Arithmetik

Arithmetische Tabellen für Kinder, Lausanne, 1835

Arithmetik (aus Altgriechisch ἀριθμός (Arithmós)'Nummer' und τική [τέχνη] (Tikḗ [Tékhnē])'Kunst, Handwerk') ist ein elementarer Teil von Mathematik Das besteht aus der Untersuchung der Eigenschaften des Traditionellen Operationen auf Zahlen -Zusatz, Subtraktion, Multiplikation, Aufteilung, Exponentiationund Extraktion von Wurzeln. Im 19. Jahrhundert italienischer Mathematiker Giuseppe Peano formalisierte Arithmetik mit seinem Peano -Axiome, die für das Gebiet von sehr wichtig sind Mathematische Logik heute.

Geschichte

Die Vorgeschichte der Arithmetik ist auf eine kleine Anzahl von Artefakten beschränkt, die auf die Konzeption von Addition und Subtraktion hinweisen können, wobei das bekannteste ist, das ist das Ishango Bone aus Zentralafrika, aus irgendwo zwischen 20.000 und 18.000 v. Chr., Obwohl seine Auslegung umstritten ist.[1]

Die frühesten schriftlichen Aufzeichnungen geben die an Ägypter und Babylonier benutzte alle Elementararithmetik Operationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung bereits 2000 v. Chr. Diese Artefakte zeigen nicht immer den spezifischen Prozess, der zur Lösung von Problemen verwendet wird, sondern die Merkmale der Besonderen Ziffernungssystem beeinflussen stark die Komplexität der Methoden. Das Hieroglyphensystem für Ägyptische Ziffern, wie der spätere römische Zahlen, Stammt ab von Tally -Markierungen zum Zählen verwendet. In beiden Fällen führte dieser Ursprung zu Werten, die a verwendeten Dezimal Basis, aber nicht eingeschlossen Positionsnotation. Komplexe Berechnungen mit römischen Ziffern erforderten die Unterstützung von a Zählvorstand (oder der Roman Abakus) um die Ergebnisse zu erhalten.

Frühe Zahlensysteme, die Positionsnotation beinhalteten, waren nicht dezimal; Dazu gehören die sexagesimal (Basis 60) System für Babylonische Ziffern, und die Vigesimal (Basis 20) System, das definierte Maya Ziffern. Aufgrund des Platzwertkonzepts trug die Fähigkeit, dieselben Ziffern für verschiedene Werte wiederzuverwenden, zu einfacheren und effizienteren Berechnungsmethoden.

Die kontinuierliche historische Entwicklung der modernen Arithmetik beginnt mit dem Hellenistische Periode des alten Griechenlands; Es entstand viel später als die babylonischen und ägyptischen Beispiele. Vor den Werken von Euklid ca. 300 v. Chr., Griechische Studien in Mathematik überlagert mit philosophischen und mystischen Überzeugungen. Nicomachus ist ein Beispiel für diesen Standpunkt, der früher verwendet wird Pythagoräer Ansatz zu Zahlen und ihren Beziehungen zueinander in seiner Arbeit Einführung in die Arithmetik.

Griechische Ziffern wurden verwendet von Archimedes, Diophantus und andere in einem Positionsnotation Nicht sehr unterschiedlich von der modernen Notation. Den alten Griechen fehlten ein Symbol für Null bis zur hellenistischen Zeit, und sie verwendeten drei separate Symbole Sätze als Ziffern: Einer Set für die Einheiten Ort, einen für den Ten Platz und eine für die Hunderte. Für die Tausenden würden sie die Symbole für die Einheiten Ort wiederverwenden und so weiter. Ihr Additionalgorithmus war identisch mit der modernen Methode, und ihr Multiplikationsalgorithmus war nur geringfügig unterschiedlich. Ihr Long Division -Algorithmus war der gleiche und die Digit-by-Digit-Quadratwurzelalgorithmus, im Volksmund genutzt, war Archimedes bekannt (der es möglicherweise erfunden hat). Er bevorzugte es gegenüber Heldenmethode von aufeinanderfolgender Annäherung, da sich eine Ziffer nicht ändert und die quadratischen Wurzeln perfekter Quadrate, wie 7485696, sofort als 2736 enden. Für Zahlen mit einem Bruchteil wie 546.934 verwendeten sie negative Kräfte von 60 - - intead - - übereinstimmte von negativen Kräften von 10 für den Bruchteil 0,934.[2]

Die alten Chinesen hatten fortgeschrittene Arithmetikstudien aus der Shang -Dynastie und forderten sich durch die Tang -Dynastie, von den Grundzahlen bis hin zu fortgeschrittenen Algebra. Die alten Chinesen verwendeten eine Positionsnotation ähnlich der der Griechen. Da hatten ihnen auch ein Symbol für NullSie hatten einen Satz Symbole für den Einheiten und einen zweiten Satz für den Zehnten Platz. Für den Hunderten haben sie die Symbole für den Ort der Einheiten wiederverwendet und so weiter. Ihre Symbole basierten auf dem Alten Zählstangen. Die genaue Zeit, in der die Chinesen mit einer Positionsdarstellung begannen, ist unbekannt, obwohl bekannt ist, dass die Adoption vor 400 v. Chr. Begann.[3] Die alten Chinesen waren die ersten, die negative Zahlen sinnvoll entdeckten, verstehen und anwenden. Dies wird in der erklärt Neun Kapitel über die mathematische Kunst (Jiuzhang Suanshu), was geschrieben wurde von Liu Hui stammt aus dem 2. Jahrhundert v. Chr.

Die allmähliche Entwicklung der Hindu -arabisches Ziffernungssystem Unabhängig voneinander entwickelte das Place-Wert-Konzept und die Positionsnotation, die die einfacheren Methoden für Berechnungen mit einer Dezimalbasis und die Verwendung einer Ziffer darstellen kombinierten 0. Dies ermöglichte es dem System, sowohl große als auch kleine ganze Zahlen konsequent darzustellen - ein Ansatz, der schließlich alle anderen Systeme ersetzte. Im frühen 6. Jahrhundert n. Chr., der indische Mathematiker Aryabhata habe eine vorhandene Version dieses Systems in seine Arbeit aufgenommen und mit unterschiedlichen Notationen experimentiert. Im 7. Jahrhundert, Brahmagupta Die Verwendung von 0 als separate Zahl festgelegt und die Ergebnisse für Multiplikation, Teilung, Addition und Subtraktion von Null und allen anderen Zahlen festgelegt - außer für das Ergebnis von Durch Null teilen. Sein Zeitgenosse, die Syrien Bischof Severus Sebokht (650 n. Chr.) Sagte: "Inder besitzen eine Berechnungsmethode, dass kein Wort genug loben kann. Ihr rationales System der Mathematik oder ihre Berechnungsmethode. Ich meine das System mit neun Symbolen."[4] Die Araber lernten auch diese neue Methode und nannten sie HESAB.

Leibniz Stepped Reckoner war der erste Taschenrechner, der alle vier arithmetischen Operationen ausführen konnte.

Obwohl die Codex Vigilanus beschrieben eine frühe Form arabischer Ziffern (weglassen 0) von 976 n. Chr., Leonardo von PISA (Fibonacci) war in erster Linie für die Verbreitung ihrer Verwendung in ganz Europa nach der Veröffentlichung seines Buches verantwortlich Liber Abaci 1202. schrieb er: "Die Methode der Indianer (lateinisch Modus Indorum) übertrifft jede bekannte Methode zum Berechnen. Es ist eine wunderbare Methode. Sie machen ihre Berechnungen mit neun Figuren und Symbolen Null".[5]

Im Mittelalter war die Arithmetik eines der sieben Liberale Künste an Universitäten unterrichtet.

Das Blühen von Algebra in dem mittelalterlich islamisch Welt und auch in Renaissance Europawar ein Ergebnis der enormen Vereinfachung von Berechnung durch Dezimal Notation.

Verschiedene Arten von Werkzeugen wurden erfunden und weit verbreitet, um die numerischen Berechnungen zu unterstützen. Vor der Renaissance waren sie verschiedene Arten von Arten von Abaci. Zu den neueren Beispielen gehören Rutschregeln, Nomogramme und Mechanische Taschenrechner, wie zum Beispiel Pascal's Taschenrechner. Gegenwärtig wurden sie durch elektronische Ersetzungen ersetzt Taschenrechner und Computers.

Rechenoperationen

Die grundlegenden arithmetischen Operationen sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Teilung, obwohl die Arithmetik auch fortgeschrittenere Operationen wie Manipulationen von umfasst Prozentsätze,[6] Quadratwurzeln, Exponentiation, logarithmische Funktionen, und sogar trigonometrische Funktionenin gleicher Weise wie Logarithmen (Prothaphaerese). Arithmetische Ausdrücke müssen gemäß der beabsichtigten Operationssequenz bewertet werden. Es gibt auch verschiedene Methoden, um dies zu spezifizieren - am weitesten verbreitet, zusammen mit Infixnotation- Explizit verwenden Klammern und verlassen sich auf Vorrangregelnoder verwenden a Präfix oder Postfix Notation, die die Ausführungsreihenfolge eindeutig selbst beheben. Alle Reihe von Objekten, bei denen alle vier arithmetischen Operationen (außer Durch Null teilen) kann durchgeführt werden, und wenn diese vier Operationen den üblichen Gesetzen (einschließlich Verteilung) befolgen, wird a genannt aufstellen.[7]

Zusatz

Addition, gekennzeichnet durch das Symbol , ist die grundlegendste Operation der Arithmetik. In seiner einfachen Form kombiniert Addition zwei Zahlen, die Zusatzdaten oder Bedingungen, in eine einzelne Zahl, die Summe der Zahlen (wie z. 2 + 2 = 4 oder 3 + 5 = 8).

Hinzufügen von endlich vielen Zahlen kann als wiederholte einfache Zugabe angesehen werden. Dieses Verfahren ist als bekannt als Summe, ein Begriff, der auch verwendet wird, um die Definition für "unendlich viele Zahlen hinzuzufügen" in einem unendliche Serie. Wiederholte Zugabe der Zahl1 ist die grundlegendste Form von Zählen; Das Ergebnis des Hinzufügens 1 wird normalerweise das genannt Nachfolger der ursprünglichen Nummer.

Addition ist kommutativ und assoziativDie Reihenfolge, in der endlich viele Begriffe hinzugefügt werden, spielt keine Rolle.

Das Nummer 0 hat die Eigenschaft, die, wenn sie zu einer beliebigen Zahl hinzugefügt wird, dieselbe Zahl ergibt; Also ist es das Identitätselement von Addition oder der additive Identität.

Für jede Zahl xEs gibt eine Nummer bezeichnet x, genannt Gegenteil von x, so dass x + ( - -x) = 0 und ( - -x) + x = 0. Also das Gegenteil von x ist der umgekehrt von x in Bezug auf Addition oder die Additive Inverse von x. Zum Beispiel das Gegenteil von 7 ist –7, seit 7 + (–7) = 0.

Addition kann wie im folgenden Beispiel auch geometrisch interpretiert werden. Wenn wir zwei Längenstangen haben 2 und 5Wenn dann die Stöcke nacheinander ausgerichtet sind, wird die Länge des kombinierten Sticks 7, seit 2 + 5 = 7.

Subtraktion

Subtraktion, gekennzeichnet durch das Symbol , ist der inverse Betrieb zur Addition. Subtraktion findet die Unterschied zwischen zwei Zahlen, die Minuend abzüglich der Subtrahend: D = MS. Auf die zuvor etablierte Addition greifen dies zu, dass der Unterschied die Zahl ist, die, wenn sie zum Subtrahend hinzugefügt wird, zum Minuend führt: D + S = M.[8]

Für positive Argumente M und S hält:

Wenn der Minuend größer ist als der Subtrahend, der Unterschied D ist positiv.
Wenn der Minuend kleiner als der Subtrahend ist, der Unterschied D ist negativ.

In jedem Fall, wenn Minuend und Subtrahend gleich sind, der Unterschied D = 0.

Subtraktion ist weder kommutativ Noch assoziativ. Aus diesem Grund wird die Konstruktion dieser umgekehrten Operation in modernen Algebra häufig für die Einführung des Konzepts inverser Elemente verworfen (wie unter skizziert § Addition), wo die Subtraktion als Hinzufügen der additiven Umkehrung der Subtrahend zu dem Minuend angesehen wird, dh, ab = a + ( -b). Der unmittelbare Preis für den Abwurf des binären Subtraktionsbetriebs ist die Einführung des (trivialen) Unary Operationdie additive Umkehrung für eine bestimmte Zahl liefern und den sofortigen Zugang zum Begriff von verlieren Unterschied, was möglicherweise irreführend ist, wenn negative Argumente beteiligt sind.

Für jede Darstellung von Zahlen gibt es Methoden zur Berechnung der Ergebnisse, von denen einige bei der Ausbeutung von Verfahren, die für eine Operation vorhanden sind, auch für kleine Änderungen für andere vorteilhaft sind. Beispielsweise können digitale Computer vorhandene Hinzufügungserklärung wiederverwenden und zusätzliche Schaltungen für die Implementierung einer Subtraktion sparen, indem die Methode von verwendet wird Zwei ergänzt Zur Darstellung der additiven Inversen, die in Hardware extrem einfach zu implementieren sind (Negation). Der Kompromiss ist die Halbierung des Zahlenbereichs für eine feste Wortlänge.

Eine früher weit verbreitete Methode, um einen korrekten Änderungsbetrag zu erreichen, das die fälligen und gegebenen Beträge kennen, ist die Methode zählen, was den Wert der Differenz nicht explizit erzeugt. Angenommen, eine Menge P wird gegeben, um den erforderlichen Betrag zu zahlen Q, mit P größer als Q. Anstatt die Subtraktion explizit durchzuführen PQ = C und diese Menge auszählen C In Veränderung wird Geld begonnen, beginnend mit dem Nachfolger von Qund weiter in den Schritten der Währung, bis P ist erreicht. Obwohl der auszählte Betrag dem Ergebnis der Subtraktion entsprechen muss PQDie Subtraktion wurde nie wirklich getan und der Wert von PQ wird nach dieser Methode nicht geliefert.

Multiplikation

Multiplikation, bezeichnet durch die Symbole oder , ist die zweite grundlegende Operation der Arithmetik. Die Multiplikation kombiniert auch zwei Zahlen zu einer einzelnen Zahl, die Produkt. Die beiden ursprünglichen Zahlen werden die genannt Multiplikator und die Multiplikand, meistens werden beide einfach genannt Faktoren.

Die Multiplikation kann als Skalierungsoperation angesehen werden. Wenn sich die Zahlen als in einer Zeile liegen, multiplikation mit einer Zahl von mehr als 1, z. B. x, ist das gleich x war. In ähnlicher Weise kann sich ein Multiplizieren mit einer Zahl von weniger als 1 als Drücken in Richtung 0 vorstellen, so dass 1 zum Multiplikand geht.

Eine weitere Ansicht über die Multiplikation von Ganzzahlzahlen (erweiterbar für Rationals, aber nicht sehr zugänglich für reale Zahlen) ist, indem sie sie als wiederholte Zugabe betrachten. Zum Beispiel. 3 × 4 entspricht dem Hinzufügen 3 mal a 4, oder 4 mal a 3das gleiche Ergebnis geben. Es gibt verschiedene Meinungen zu der Vorteilsheit dieser Paradigmata in Mathematikunterricht.

Die Multiplikation ist kommutativ und assoziativ; Ferner ist es verteilt Über Zugabe und Subtraktion. Das multiplikative Identität ist 1, da die Multiplizierung einer beliebigen Zahl mit 1 dieselbe Zahl ergibt. Das multiplikativer Inverse für eine beliebige Zahl außer0 ist der gegenseitig dieser Zahl, da die Multiplikation der gegenseitigen Zahl mit der Zahl selbst die multiplikative Identität ergibt 1. 0ist die einzige Zahl ohne multiplikativ umgekehrte und das Ergebnis der Multiplikation einer beliebigen Zahl und 0 ist wieder 0. Man sagt das 0 ist nicht im multiplikativen Gruppe der Zahlen.

Das Produkt von a und b ist geschrieben als a × b oder a·b. Wann a oder b sind Ausdrücke nicht einfach mit Ziffern geschrieben, es wird auch durch einfaches Nebeneinander geschrieben:ab. In Computerprogrammiersprachen und Softwarepaketen (in denen man nur Zeichen verwenden kann, die normalerweise auf einer Tastatur zu finden sind) wird es häufig mit einem Sternchen geschrieben:a * b.

Algorithmen, die den Betrieb der Multiplikation für verschiedene Darstellungen von Zahlen implementieren, sind weitaus teurer und mühsamer als die für die Addition. Diejenigen, die für die manuelle Berechnung zugänglich sind Tische oder Rutschregeln, damit die Multiplikation auf Addition zugeordnet wird und umgekehrt. Diese Methoden sind veraltet und werden nach und nach durch mobile Geräte ersetzt. Computer verwenden verschiedene hoch entwickelte und hoch optimierte Algorithmen, um Multiplikation und Abteilung für die verschiedenen in ihrem System unterstützten Zahlenformate zu implementieren.

Aufteilung

Teilung, gekennzeichnet durch die Symbole oder ist im Wesentlichen der inverse Betrieb zur Multiplikation. Division findet die Quotient von zwei Zahlen, die Dividende geteilt durch die Divisor. Unter den gemeinsamen Regeln Dividende geteilt durch Null ist nicht definiert. Wenn die Dividende bei unterschiedlichen positiven Zahlen größer als der Divisor ist, ist der Quotient größer als 1, andernfalls ist er weniger oder gleich 1 (eine ähnliche Regel gilt für negative Zahlen). Der vom Divisor multiplizierte Quotient ergibt immer die Dividende.

Die Teilung ist weder kommutativ noch assoziativ. So wie in § SubtraktionDer Bau der Abteilung in modernen Algebra wird für die Konstruktion der inversen Elemente in Bezug auf die Multiplikation verworfen, wie in eingeführt § Multiplikation. Daher ist die Abteilung die Multiplikation der Dividende mit der gegenseitig des Divisors als Faktoren, das heißt, a ÷ b = a × 1/b.

Innerhalb der natürlichen Zahlen gibt es auch einen anderen, aber verwandten Begriff genannt Euklidische Division, was zwei Zahlen ausgibt, nachdem ein natürliches "geteilt" wird N (Zähler) durch natürliche D (Nenner): Zuerst eine natürliche Q (Quotient) und zweitens eine natürliche R (Rest) so dass N = D×Q + R und 0 ≤ R < Q.

In einigen Kontexten, einschließlich Computerprogrammierung und fortschrittlicher Arithmetik, wird die Teilung für den Rest mit einer weiteren Ausgabe erweitert. Dies wird oft als separate Operation behandelt, die Modulo -Betrieb, bezeichnet durch das Symbol oder das Wort , obwohl manchmal eine zweite Ausgabe für einen "Divmod" -Operation.[9] In beiden Fällen, Modulararithmetik hat eine Vielzahl von Anwendungsfällen. Verschiedene Implementierungen der Abteilung (bodengedämmt, verkürzt, euklidisch usw.) entsprechen mit unterschiedlichen Implementierungen des Moduls.

Grundsatz der Arithmetik

Der grundlegende Theorem der Arithmetik gibt an, dass jede ganze Zahl von mehr als 1 eine einzigartige Primfaktorisierung aufweist (eine Darstellung einer Zahl als Produkt von Primfaktoren), ausgenommen die Reihenfolge der Faktoren. Zum Beispiel hat 252 nur eine Primfaktorisierung:

252 = 22 × 32 × 71

Euklids Elemente stellte diesen Satz zuerst vor und gab einen teilweise Beweis (der genannt wird Euclids Lemma). Der grundlegende Theorem der Arithmetik wurde zuerst durch bewiesen von Carl Friedrich Gauß.

Der grundlegende Theorem der Arithmetik ist einer der Gründe Warum 1 nicht als Primzahl angesehen wird. Andere Gründe sind die Sieb von Eratosthenesund die Definition einer Primzahl selbst (eine natürliche Zahl von mehr als 1, die nicht durch Multiplizieren von zwei kleineren natürlichen Zahlen gebildet werden kann).

Dezimalarithmetik

Dezimalrepräsentation bezieht sich ausschließlich auf die geschriebene Ziffernungssystem Beschäftigung arabische Ziffern als die Ziffern Für ein Radix 10 ("Dezimal") Positionsnotation; Allerdings alle Ziffernungssystem basierend auf Kräften von 10, z. B.,, griechisch, kyrillisch, römisch, oder Chinesische Ziffern kann konzeptionell als "Dezimalnotation" oder "Dezimalrepräsentation" beschrieben werden.

Moderne Methoden für vier grundlegende Operationen (Zugabe, Subtraktion, Multiplikation und Teilung) wurden zunächst von entwickelt von Brahmagupta von Indien. Dies wurde während des mittelalterlichen Europas als "Modus Indorum" oder Methode der Indianer bekannt. Positionsnotation (auch als "Place-Value-Notation" bezeichnet) bezieht sich auf die Darstellung oder Codierung von Zahlen Verwenden Sie dasselbe Symbol für das verschiedene Größenordnungen (z. B. die "Einen Ort", "Ten Place", "Hunderte Place") und mit a Radixpunktmit denselben Symbolen zur Darstellung Brüche (z. B. der "Zehntel", "Hundertstel Platz"). Zum Beispiel bezeichnet 507.36 5 Hundert (10)2) plus 0 Zehn (10)1) plus 7 Einheiten (100) plus 3 Zehntel (10–1) plus 6 Hundertstel (10–2).

Das Konzept von 0 Als eine Zahl, die mit den anderen grundlegenden Ziffern vergleichbar ist, ist dies für diese Notation von wesentlicher Bedeutung, ebenso wie das Konzept der Verwendung von 0 als Platzhalter und ebenso wie die Definition von Multiplikation und Addition mit 0. Die Verwendung von 0 als Platzhalter und daher die Die Verwendung einer Positionsnotation wird zunächst in der bestätigt Jain Text von Indien berechtigte das Lokavibhâga, datiert 458 n. Chr. Und erst im frühen 13. Jahrhundert, über die über die übertragen wurde Stipendium der arabischen Weltwurden eingeführt in Europa durch Fibonacci[10] Verwenden des hindu -arabischen Ziffernsystems.

Algorismus Enthält alle Regeln für die Durchführung arithmetischer Berechnungen mit dieser Art von schriftlicher Ziffer. Zum Beispiel erzeugt Addition die Summe von zwei willkürlichen Zahlen. Das Ergebnis wird durch die wiederholte Zugabe einzelner Ziffern aus jeder Zahl berechnet, die dieselbe Position einnimmt und von rechts nach links fortgesetzt wird. Eine Additionstabelle mit zehn Zeilen und zehn Spalten zeigt alle möglichen Werte für jede Summe an. Wenn eine einzelne Summe den Wert 9 überschreitet, wird das Ergebnis mit zwei Ziffern dargestellt. Die vigitische Ziffer rechts ist der Wert für die aktuelle Position, und das Ergebnis für die nachfolgende Zugabe der Ziffern nach links steigt um den Wert der zweiten (linken) Ziffer, was immer eins ist (wenn nicht Null). Diese Anpassung wird als a bezeichnet tragen des Wertes 1.

Der Prozess zum Multiplizieren von zwei willkürlichen Zahlen ähnelt dem Prozess zur Addition. Eine Multiplikationstabelle mit zehn Zeilen und zehn Spalten listet die Ergebnisse für jedes Ziffernpaar auf. Wenn ein individuelles Produkt von zwei Ziffern 9 überschreitet, die tragen Die Anpassung erhöht das Ergebnis einer nachfolgenden Multiplikation von Ziffern nach links durch einen Wert, der der zweiten (linken) Ziffer entspricht. 1 bis 8 (9 × 9 = 81). Zusätzliche Schritte definieren das Endergebnis.

Ähnliche Techniken existieren für Subtraktion und Teilung.

Die Schaffung eines korrekten Verfahrens zur Multiplikation beruht auf der Beziehung zwischen Werten benachbarter Ziffern. Der Wert für eine einzelne Ziffer in einer Ziffer hängt von seiner Position ab. Außerdem stellt jede Position links einen zehnmal größeren Wert dar als die Position nach rechts. In mathematischer Hinsicht die Exponent für die Radix (Basis) von 10 nimmt um 1 (nach links) zu oder nimmt um 1 (nach rechts) ab. Daher wird der Wert für eine beliebige Ziffer mit einem Wert der Form 10 multipliziertn mit ganze Zahl n. Die Liste der Werte, die allen möglichen Positionen für eine einzelne Ziffer entsprechen als {..., 102, 10, 1, 10–1, 10–2, ...}.

Die wiederholte Multiplikation jeglicher Wert in dieser Liste mit 10 ergibt einen weiteren Wert in der Liste. In der mathematischen Terminologie wird dieses Merkmal definiert als Schließungund die vorherige Liste wird als beschrieben als unter Multiplikation geschlossen. Es ist die Grundlage für die korrekte Suche nach den Multiplikationsgebnissen mithilfe der vorherigen Technik. Dieses Ergebnis ist ein Beispiel für die Verwendung von Zahlentheorie.

Arithmetik der zusammengesetzten Einheit

Verbindung[11] Einheitsarithmetik ist die Anwendung von arithmetischen Operationen auf gemischter Radix Mengen wie Füße und Zoll; Gallonen und Pints; Pfund, Schilling und Pence; usw. Vor auf Dezimalbasis basierenden Geld- und Maßeinheiten wurde die zusammengesetzte Arithmetik im Handel und der Industrie weit verbreitet.

Grundlegende arithmetische Operationen

Die in der Arithmetik verwendeten Techniken wurden über viele Jahrhunderte entwickelt und sind in vielen Lehrbüchern in vielen verschiedenen Sprachen gut dokumentiert.[12][13][14][15] Zusätzlich zu den grundlegenden arithmetischen Funktionen, die in Dezimalarithmetik auftreten, verwendet die zusammengesetzte Einheit -Arithmetik drei weitere Funktionen:

  • Die Ermäßigung, in der eine zusammengesetzte Menge auf eine einzelne Menge reduziert wird - zum Beispiel Umwandlung eines Abstands in Metern, Füßen und Zoll zu einem in Zoll ausgedrückten Zoll.[16]
  • Erweiterung, das Umkehrfunktion Um zu reduzieren, ist die Umwandlung einer Menge, die als eine Maßeinheit in eine Verbindungseinheit ausgedrückt wird, z. 1 lb 8 oz.
  • Normalisierung ist die Umwandlung einer Reihe von zusammengesetzten Einheiten in eine Standardform - zum Beispiel umschreiben ".1 ft 13 in" wie "2 ft 1 in".

Die Kenntnis der Beziehung zwischen den verschiedenen Maßeinheiten, ihrem Vielfachen und ihren Untermultiplaten ist ein wesentlicher Bestandteil der zusammengesetzten Einheit -Arithmetik.

Prinzipien der zusammengesetzten Einheitsarithmetik

Es gibt zwei grundlegende Ansätze für die Arithmetik für zusammengesetzte Einheiten:

  • Reduktions -Expansionsmethode Wenn alle Variablen der Verbindungseinheit auf einzelne Einheitsvariablen reduziert werden, wurde die Berechnung durchgeführt und das Ergebnis wieder auf zusammengesetzte Einheiten ausgeweitet. Dieser Ansatz eignet sich für automatisierte Berechnungen. Ein typisches Beispiel ist die Handhabung der Zeit von Microsoft Excel wo alle Zeitintervalle intern als Tage und Dezimalfraktionen eines Tages verarbeitet werden.
  • Laufende Normalisierungsmethode in dem jede Einheit getrennt behandelt wird und das Problem bei der Entwicklung der Lösung kontinuierlich normalisiert wird. Dieser Ansatz, der in klassischen Texten weit verbreitet ist, eignet sich am besten für manuelle Berechnungen. Ein Beispiel für die laufende Normalisierungsmethode, die auf die Addition angewendet wird, ist unten gezeigt.
MixedUnitAddition.svg

Der Additionsbetrieb wird von rechts nach links durchgeführt. In diesem Fall werden Pence zuerst verarbeitet, dann Schilling, gefolgt von Pfund. Die Zahlen unterhalb der "Antwortzeile" sind Zwischenergebnisse.

Die Gesamtsumme in der Pence -Spalte beträgt 25. Da es 12 Pennys in einem Schilling haben, wird 25 durch 12 geteilt, um 2 mit einem Rest von 1 zu geben. Der Wert "1" wird dann in die Antwortzeile und den Wert "2" geschrieben. vorwärts zur Schillingsäule gebracht. Diese Operation wird unter Verwendung der Werte in der Spalte Shillings wiederholt, wobei der zusätzliche Schritt des Wertes hinzugefügt wurde, der aus der Pennies -Spalte vorangetrieben wurde. Die mittlere Gesamtsumme wird durch 20 geteilt, da 20 Schilling in einem Pfund vorhanden sind. Die Pfundsäule wird dann verarbeitet, aber da die Pfund die größte Einheit sind, die in Betracht gezogen wird, werden keine Werte von der Pfundsäule übertragen.

Der Einfachheit halber hatte das ausgewählte Beispiel keine weiteren Branchen.

Operationen in der Praxis

Eine Skala kalibriert in kaiserlichen Einheiten mit einer zugehörigen Kostenanzeige.

Während des 19. und 20. Jahrhunderts wurden verschiedene AIDS entwickelt, um die Manipulation von zusammengesetzten Einheiten, insbesondere in kommerziellen Anwendungen, zu unterstützen. Die häufigsten Hilfsmittel waren mechanische Kassen die in Ländern wie dem Vereinigten Königreich angepasst wurden, um Pfund, Schilling, Pennys und Ferne und Ferne zu unterbringen und Bereitsrechte, die Bücher sind, die an Händler gerichtet sind, die die Ergebnisse verschiedener Routineberechnungen wie die Prozentsätze oder Vielfachen verschiedener Geldsummen katalogisiert haben. Eine typische Broschüre[17] Das lief auf 150 Seiten tabellarische Mehrfachhöhe "von einem bis zehntausend zu den verschiedenen Preisen von einem Farthing auf ein Pfund".

Die umständliche Natur der zusammengesetzten Einheitsarithmetik wird seit vielen Jahren anerkannt - im Jahr 1586 der flämische Mathematiker Simon Stevin veröffentlichte eine kleine Broschüre namens namens De thiende ("die Zehnte")[18] in dem er die universelle Einführung von Dezimalpräsentationen, Maßnahmen und Gewichten als lediglich eine Frage der Zeit darstellte. In der modernen Zeit zeigen viele Konvertierungsprogramme, wie sie im Microsoft Windows 7 -Betriebssystemrechner enthalten sind "2 ft 6 in").

Zahlentheorie

Bis zum 19. Jahrhundert, Zahlentheorie war ein Synonym für "Arithmetik". Die angesprochenen Probleme standen in direktem Zusammenhang mit den grundlegenden Operationen und betroffenen Primalität, Trennbarkeit, und die Lösung von Gleichungen in Ganzzahlen, wie zum Beispiel Fermats letzter Satz. Es schien, dass die meisten dieser Probleme, obwohl sie sehr elementar zu sagen haben, sehr schwierig sind und möglicherweise nicht ohne sehr tiefe Mathematik gelöst werden, die Konzepte und Methoden aus vielen anderen Zweigen der Mathematik betrifft. Dies führte zu neuen Zahlenzweigen wie z. analytische Zahlentheorie, Algebraische Zahlentheorie, Diophantinische Geometrie und Arithmetische algebraische Geometrie. Weses 'Beweis für Fermats letzten Satz ist ein typisches Beispiel für die Notwendigkeit von ausgefeilten Methoden, die weit über die klassischen Arithmetikmethoden hinausgehen, um Probleme zu lösen, die in der Elementararithmetik angegeben werden können.

Arithmetik in der Bildung

Grundschulbildung In der Mathematik konzentriert sich oft stark auf Algorithmen für die Arithmetik von natürliche Zahlen, Ganzzahlen, Brüche, und Dezimalstellen (Verwenden des Dezimalstellen-Wert-Systems). Diese Studie ist manchmal als Algorismus bekannt.

Die Schwierigkeit und das unmotivierte Erscheinungsbild dieser Algorithmen haben die Pädagogen seit langem dazu veranlasst, diesen Lehrplan in Frage zu stellen und sich für den frühen Unterricht von zentraleren und intuitiveren mathematischen Ideen einzusetzen. Eine bemerkenswerte Bewegung in diese Richtung war die Neue Mathematik der 1960er und 1970er Jahre, die versuchten, Arithmetik im Geiste der axiomatischen Entwicklung aus der festgelegten Theorie zu lehren, ein Echo des vorherrschenden Trends in höherer Mathematik.[19]

Auch Arithmetik wurde von verwendet von Islamische Gelehrte Um die Anwendung der Entscheidungen im Zusammenhang mit der Bezogen zu lehren Zakat und Irth. Dies geschah in einem Buch mit dem Titel " Das Beste aus Arithmetik Von Abd-Al-Fattah-al-Dumyati.[20]

Das Buch beginnt mit den Grundlagen der Mathematik und geht in den späteren Kapiteln zu seiner Bewerbung weiter.

Siehe auch

verwandte Themen

Anmerkungen

  1. ^ Rudman, Peter Strom (2007). Wie Mathematik passierte: Die ersten 50.000 Jahre. Prometheus -Bücher. p.64. ISBN 978-1-59102-477-4.
  2. ^ Die Werke von Archimedes, Kapitel IV, Arithmetik in Archimedes, herausgegeben von T.L. Heath, Dover Publications Inc, New York, 2002.
  3. ^ Joseph Needham, Wissenschaft und Zivilisation in China, Vol. 3, p. 9, Cambridge University Press, 1959.
  4. ^ Referenz: Revue de l'orior Chretien von François NAU S. 327–338. (1929)
  5. ^ Referenz: Sigler, L., "Fibonaccis Liber Abaci", Springer, 2003.
  6. ^ "Definition der Arithmetik". MathSisfun.com. Archiviert vom Original am 2020-12-31. Abgerufen 2020-08-25.
  7. ^ Tapson, Frank (1996). Das Oxford Mathematics Study Dictionary. Oxford University Press. ISBN 0-19-914551-2.
  8. ^ "Arithmetik". Enzyklopädie Britannica. Archiviert vom Original am 2020-11-12. Abgerufen 2020-08-25.
  9. ^ "Python divmod () Funktion". W3schools. Refsnes Daten. Archiviert vom Original am 2021-03-13. Abgerufen 2021-03-13.
  10. ^ Leonardo Pisano - p. 3: "Beiträge zur Zahlentheorie" Archiviert 2008-06-17 bei der Wayback -Maschine. Encyclopædia Britannica Online, 2006. Abgerufen am 18. September 2006.
  11. ^ Walkingame, Francis (1860). "Der Begleiter des Tutors; oder vollständige praktische Arithmetik" (PDF). Webb, Millington & Co. S. 24–39. Archiviert von das Original (PDF) Am 2015-05-04.
  12. ^ Palaiseau, JFG (Oktober 1816). Métrologie Universelle, Ancienne et Moderne: OU Rapport des Poids et Mesures des Empires, Royaumes, Herzogs und Principalés des Quatre Parties du Monde [Universelle, alte und moderne Metrologie: oder Bericht über Gewichte und Messungen von Imperien, Königreichen, Herzogtum und Fürstentinnen aller Teile der Welt] (auf Französisch). Bordeaux. Archiviert Aus dem Original am 26. September 2014. Abgerufen 30. Oktober, 2011.
  13. ^ Jacob de Gelder (1824). Alereerste Grenz der Cijferkunst [Einführung in die Zahl] (In Holländisch). 's-Gravenhage und Amsterdam: de Gebroeders van Cleef. S. 163–176. Archiviert Aus dem Original am 5. Oktober 2015. Abgerufen 2. März, 2011.
  14. ^ Malaisé, Ferdinand (1842). Theoretisch-practischer unterricht im recneen für die nesteren clasden der Regimenterschulen der Königl. Bayer. Infantrie und Kavallerie [Theoretische und praktische Unterricht in der Arithmetik für die unteren Klassen der königlichen bayerischen Infanterie- und Kavallerieschule] (auf Deutsch). München. Archiviert Aus dem Original am 25. September 2012. Abgerufen 20. März 2012.
  15. ^ Encyclopædia Britannica, vol. I, Edinburgh, 1772, Arithmetick
  16. ^ Walkingame, Francis (1860). "Der Begleiter des Tutors; oder vollständige praktische Arithmetik" (PDF). Webb, Millington & Co. S. 43–50. Archiviert von das Original (PDF) Am 2015-05-04.
  17. ^ Thomson, J (1824). Der Bereitschaftsberechtiger in einer Miniatur, die einen genauen Tisch von eins bis tausend zu den verschiedenen Preisen von einem Farthing auf ein Pfund enthält. Montreal. ISBN 9780665947063. Archiviert Aus dem Original am 28. Juli 2013. Abgerufen 25. März 2012.
  18. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (Januar 2004), "Arithmetik", Archiv der Maktorgeschichte des Mathematiks, Universität von St. Andrews
  19. ^ Mathematisch korrekt: Glossar von Begriffen
  20. ^ Al-Dumyati, Abd-Al-Fattah bin Abd-Al-Rahman al-Banna (1887). "Das Beste aus Arithmetik". World Digital Library (auf Arabisch). Abgerufen 30. Juni 2013.

Verweise

Externe Links