Asymptotische Analyse

Im Mathematische Analyse, Asymptotische Analyse, auch bekannt als Asymptotik, ist eine Methode zur Beschreibung Einschränkung Verhalten.

Nehmen wir an, wir interessieren uns für die Eigenschaften einer Funktion $f (n)$ wie $n$ wird sehr groß. Wenn $f (n) = n 2 + 3 n$ , Dann als $n$ wird sehr groß, der Begriff $3 n$ wird im Vergleich zu unbedeutend $n 2$ . Die Funktion $f (n)$ wird gesagt, dass "asymptotisch äquivalent zu $n 2$ , wie $n \to \infty$ ". Dies wird oft symbolisch geschrieben wie $f (n) ~ n 2$ , was als "gelesen wird" $f (n)$ ist asymptotisch zu $n 2$ ".

Ein Beispiel für ein wichtiges asymptotisches Ergebnis ist das Primzahl Theorem. Lassen $π (x)$ bezeichnen die Prime-Counting-Funktion (was nicht direkt mit der Konstante zusammenhängt Pi), d.h. $π (x)$ ist die Anzahl von Primzahlen das sind weniger als oder gleich zu $x$ . Dann gibt der Satz an, dass das

{\ displayStyle \ pi (x) \ sim {\ frac {x} {\ ln x}}.}.}.

Eine asymptotische Analyse wird häufig in verwendet Informatik Im Rahmen des Analyse von Algorithmen und wird dort oft in Bezug auf ausgedrückt Big O Notation.

Definition

Formell gegebene Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ Wir definieren eine binäre Beziehung

oder

dann und nur dann, wenn (de Bruijn 1981§1.4)

oder

Das Symbol $~$ ist der Tilde. Die Beziehung ist eine Äquivalenzbeziehung auf die Funktionen von $x$ ; die Funktionen $f$ und $g$ sollen sein asymptotisch äquivalent. Das Domain von $f$ und $g$ Kann jeder Satz sein, für den die Grenze definiert ist: z. Reelle Zahlen, komplexe Zahlen, positive Ganzzahlen.

Die gleiche Notation wird auch für andere Wege verwendet, um an eine Grenze zu gelangen: z. $x \to 0$ , $x ↓ 0$ , $| x | \to 0$ . Die Art und Weise, wie es an die Grenze übergeht, wird oft nicht explizit angegeben, wenn aus dem Kontext klar ist.

Obwohl die obige Definition in der Literatur üblich ist, ist sie problematisch, wenn $g (x)$ ist null unendlich oft als $x$ geht zum begrenzenden Wert. Aus diesem Grund verwenden einige Autoren eine alternative Definition. Die alternative Definition, in Little-o Notation, ist das $f ~ g$ dann und nur dann, wenn

{\ displayStyle f (x) = g (x) (1+o (1)).}

Diese Definition entspricht der vorherigen Definition, wenn $g (x)$ ist in einigen nicht Null Nachbarschaft des begrenzenden Wertes.^[1]^[2]

Eigenschaften

Wenn ${\ displayStyle f \ sim g}$ und ${\ displayStyle a \ sim b}$ , dann unter einigen milden Bedingungen,^{[Weitere Erklärung erforderlich]} der folgende Halt:

${\ displayStyle f^{r} \ sim g^{r}}$ für jeden Real $r$
${\ displayStyle \ log (f) \ sim \ log (g)}$ wenn ${\ displayStyle \ lim g \ neq 1}$
${\ displayStyle f \ mal a \ sim g \ mal b}$
${\ displayStyle f/a \ sim g/b}$

Solche Eigenschaften ermöglichen es, asymptotisch äquivalente Funktionen in vielen algebraischen Ausdrücken frei auszutauschen.

Beispiele für asymptotische Formeln

Fakultät $oder$ -das ist Stirlings Annäherung
Partitionsfunktion
Für eine positive Ganzzahl n, die Partitionsfunktion, p(n), gibt die Anzahl der Möglichkeiten, die Ganzzahl zu schreiben n als eine Summe positiver Ganzzahlen, wobei die Reihenfolge der Addaten nicht berücksichtigt wird. $p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}$
Luftige Funktion
Die luftige Funktion, AI (x), ist eine Lösung der Differentialgleichung $y " - xy = 0$ ; Es hat viele Anwendungen in der Physik. ${\ displaystyle \ operatorname {ai} (x) \ sim {\ frac {e^{-{\ frac {2} {3}} x^{\ frac {3} {2}} {2 {\ sqrt {\ pi}} x^{1/4}}}}$
Hankel -Funktionen ${\ displayStyle {\ begin {ausgerichtet} H _ {\ alpha}^{(1)} (z) & \ sim {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi z}} e^{i \ links (z (z) -{\ frac {2 \ pi \ alpha -\ pi} {4}} \ rechts)} \\ H _ {\ alpha}^{(2)} (z) & \ SIM {\ sqrt {\ frac {2} oder$

Konstruktion

Allgemein

In Betracht ziehen:

{\ displayStyle h (x) = f (x) (1-f (x))+g (x) f (x)}

wo

{\ displayStyle f (x)}

und

{\ displayStyle g (x)}

sind realwert Analysefunktionen, und

{\ displayStyle f (x)}

ist ein Verteilungsfunktion.

Dann ${\ displayStyle h (x)}$ ist asymptotisch zu ${\ displayStyle f (x)}$ wie ${\ displayStyle x \ to (-\ infty)}$ und asymptotisch zu ${\ displayStyle g (x)}$ wie ${\ displayStyle x \ to (+\ infty)}$ .

Asymptotisch bis zwei verschiedene Polynome

Angenommen, wir wollen eine realbewertete Funktion, die asymptotisch ist ${\ displayStyle (a_ {0}+a_ {1} x)}$ wie ${\ displayStyle x \ to (-\ infty)}$ und ist asymptotisch zu ${\ displayStyle (b_ {0}+b_ {1} x)}$ wie ${\ displayStyle x \ to (+\ infty)}$ . Dann

{\ displayStyle h (x) = (a_ {0}+a_ {1} x) (1-f (x))+(b_ {0}+b_ {1} x) f (x)}

wird das tun.

Asymptotische Expansion

Ein Asymptotische Expansion einer Funktion $f (x)$ ist in der Praxis ein Ausdruck dieser Funktion in Bezug auf a Serie, das Teilsummen von denen nicht unbedingt konvergiert, sondern so, dass die anfängliche teilweise Summe eine asymptotische Formel für darstellt $f$ . Die Idee ist, dass aufeinanderfolgende Begriffe eine zunehmend genaue Beschreibung der Reihenfolge des Wachstums von liefern $f$ .

In Symbolen bedeutet es, dass wir haben ${\ displayStyle f \ sim g_ {1},},}$ aber auch ${\ displayStyle f-g_ {1} \ sim g_ {2}}$ und ${\ displayStyle f-g_ {1}-\ cdots -g_ {k-1} \ sim g_ {k}}$ für jede feste k. Angesichts der Definition der Definition der ${\ displayStyle \ Sim}$ Symbol bedeutet die letzte Gleichung ${\ displayStyle f- (g_ {1} +\ cdots +g_ {k}) = o (g_ {k})}$ in dem Little O Notation, d.h. ${\ displayStyle f- (g_ {1} +\ cdots +g_ {k})}$ ist viel kleiner als ${\ displayStyle g_ {k}.}$

Die Beziehung ${\ displayStyle f-g_ {1}-\ cdots -g_ {k-1} \ sim g_ {k}}$ nimmt seine volle Bedeutung, wenn ${\ displayStyle g_ {k+1} = o (g_ {k})}$ für alle kwas bedeutet das ${\ displayStyle g_ {k}}$ für Mann Asymptotische Skala. In diesem Fall können einige Autoren möglicherweise missbräuchlich schreiben ${\ displayStyle f \ sim g_ {1} +\ cdots +g_ {k}}$ die Aussage bezeichnen ${\ displayStyle f- (g_ {1} +\ cdots +g_ {k}) = o (g_ {k}).}$ Man sollte jedoch darauf achten, dass dies keine Standardverwendung des ${\ displayStyle \ Sim}$ Symbol, und dass es nicht der in der angegebenen Definition entspricht § Definition.

In der gegenwärtigen Situation diese Beziehung ${\ displayStyle g_ {k} = o (g_ {k-1})}$ folgt tatsächlich aus der Kombination von Schritten k und k–1; Durch Subtrahieren ${\ displayStyle f-g_ {1}-\ cdots -g_ {k-2} = g_ {k-1}+o (g_ {k-1})}$ aus ${\ displaystyle f-g_ {1}-\ cdots -g_ {k-2} -g_ {k-1} = g_ {k}+o (g_ {k}),},}$ Man bekommt ${\ displayStyle g_ {k}+o (g_ {k}) = o (g_ {k-1}),},},},}$ d.h. ${\ displayStyle g_ {k} = o (g_ {k-1}).}$

Falls die asymptotische Expansion nicht konvergiert, wird es für einen bestimmten Wert des Arguments eine bestimmte teilweise Summe geben, die die beste Näherung liefert und zusätzliche Begriffe die Genauigkeit verringern. Diese optimale Teilsumme hat normalerweise mehr Begriffe, da das Argument den Grenzwert nähert.

Beispiele für asymptotische Expansionen

Gamma -Funktion $oder }}+{\ frac {1} {288x^{2}}}-{\ frac {139} {51840x^{3}}}-\ cdots \ (x \ to \ infty)}}}$
Exponential Integral $oder }}} \ (x \ to \ inty)}}$
Fehlerfunktion $oder {n} {\ frac {(2n-1) !!} {n! (2x^{2})^{n}}} \ (x \ to \ infty)}$ wo $m!!$ ist der Doppelfaktor.

Gearbeitetes Beispiel

Asymptotische Expansionen treten häufig auf, wenn eine gewöhnliche Serie in einem formalen Ausdruck verwendet wird, der die Einnahme von Werten außerhalb ihres Konvergenzbereichs erzwingt. Zum Beispiel könnten wir mit der gewöhnlichen Serie beginnen

oder

Der Ausdruck links ist in der gesamten komplexen Ebene gültig ${\ displayStyle W \ neq 1}$ , während die rechte Seite nur für konvergiert ${\ displayStyle | w | <1}$ . Multiplizieren mit ${\ displayStyle e^{-w/t}}$ und Integration beider Seitenausbeute

oder 0}^{\ Infty} T^{n+1} \ int _ {0}^{\ infty} e^{-u} u^{n} \, du}

Das Integral auf der linken Seite kann in Bezug auf das ausgedrückt werden Exponential Integral. Das Integral auf der rechten Seite nach dem Substitution ${\ displayStyle u = w/t}$ , kann als die anerkannt werden Gamma -Funktion. Bewertung beider, einer erhält die asymptotische Expansion

oder \ Infty} n! \; t^{n+1}}

Hier ist die rechte Seite für einen Wert ungleich Null von eindeutig nicht konvergent t. Durch Aufbewahrung jedoch t Kleine und die Serie auf dem Recht auf eine begrenzte Anzahl von Begriffen abschneiden, kann man eine ziemlich gute Annäherung an den Wert von erhalten ${\ displayStyle \ operatorname {ei} (1/t)}$ . Ersetzen ${\ displayStyle x = -1/t}$ und das bemerken ${\ displayStyle \ operatorname {ei} (x) =-e_ {1} (-x)}$ Ergebnisse in der asymptotischen Expansion, die früher in diesem Artikel angegeben wurde.

Asymptotische Verteilung

Im Mathematische Statistik, ein Asymptotische Verteilung ist eine hypothetische Verteilung, die in gewissem Sinne die "begrenzende" Verteilung einer Abfolge von Verteilungen ist. Eine Verteilung ist ein geordneter Satz von Zufallsvariablen $Z i$ zum $i = 1,\dots, n$ für eine positive Ganzzahl $n$ . Eine asymptotische Verteilung erlaubt es $i$ ohne gebunden zu ragen, das heißt,, $n$ ist unendlich.

Ein Sonderfall einer asymptotischen Verteilung ist, wenn die späten Einträge auf Null gehen - das heißt, die $Z i$ Gehen Sie zu 0 als $i$ geht in unendlich. Einige Fälle von "asymptotischer Verteilung" beziehen sich nur auf diesen Sonderfall.

Dies basiert auf dem Begriff eines asymptotisch Funktion, die sauber einen konstanten Wert nähert (die Asymptote) wie die unabhängige Variable in Unendlichkeit geht; "sauber" in diesem Sinne bedeutet, dass für jede gewünschte Nähe Epsilon einen gewissen Wert der unabhängigen Variablen gibt, wonach die Funktion nie von der Konstante durch mehr als Epsilon unterscheidet.

Ein Asymptote ist eine gerade Linie, die sich eine Kurve nähert, aber nie trifft oder kreuzt. Informell kann man von der Kurve sprechen, die die Asymptote "in Unendlichkeit" begegnen, obwohl dies keine genaue Definition ist. In der Gleichung ${\ displayStyle y = {\ frac {1} {x}},},}$ y wird willkürlich klein in Größe als x steigt.

Anwendungen

Eine asymptotische Analyse wird in mehreren verwendet Mathematische Wissenschaften. Im Statistiken, asymptotische Theorie liefert begrenzende Näherungen der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Stichprobenstatistik, so wie die Wahrscheinlichkeitsverhältnis Statistik und die erwarteter Wert des Abweichung. Die asymptotische Theorie liefert jedoch keine Methode zur Bewertung der Finite-Stichproben-Verteilungen von Stichprobenstatistiken. Nicht-asymptotische Grenzen werden mit Methoden von Methoden bereitgestellt Approximationstheorie.

Beispiele für Anwendungen sind die folgenden.

Im angewandte MathematikEine asymptotische Analyse wird zum Aufbau verwendet Numerische Methoden schätzen Gleichung Lösungen.
Im Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie, Asymptotika werden zur Analyse des langfristigen oder großen Stichprobenverhaltens von zufälligen Variablen und Schätzern verwendet.
Im Informatik in dem Analyse von Algorithmenunter Berücksichtigung der Leistung von Algorithmen.
Das Verhalten von Physische Systemeein Beispiel sein Statistische Mechanik.
Im Unfallanalyse Bei der Identifizierung der Verursachung des Absturzes durch Count -Modellierung mit einer großen Anzahl von Absturzzählungen in einer bestimmten Zeit und einem bestimmten Raum.

Die asymptotische Analyse ist ein wichtiges Instrument zur Erforschung der gewöhnliche und teilweise Differentialgleichungen, die in der entstehen Mathematische Modellierung von realen Phänomenen.^[3] Ein illustratives Beispiel ist die Ableitung der Grenzschichtgleichungen von der vollen Navier-Stokes-Gleichungen flüssiger Flussfluss. In vielen Fällen ist die asymptotische Ausdehnung mit einem kleinen Parameter Leistung. $ε$ : Im Fall der Grenzschicht ist dies das Nichtdimensional Verhältnis der Grenzschichtdicke zu einer typischen Längenskala des Problems. In der Tat häufig Anwendungen der asymptotischen Analyse in der mathematischen Modellierung^[3] Zentrum um einen nichtdimensionalen Parameter, der gezeigt oder angenommen wurde, um durch eine Berücksichtigung der Skalen des vorliegenden Problems klein zu sein.

Asymptotische Expansionen entstehen typischerweise bei der Annäherung an bestimmte Integrale (Laplace -Methode, Sattelpunktmethode, Methode der steilsten Abstammung) oder bei der Annäherung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Edgeworth -Serie). Das Feynman -Grafiken in Quantenfeldtheorie sind ein weiteres Beispiel für asymptotische Expansionen, die oft nicht konvergieren.