, weißt du, ich bin ein Iren.

De Morgan antwortete:

Ihr Satz "Meine Kopie gehört nicht meins" ist kein Stier. Es ist vollkommen gut Englisch, dasselbe Wort in zwei verschiedenen Sinnen in einem Satz zu verwenden, insbesondere wenn es verwendet wird. Inkongruenz der Sprache ist kein Stier, denn sie drückt Bedeutung aus. Aber die Inkongruenz von Ideen (wie im Fall des Iren, der das Seil hochzog, und feststellte, dass es nicht fertig war, schrie er, dass jemand das andere Ende abgeschnitten hatte) der echte Stier.

De Morgan war voller persönlicher Besonderheiten. Anlässlich der Installation seines Freundes Lord Brougham als Rektor der Universität von Edinburgh bot der Senat ihm an, ihm den Ehrendienst von LL zu verleihen. D.; Er lehnte die Ehre als Fehlbezeichnung ab. Er druckte einmal seinen Namen: Augustus de Morgan, H - o - m - o - p - a - u - c - a - r - u - m - l - i - t - e - r - a - r - u - m (Latein für "Mann mit wenigen Buchstaben").

Er mochte die Provinzen außerhalb Londons nicht und während seine Familie das Meer genoss und Männer der Wissenschaft eine gute Zeit bei einem Treffen der Britische Vereinigung Im Land blieb er in den heißen und staubigen Bibliotheken der Metropole. Er sagte, dass er sich Lust auf Sokrates, wer erklärte, je weiter er von er stammte Athen Je weiter er vom Glück war. Er versuchte nie, ein zu werden Fellow der Royal Societyund er nahm nie an einem Treffen der Gesellschaft teil; Er sagte, dass er mit dem physischen Philosoph keine Ideen oder Sympathien gemeinsam hatte. Seine Haltung war möglicherweise auf seine physische Gebrechlichkeit zurückzuführen, die ihn daran hinderte, entweder ein Beobachter oder ein Experimentator zu sein. Er stimmte nie über eine Wahl ab und er habe die nie besucht Unterhaus, das Tower of London oder Westminster Abbey.

Wären die Schriften von De Morgan, wie seine Beiträge zur nützlichen Wissensgesellschaft, die in Form von gesammelten Werken veröffentlicht wurden, eine kleine Bibliothek bilden. Vor allem durch die Bemühungen von Peacock und Whewell war in Cambridge eine philosophische Gesellschaft eingeweiht worden, und De Morgan trug vier Memoiren zu ihren Transaktionen zu den Grundlagen der Algebra und einer gleichen Anzahl auf die formale Logik bei. Die beste Präsentation seiner Sicht auf Algebra findet sich in einem Band mit dem Titel "Mit dem Titel" Trigonometrie und Doppelalgebra, veröffentlicht 1849; und seine frühere Sicht auf die formale Logik findet sich in einem 1847 veröffentlichten Band. Seine markanteste Arbeit ist gestaltet Ein Budget von Paradoxien; Es erschien ursprünglich als Buchstaben in den Spalten der Spalten Athenäum Tagebuch; Es wurde in den letzten Jahren seines Lebens von De Morgan überarbeitet und erweitert und posthum von seiner Witwe veröffentlicht.

George Peacocks Algebra -Theorie wurde stark verbessert durch D. F. Gregory, ein jüngeres Mitglied der Cambridge School, der nicht auf die Beständigkeit äquivalenter Formen, sondern auf die Beständigkeit bestimmter formaler Gesetze belastet wurde. Diese neue Theorie der Algebra als Wissenschaft der Symbole und ihrer Kombinationsgesetze wurde von De Morgan zu ihrem logischen Problem übertragen; und seine Doktrin zu diesem Thema folgt immer noch von englischen Algebraisten im Allgemeinen. Daher George Chrystal findet seine Lehrbuch von Algebra über De Morgans Theorie; Obwohl ein aufmerksamer Leser bemerken kann, dass er es praktisch aufgreift, wenn er das Thema unendliche Serie aufnimmt. De Morgans Theorie wird in seinem Band angegeben Trigonometrie und Doppelalgebra, wo in Buch II, Kapitel II, "über symbolische Algebra", schreibt er:

Wenn wir die Bedeutungen von Symbolen aufgeben, geben wir auch die der Wörter auf, die sie beschreiben. Daher Zusatz ist zur Gegenwart zu einem soliden Sinn. Es handelt sich um eine Art der Kombination, die durch dargestellt wird durch ; Wenn erhält seine Bedeutung, so wird auch das Wort Zusatz. Es ist am wichtigsten, dass der Schüler das bedenken sollte, mit einer Ausnahme, weder ein Wort noch ein Zeichen von Arithmetik oder Algebra hat in diesem Kapitel ein Sinn von Bedeutung, dessen Objekt ist Symbole und ihre Gesetze der Kombination, geben a Symbolische Algebra das kann später die Grammatik von hundert unterschiedlich werden signifikante Algebren. Wenn jemand das behaupten würde und könnte Belohnung und Bestrafung bedeuten, und , , usw. könnte für Tugenden und Laster stehen, der Leser könnte ihm glauben oder ihm widersprechen, wie er gefällt - aber nicht aus Dies Kapitel.

Die obige Ausnahme, die festgestellt wurde, die einen Anteil von Bedeutung hat, ist das Zeichen zwischen zwei Symbolen platziert, wie in . Es zeigt an, dass die beiden Symbole die gleiche daraus resultierende Bedeutung haben, durch die unterschiedlichen Schritte. Dass und , wenn Mengen, die gleiche Menge an Menge sind; dass wenn Operationen den gleichen Effekt haben usw.

Trigonometrie und Doppelalgebra

De Morgans Arbeit mit dem Titel " Trigonometrie und Doppelalgebra[10] besteht aus zwei Teilen; Ersteres ist eine Abhandlung auf Trigonometrieund letztere eine Abhandlung über verallgemeinerte Algebra, die er "Doppelalgebra" nannte. Die erste Stufe in der Entwicklung von Algebra ist Arithmetik, wo nur natürliche Zahlen und Symbole von Operationen wie z. +, ×usw. werden verwendet. Die nächste Stufe ist Universelle Arithmetik, wo Buchstaben anstelle von Zahlen erscheinen, um Zahlen allgemein zu bezeichnen, und die Prozesse werden durchgeführt, ohne die Werte der Symbole zu kennen. Lassen a und b bezeichnen natürliche Zahlen. Ein Ausdruck wie z. ab kann immer noch unmöglich sein, daher gibt es in universeller Arithmetik immer eine Vorbehalts. vorausgesetzt, der Betrieb ist möglich. Die dritte Stufe ist Einzelalgebra, wo das Symbol eine Menge vorwärts oder eine Menge rückwärts bezeichnen und durch Segmente auf einer geraden Linie, die durch einen Ursprung verläuft, angemessen dargestellt wird. Negative Mengen sind dann nicht mehr unmöglich; Sie werden durch das rückständige Segment dargestellt. Aber eine Unmöglichkeit bleibt immer noch im letzten Teil eines solchen Ausdrucks wie a + b–1 was in der Lösung der quadratischen Gleichung entsteht. Die vierte Stufe ist Doppelalgebra. Das algebraische Symbol bezeichnet im Allgemeinen ein Segment einer Linie in einer bestimmten Ebene. Es ist ein doppeltes Symbol, weil es zwei Spezifikationen umfasst, nämlich Länge und Richtung; und –1 wird als Kennzeichnung eines Quadranten interpretiert. Der Ausdruck a + b–1 dann repräsentiert eine Linie in der Ebene mit einer Abszisse a und eine Ordinate b. Argand und Warren trugen bisher Doppelalgebra ea–1. De Morgan versuchte es von Reduzierung ein solcher Ausdruck in die Form b + q–1, und er überlegte, dass er gezeigt hatte, dass es immer so reduziert werden könnte. Die bemerkenswerte Tatsache ist, dass diese Doppelalgebra alle grundlegenden Gesetze erfüllt, und wie jede scheinbar unmögliche Kombination von Symbolen interpretiert wurde, sieht sie wie die vollständige Form der Algebra aus. In Kapitel 6 stellte er vor Hyperbolische Funktionen und diskutierte den Zusammenhang der gemeinsamen und hyperbolischen Trigonometrie.

Wenn die obige Theorie wahr ist, sollte die nächste Entwicklungsstufe sein verdreifachen Algebra und wenn a + b–1 Wirklich eine Linie in einer bestimmten Ebene repräsentieren, es sollte möglich sein, einen dritten Term zu finden, der zu der oben genannten hinzugefügt wurde, eine Linie im Raum darstellen würde. Argand und einige andere vermuteten, dass es war a + b–1 + c–1–1 Obwohl dies der Wahrheit widerspricht, die Euler festgelegt hat –1–1 = e−π/2. De Morgan und viele andere haben hart an dem Problem gearbeitet, aber es kam nichts daraus, bis das Problem von Hamilton aufgenommen wurde. Wir sehen jetzt den Grund deutlich: Das Symbol der Doppelalgebra bezeichnet keine Länge und eine Richtung; aber ein Multiplikator und ein Engel. Darin sind die Winkel auf eine Ebene beschränkt. Daher wird die nächste Stufe a sein Vierfachalgebra, wenn die Achse der Ebene variabel gemacht wird. Und dies gibt die Antwort auf die erste Frage; Doppelalgebra ist nichts als Trigonometrie der analytischen Ebene, und deshalb wurde festgestellt, dass es sich um die natürliche Analyse für abwechselnde Ströme handelt. Aber De Morgan ist nie so weit gekommen. Er starb mit der Überzeugung, dass "Doppelalgebra als vollständige Entwicklung der Konzepte der Arithmetik bleiben muss, soweit diese Symbole die Arithmetik unmittelbar vermuten lassen".

In Buch II, Kapitel II, folgt De Morgan nach der obigen zitierten Passage über die Theorie der symbolischen Algebra einen Bestand der grundlegenden Symbole der Algebra und auch ein Bestand der Gesetze der Algebra. Die Symbole sind , , , , , , ()und Briefe; Nur diese, alle anderen werden abgeleitet. Wie de Morgan erklärt, repräsentiert der letzte dieser Symbole einen letztgenannten Ausdruck in SuperScript über und nach einem früheren. Sein Bestand der Grundgesetze wird unter vierzehn Köpfen ausgedrückt, einige von ihnen sind jedoch nur Definitionen. Die vorhergehende Liste der Symbole ist die Angelegenheit unter der ersten dieser Köpfe. Die richtigen Gesetze können auf Folgendes reduziert werden, was, wie er zugibt und ... macht es notwendig, sie separat anzugeben ":

  1. Identitätsgesetze.
  2. Schildergesetz.
  3. Kommutativgesetz.
  4. Verteilungsrecht.
  5. Indexgesetze.

De Morgan bekennt sich, ein vollständiges Bestand der Gesetze zu geben, denen die Symbole der Algebra gehorchen müssen, denn er sagt: "Jedes System von Symbolen, das diesen Regeln und keinen anderen befolgt - außer dass sie durch die Kombination dieser Regeln gebildet werden - und die die Verwendung der Verwendung vorhergehende Symbole und keine anderen - außer dass sie neue Symbole sind, die in der Abkürzung von Kombinationen dieser Symbole erfunden wurden - ist Symbolische Algebra. "Aus seiner Sicht sind keine der oben genannten Grundsätze Regeln; es sind formal Gregory, nämlich, und zu welcher wurde danach den Namen angegeben Gesetz der Vereinigung. Wenn das kommutative Gesetz fehlschlägt, kann das Assoziative gut bleiben; aber nicht und umgekehrt. Es ist eine unglückliche Sache für den Symbolisten oder Formalisten, das in universeller Arithmetik ist ungleich zu ; denn dann hätte das kommutative Gesetz den vollen Umfang. Warum gibt er es nicht vollen Umfang? Weil die Grundlagen der Algebra schließlich real nicht formal, materiell nicht symbolisch sind. Für die Formalisten sind die Indexoperationen außerordentlich refraktär, wobei einige sie nicht berücksichtigen, sie aber in die angewandte Mathematik verbinden. Ein Inventar der Gesetze zu geben, denen die Symbole der Algebra gehorchen müssen a priori Kenntnis des Geistes.[Originalforschung?]

Formelle Logik

Als das Studium der Mathematik an der Universität von Cambridge wiederbelebt wurde, wurde auch das Studium der Logik. Der bewegende Geist war Whewell, der Meister des Trinity College, dessen Hauptschriften a waren Geschichte der induktiven Wissenschaften, und Philosophie der induktiven Wissenschaften. Zweifellos wurde de Morgan von Whewell in seinen logischen Untersuchungen beeinflusst. Aber andere einflussreiche Zeitgenossen waren Sir William Rowan Hamilton in Dublin und George Boole bei Cork. De Morgans Arbeit, Formelle Logik, veröffentlicht 1847, ist hauptsächlich bemerkenswert für seine Entwicklung der numerisch bestimmten Syllogismus. Die Anhänger von Aristoteles Sagen Sie das aus zwei bestimmten Aussagen wie z. Einige m sind A's, und Einige m sind Bs Nichts folgt über die Beziehung der A und Bs. Aber sie gehen weiter und sagen, dass jede Beziehung über die A und Bs von der Notwendigkeit folgen kann. Die mittlere Amtszeit muss universell in einem der Räumlichkeiten genommen werden. De Morgan wies darauf hin Die meisten m sind a und die meisten m sind Bs Es folgt notwendig, dass das Einige A sind Bs und er formulierte den numerisch bestimmten Syllogismus, der dieses Prinzip in exakte quantitative Form bringt. Angenommen, die Anzahl der Ms ist von den m, die a sind ist und von den Ms, die Bs sind, ist ; Dann gibt es zumindest A's das sind Bs. Angenommen, die Anzahl der Seelen an Bord eines Dampfers betrug 1000, dass 500 im Salon und 700 verloren gingen. Es folgt notwendigerweise, dass mindestens 700 + 500 - 1000, dh 200, Salon -Passagiere verloren gingen. Dieses einzelne Prinzip reicht aus, um die Gültigkeit aller aristotelischen Stimmungen zu beweisen. Es ist daher ein Grundprinzip in der notwendigen Argumentation.

Hier hatte De Morgan einen großen Fortschritt erzielt, indem er vorgestellt wurde Quantifizierung der Begriffe. Zu dieser Zeit Sir William Hamilton unterrichtete in Edinburgh Eine Doktrin der Quantifizierung des Prädikats und eine Korrespondenz entstand. De Morgan bemerkte jedoch bald, dass Hamiltons Quantifizierung von einem anderen Charakter war; dass es zum Beispiel bedeutete, die beiden Formen zu ersetzen Das gesamte A ist das gesamte b, und Das gesamte A ist ein Teil von B für die aristotelische Form Alle A sind Bs. Hamilton dachte, er habe den Keystone in den aristotelischen Bogen gestellt, als er ihn formulierte. Obwohl es ein neugieriger Bogen gewesen sein muss, der 2000 Jahre ohne Schlüsselstein stehen könnte. Infolgedessen hatte er keinen Raum für De Morgans Innovationen. Er beschuldigte De Morgan des Plagiats, und die Kontroverse tobte jahrelang in den Säulen der Säulen Athenäumund in den Veröffentlichungen der beiden Schriftsteller.

Die Memoiren zur Logik, die de Morgan zu dem beigetragen hat Transaktionen der Cambridge Philosophical Society Nach der Veröffentlichung seines Buches Formelle Logik sind bei weitem die wichtigsten Beiträge, die er in die Wissenschaft geleistet hat, insbesondere in seine vierte Memoiren, in der er auf dem breiten Bereich der "Logik der Verwandten" beginnt.

Budget von Paradoxien

In der Einführung in die Budget von Paradoxien De Morgan erklärt, was er mit dem Wort meint:

Viele Menschen haben seit dem Aufstieg der mathematischen Methode jeweils ihre direkten und indirekten Folgen für sich selbst angegriffen. Ich werde jeden dieser Personen a anrufen Paradoxerund sein System a Paradox. Ich benutze das Wort im alten Sinne: Ein Paradoxon ist etwas, das von der allgemeinen Meinung entfernt ist, entweder in Themen, Methode oder Schlussfolgerung. Viele der vorgebrachten Dinge würden jetzt genannt Schachstoffe, was das nächste Wort ist, das wir alt müssen Paradox. Aber es gibt diesen Unterschied, dass wir durch den Namen eines Dings einen Schrott nennen, den wir leicht darüber sprechen wollen; Das war nicht das notwendige Paradoxon. So sprachen viele im 16. Jahrhundert über die Bewegung der Erde als die Paradox von Copernicus und hielt den Einfallsreichtum dieser Theorie sehr hoch, und einige, die ich denke, die sogar dazu geneigt haben. Im siebzehnten Jahrhundert ereignete sich zumindest in England die Bedeutung der Bedeutung.

Wie kann das Soundparadoxer vom falschen Paradoxer unterschieden werden? De Morgan liefert den folgenden Test:

Die Art und Weise, wie sich ein Paradoxer für Sinn oder Unsinn zeigt, hängt nicht davon ab, was er behauptet, sondern ob er ausreichend Wissen darüber gemacht hat, was andere getan haben, insbesondere in Bezug auf die Art von Art von Wenn Sie dies tun, muss ein vorläufiges Erfindung von Wissen für sich selbst ... neues Wissen, wann zu einem Zweck, durch die Betrachtung des alten Wissens in jeder Angelegenheit kommen muss, die den Gedanken betrifft. Mechanische Erfindung manchmal, nicht sehr oft, entgeht dieser Regel. Alle Männer, die jetzt Entdecker genannt werden, waren in jeder Angelegenheit, die von Gedanken geregelt wurden, Männer in den Köpfen ihrer Vorgänger und lernten in dem, was vor ihnen gewesen war. Es gibt keine Ausnahme.

Das Budget besteht aus einer Rezension einer großen Sammlung paradoxer Bücher, die de Morgan in seiner eigenen Bibliothek angesammelt hat, teilweise durch Kauf bei Buchstands, teilweise aus Büchern, die ihm zur Überprüfung gesendet wurden, teilweise aus Büchern, die ihm von den Autoren gesendet wurden. Er gibt die folgende Klassifizierung an: Quadratmeter des Kreises, Trisektoren des Winkels, Duplikatoren des Würfels, Konstrukteure der ewigen Bewegung, Unterverternen der Gravitation, Stagnatoren der Erde, Bauherren des Universums. Sie werden immer noch Exemplare all dieser Klassen in der Neuen Welt und im neuen Jahrhundert finden. De Morgan gibt sein persönliches Wissen über Paradoxer.

Ich vermute, dass ich mehr über den Englischunterricht kenne als jeder andere Mann in Großbritannien. Ich habe nie geprüft: Aber ich weiß das ein Jahr mit einem anderen? Und weniger in den letzten Jahren als in früherer Zeit? - Ich habe mit mehr als fünf in jedem Jahr gesprochen und mehr als hundertfünfzig Exemplare gegeben. Ich bin mir sicher, dass es meine eigene Schuld ist, wenn sie nicht tausend waren. Niemand weiß, wie sie schwärmen, außer denen, denen sie natürlich zurückgreifen. Sie sind in allen Reihen und Berufen aller Altersgruppen und Charaktere. Sie sind sehr ernsthafte Menschen, und ihr Zweck ist Bona Fide, die Verbreitung ihrer Paradoxien. Sehr viele - die Messe - in der Tat - sind Analphabeten und verschwenden sehr viele ihre Mittel und sind in oder nähern sich in Schwung. Diese Entdecker verachten sich gegenseitig.

Ein Paradoxer, an den de Morgan das Kompliment bezahlte, das Achilles Hector bezahlte - um ihn immer wieder um die Wände zu ziehen - war James Smith, ein erfolgreicher Kaufmann von Liverpool. Er fand . Seine Argumentation war eine merkwürdige Karikatur der Reduktion ad absurdum von Euklid. Sagte er und zeigte dann das bei dieser Annahme, jedem anderen Wert von Muss absurd sein. Folglich, ist der wahre Wert. Das Folgende ist ein Exemplar von De Morgans Ziehen um die Wände von Troy:

Mr. Smith schreibt mir weiterhin lange Briefe, auf die er darauf hinweist, dass ich antworten soll. In seinem letzten von 31 eng geschriebenen Seitenpapier informiert er mich unter Bezugnahme auf meine hartnäckige Stille, dass ich mich entschlossen habe, die mathematische Schnecke zu spielen, obwohl ich von anderen als mathematischer Goliath gedacht habe, und ich habe beschlossen, die mathematische Schnecke zu spielen und zu behalten In meiner Hülle. Eine mathematische Schnecke! Dies kann nicht das so genannte Ding sein, das das Streik einer Uhr reguliert; Denn es würde bedeuten, dass ich Mr. Smith die wahre Tageszeit klingen lassen soll, die ich auf einer Uhr, die in jeder Stunde mit falschem Quadrativen von 19 Sekunden in jeder Stunde ungerade gewinnt . Aber er wagt mir, mir zu sagen, dass Kieselsteine ​​aus der Schlinge der einfachen Wahrheit und des gesunden Menschenverstandes letztendlich meine Hülle knacken und mich setzen werden kampfunfähig. Die Verwirrung von Bildern ist amüsant: Goliath verwandelt sich in eine Schnecke, um sie zu vermeiden und James Smith, Esq., vom Mersey Dock Board: und setzen kampfunfähig von Kieselstichen aus einer Schlinge. Wenn sich Goliath in eine Schneckenhülle geschlichen hätte, hätte David den Philister mit seinem Fuß geknackt. Es gibt so etwas wie Bescheidenheit in der Implikation, dass der Crack-Shell-Kiesel noch nicht wirksam hat. Es könnte gedacht worden sein, dass der Slinger zu diesem Zeitpunkt gesungen hätte-und dreimal [und ein Achtel] habe ich alle meine Feinde geführt, und dreimal [und ein-Achtel] habe ich die Ermordung getötet.

In der Region der reinen Mathematik konnte de Morgan das Falsche aus dem wahren Paradoxon leicht erkennen; Aber er war nicht so kompetent im Bereich der Physik. Sein Schwiegervater war Paradoxer und seine Frau ein Paradoxer; und nach Meinung der physischen Philosophen, dass de Morgan selbst kaum entkommen ist. Seine Frau schrieb ein Buch, das die Phänomene des Spiritualismus beschreibt, Tischraping, Tischverdrehung, etc.; und de Morgan schrieb ein Vorwort, in dem er sagte, er wisse einige der geltenden Tatsachen, glaubten andere an Zeugnis ob Sie wurden durch Geister verursacht oder hatten einen unbekannten und unvorstellbaren Ursprung. Aus dieser Alternative ließ er gewöhnliche Materials aus. Faraday hielt einen Vortrag über Spiritualismus, in dem er es niedergelegt hat, dass wir in der Untersuchung mit der Vorstellung von dem, was physisch möglich oder unmöglich ist, auflegen sollten; De Morgan glaubte das nicht.

Beziehungen

De Morgan entwickelte die Beziehungsberechnung in seinem Lehrplan eines vorgeschlagenen Logiksystems (1966: 208–46), erstmals 1860 veröffentlicht. De Morgan konnte diese Argumentation mit zeigen Syllogismen könnte durch ersetzt werden durch Zusammensetzung der Beziehungen.[11] Der Kalkül wurde als der beschrieben Logik der Verwandten durch Charles Sanders Peirce, der de Morgan bewunderte und ihn kurz vor seinem Tod traf. Der Kalkül wurde im dritten Band von weiter erweitert Ernst Schröder's Vorlesungen über die Algebra der Logik. Binäre Beziehungen, besonders Ordnungstheorie, als kritisch für die Principia Mathematica von Bertrand Russell und Alfred North Whitehead. Dieser Kalkül wurde wiederum Gegenstand viel weiterer Arbeit, ab 1940 von 1940 von Alfred Tarski und seine Kollegen und Studenten am Universität von Kalifornien.

Spiritualismus

De Morgan später in seinem Leben interessierte sich für die Phänomene von Spiritualismus. 1849 hatte er untersucht Hellsehen und war beeindruckt von dem Thema. Später führte er paranormale Ermittlungen in seinem eigenen Haus mit dem amerikanischen Medium Maria Hayden durch. Das Ergebnis dieser Ermittlungen wurde später von seiner Frau Sophia veröffentlicht. De Morgan glaubte, dass seine Karriere als Wissenschaftler möglicherweise betroffen sein könnte, wenn er sein Interesse am Studium des Spiritualismus enthüllt hätte, und half dabei, das Buch anonym zu veröffentlichen.[12] Das Buch wurde 1863 mit dem Titel "Mit dem Titel" veröffentlicht Vom Materie zum Geist: Das Ergebnis zehn Jahre Erfahrung in Geisternscheinungen.

Laut Historiker Janet OppenheimDe Morgans Frau Sophia war ein überzeugter Spiritualist, aber De Morgan teilte eine dritte Position zu spirituellen Phänomenen, die Oppenheim als "Warte-und-See" definierte; Er war weder ein Gläubiger noch ein Skeptiker. Stattdessen war seine Sichtweise, dass die Methodik der physischen Wissenschaften nicht automatisch ausschließt Psychische Phänomene, und dass solche Phänomene durch die mögliche Existenz natürlicher Kräfte, die Physiker noch nicht identifiziert hatten, in der Zeit erklärbar sein können.[13]

Im Vorwort von Vom Materie zum Geist (1863), erklärte de Morgan:

Ich denke sehr wahrscheinlich, dass das Universum einige Agenturen enthält - sagen wir eine halbe Million -, über die niemand etwas weiß, kann ich nur vermuten, dass ein kleiner Teil dieser Agenturen - sagen wir fünftausend - möglicherweise für die Produktion von starken kompetent sein kann Alle [spirituellen] Phänomene oder sind möglicherweise der Aufgabe unter ihnen. Die physischen Erklärungen, die ich gesehen habe, sind leicht, aber kläglich unzureichend: Die spirituelle Hypothese ist ausreichend, aber schwerfällig schwierig. Zeit und Gedanken werden sich entscheiden, die zweite fragt den ersten nach weiteren Ergebnissen.

Psychischer Forscher John Beloff schrieb, de Morgan sei der erste bemerkenswerte Wissenschaftler in Großbritannien, der sich für das Studium des Spiritualismus interessierte, und seine Studien hatten die Entscheidung von beeinflusst William Crookes auch Spiritualismus studieren. Beloff behauptet auch, De Morgan sei ein Atheist Und so wurde er von einer Position in Oxford oder Cambridge ausgeschlossen.[14]

Erbe

Jenseits seines großen mathematischen Erbes wird das Hauptquartier der London Mathematical Society genannt De Morgan House Die Studentengesellschaft des Mathematikabteilung des University College College London heißt Augustus de Morgan Society.

Der Krater De Morgan auf der Mond ist nach ihm benannt.

Selected writings

Siehe auch

Verweise

Anmerkungen

  1. ^ Das Jahr seiner Geburt kann durch die Lösung eines von ihm vorgeschlagenen Rätsels gefunden werden: "Ich war x jahrelange Alter im Jahr x2 (Er war 1849 43). Das Problem ist unbestimmt, wird aber durch das Jahrhundert seiner Äußerung und der Grenze für das Leben eines Mannes streng bestimmt. Diejenigen, die 1722 (1764–42), 1892 (1936–44) und 1980 (2025–45) geboren wurden, sind ebenfalls privilegiert.

Zitate

  1. ^ De Morgan, (1838) Induktion (Mathematik), Die Penny Cyclopedia.
  2. ^ a b c Sack, Harald (27. Juni 2019). "Augustus de Morgan und formelle Logik". Scihi -Blog. Abgerufen 15. Juni 2022.
  3. ^ Beloff 1997, p. 47.
  4. ^ De Morgan & de Morgan 1882, p. 393.
  5. ^ "De Morgan, Augustus (D823A)". Eine Alumni -Datenbank in Cambridge. Universität von Cambridge.
  6. ^ De Morgan, Augustus (1860). Lehrplan eines vorgeschlagenen Logiksystems. Bibliotheken der Universität von Kalifornien. London: Walton und Maberly.
  7. ^ Mary Everest Boole (1901). Indisches Denken und westliche Wissenschaft im neunzehnten Jahrhundert. Bibliothek Genesis. Die Ceylon National Review.
  8. ^ Ganeri, Dr. Jonardon (1. Februar 2013). Indische Logik. doi:10.4324/9780203037119. ISBN 9780203037119.
  9. ^ Stephen, Leslie, ed. (1889). "Frend, William". Wörterbuch der nationalen Biografie. Vol. 20. London: Smith, Elder & Co.
  10. ^ De Morgan 1849.
  11. ^ Merrill 2012, p. 49.
  12. ^ Nelson 1969, p. 90.
  13. ^ Oppenheim 1988, p. 335.
  14. ^ Beloff 1997, S. 46–47.
  15. ^ Karpinski 1916, S. 468–471.
  16. ^ Conklin 1955, S. 95–99.

Quellen

Weitere Lektüre

Externe Links