Bereich

Bereich
Gemeinsame Symbole	A
SI-Einheit	Quadratmeter [m2]
Im Si -Basiseinheiten	1m2
Abmessungen	${\ displayStyle {\ mathsf {l}}^{2}}$

Der kombinierte Bereich dieser drei Formen ist etwa 15.57 Quadrate.

Bereich ist der Anzahl das drückt das Ausmaß von a Region auf der Flugzeug oder auf einem gebogenen auftauchen. Der Bereich einer Flugregion oder Flugzeugbereich bezieht sich auf den Bereich von a Form oder planare Lamina, während Oberfläche bezieht sich auf den Bereich eines Offene Oberfläche oder der Grenze von a Dreidimensionales Objekt. Bereich kann als die Menge an Material mit einer bestimmten Dicke verstanden werden, die erforderlich wäre, um ein Modell der Form oder die Menge von Farbe notwendig, um die Oberfläche mit einem einzigen Schicht zu bedecken.^[1] Es ist das zweidimensionale Analogon der Länge von a Kurve (ein eindimensionales Konzept) oder der Volumen eines soliden (ein dreidimensionales Konzept).

Der Bereich einer Form kann gemessen werden, indem die Form mit dem Vergleich mit Quadrate einer festen Größe.^[2] In dem Internationales System der Einheiten (SI) ist die Standardeinheit des Flächens die Quadratmeter (geschrieben als m²), die die Fläche eines Quadrats ist, dessen Seiten eins sind Meter lang.^[3] Eine Form mit einer Fläche von drei Quadratmetern hätte die gleiche Fläche wie drei solcher Quadrate. Im Mathematik, das Einheitsquadrat ist definiert, um einen Bereich zu haben, und der Bereich jeder anderen Form oder Oberfläche ist a dimensionlos reelle Zahl.

Dieses Quadrat und diese Festplatte haben beide die gleiche Fläche (siehe: Quadrieren des Kreises).

Es gibt mehrere bekannte Formeln Für die Bereiche einfacher Formen wie z. Dreiecke, Rechtecke, und Kreise. Verwenden dieser Formeln den Bereich von jedem Polygon kann von gefunden werden von Teilen des Polygons in Dreiecke.^[4] Für Formen mit gekrümmter Grenze, Infinitesimalrechnung ist normalerweise erforderlich, um den Bereich zu berechnen. In der Tat war das Problem der Bestimmung des Bereichs der Ebenenfiguren eine wichtige Motivation für die Historische Entwicklung von Kalkül.^[5]

Für eine feste Form wie a Kugel, Kegel oder Zylinder, wird die Fläche seiner Grenzfläche als die genannt Oberfläche.^[6][7][8] Formeln für die Oberflächen einfacher Formen wurden von der berechnet Antike Griechen, aber die Berechnung der Oberfläche einer komplizierteren Form erfordert normalerweise Multivariable Infinitesimalrechnung.

Der Bereich spielt eine wichtige Rolle in der modernen Mathematik. Zusätzlich zu seiner offensichtlichen Bedeutung in Geometrie und Kalkül, Fläche hängt mit der Definition von zusammen Determinanten in Lineare Algebra, und ist eine grundlegende Eigenschaft von Oberflächen in Differentialgeometrie.^[9] Im AnalyseDie Fläche einer Teilmenge der Ebene wird mit Verwendung definiert Lebesgue -Maßnahme,^[10] Obwohl nicht jede Untergruppe messbar ist.^[11] Im Allgemeinen wird der Bereich in höherer Mathematik als Sonderfall des Volumens für zweidimensionale Regionen angesehen.^[6]

Der Bereich kann durch die Verwendung von Axiomen definiert werden und definiert ihn als Funktion einer Sammlung bestimmter Ebenenfiguren für den Satz realer Zahlen. Es kann bewiesen werden, dass eine solche Funktion existiert.

Formale Definition

Ein Ansatz zur Definition, was mit "Bereich" gemeint ist Axiome. "Bereich" kann als Funktion von einer Sammlung m einer speziellen Arten von Ebenen (Messable Sets) zu dem Satz realer Zahlen definiert werden, was die folgenden Eigenschaften erfüllt:^[12]

• Für alle S in M, a(S) ≥ 0.
• Wenn S und T sind in M Dann auch S ∪ T und S ∩ T, und auch a(S∪T) = a(S) + a(T) - a(S∩T).
• Wenn S und T sind in M mit S ⊆ T dann T − S ist in M und a(T−S) = a(T) - a(S).
• Wenn ein Satz S ist in M und S ist kongruent zu T dann T ist auch in M und a(S) = a(T).
• Jedes Rechteck R ist in M. Wenn das Rechteck Länge hat h und Breite k dann a(R) = HK.
• Lassen Q Seien Sie ein Satz zwischen zwei Schrittenregionen S und T. Eine Schrittregion wird aus einer endlichen Vereinigung benachbarter Rechtecke gebildet, die auf einer gemeinsamen Basis ruhen, d.h. S ⊆ Q ⊆ T. Wenn es eine eindeutige Zahl gibt c so dass a(S) ≤ c ≤ a(T) für alle solchen Stufenregionen S und T, dann a(Q) = c.

Es kann bewiesen werden, dass eine solche Bereichsfunktion tatsächlich existiert.^[13]

Einheiten

Ein Quadratmeter Quadrat aus PVC -Rohr hergestellt.

Jeder Längeneinheit hat eine entsprechende Flächeeinheit, nämlich die Fläche eines Quadrats mit der angegebenen Seitenlänge. Somit können Bereiche in gemessen werden Quadratmeter (m²), quadratische Zentimeter (cm²), quadratische Millimeter (mm²), Quadratkilometer (km²), Quadratfuß (ft²), Quadratmeter (yd²), Quadratmeilen (mi²), und so weiter.^[14] Algebraisch können diese Einheiten als die betrachtet werden Quadrate der entsprechenden Längeneinheiten.

Die SI -Fläche ist das quadratische Meter, der als als angesehen wird Si -abgeleitete Einheit.^[3]

Konvertierungen

Obwohl es 10 mm in 1 cm gibt, gibt es 100 mm² in 1 cm².

Berechnung der Fläche eines Quadrats, dessen Länge und Breite 1 Meter betragen, wäre:

1 Meter × 1 Meter = 1 m²

Und so würde ein Rechteck mit unterschiedlichen Seiten (beispielsweise Länge von 3 Metern und Breite von 2 Metern) eine Fläche in quadratischen Einheiten haben, die berechnet werden kann:

3 Meter × 2 Meter = 6 m². Dies entspricht 6 Millionen Quadratmillimetern. Andere nützliche Conversions sind:

• 1 Quadratkilometer = 1.000.000 Quadratmeter
• 1 Quadratmeter = 10.000 Quadratzentimeter = 1.000.000 Quadratmillimeter
• 1 Quadratzentimeter = 100 Quadratmillimeter.

Nicht metrische Einheiten

In nicht metrischen Einheiten ist die Umwandlung zwischen zwei Quadrateinheiten die Quadrat der Umwandlung zwischen den entsprechenden Längeneinheiten.

1 Fuß = 12 Zoll,

Die Beziehung zwischen Quadratfuß und Quadratzoll ist

1 Quadratfuß = 144 Quadratzoll,,

wo 144 = 12² = 12 × 12. Ähnlich:

• 1 Quadratmeter = 9 Quadratfuß
• 1 Quadratmeile = 3.097.600 Quadratmeter = 27.878.400 Quadratfuß

Darüber hinaus umfassen Conversion -Faktoren:

• 1 Quadratzoll = 6,4516 Quadratzentimeter
• 1 Quadratfuß = 0,09290304 Quadratmeter
• 1 Quadratmeter = 0,83612736 Quadratmeter
• 1 Quadratmeile = 2.589988110336 Quadratkilometer

Andere Einheiten, einschließlich historischer

Es gibt mehrere andere gemeinsame Einheiten für den Bereich. Das sind war die ursprüngliche Flächeeinheit in der metrisches System, mit:

• 1 sind = 100 Quadratmeter

Obwohl die Are nicht in Gebrauch geraten ist, die, die Hektar wird immer noch häufig zur Messung von Land verwendet:^[14]

• 1 Hektar = 100 ARES = 10.000 Quadratmeter = 0,01 Quadratkilometer

Andere ungewöhnliche metrische Flächeneinheiten sind die Tetrad, das Hektad, und die unzählige.

Das Acre wird auch häufig verwendet, um Landgebiete zu messen, wo

• 1 Morgen = 4,840 Quadratmeter = 43.560 Quadratfuß.

Ein Morgen ist ungefähr 40% eines Hektars.

Auf der atomaren Skala wird die Fläche in Einheiten von gemessen Scheunen, so dass:^[14]

• 1 Scheune = 10^–28 Quadratmeter.

Die Scheune wird üblicherweise zur Beschreibung des Querschnittsbereichs der Wechselwirkung in verwendet Kernphysik.^[14]

Im IndienAnwesend

• 20 dhurki = 1 dhur
• 20 dhur = 1 khatha
• 20 khata = 1 Bigha
• 32 khata = 1 Morgen

Geschichte

Kreisbereich

Im 5. Jahrhundert v. Chr., Hippokrates von Chios war der erste, der zeigte, dass die Fläche einer Festplatte (die von einem Kreis eingeschlossene Region) proportional zum Quadrat seines Durchmessers ist, als Teil seiner Quadratur des Lune von Hippokrates,^[15] identifizierte aber nicht das Konstante der Verhältnismäßigkeit. Eudoxus von CnidusEbenfalls im 5. Jahrhundert v. Chr. Fanden auch fest, dass die Fläche einer Festplatte proportional zu seinem Radius quadriert ist.^[16]

Anschließend Buch I von Euklids Elemente behandelt mit Gleichheit von Bereichen zwischen zweidimensionalen Zahlen. Der Mathematiker Archimedes benutzte die Werkzeuge von Euklidische Geometrie um zu zeigen, dass der Bereich in einem Kreis gleich dem von a ist rechtwinkliges Dreieck deren Basis die Länge des Umfangs des Kreises hat und deren Höhe in seinem Buch dem Radius des Kreises entspricht Messung eines Kreises. (Der Umfang ist 2πrund die Fläche eines Dreiecks ist die halbe Basiszeit der Höhe und ergibt den Bereich πr² für die Scheibe.) Archimedes approximierte den Wert von π (und damit die Fläche eines Einheiten-Radius-Kreises) mit seine Verdoppelungsmethode, in dem er ein reguläres Dreieck in einem Kreis eingeschrieben und seinen Bereich bemerkte, dann verdoppelte er die Anzahl der Seiten, um einen regulären Hexagondann verdoppelte die Anzahl der Seiten wiederholt, als der Bereich des Polygons dem des Kreises immer näher kam (und das gleiche mit umschriebene Polygone).

Schweizer Wissenschaftler Johann Heinrich Lambert 1761 bewies das πDas Verhältnis eines Kreisbereichs zu seinem quadratischen Radius ist irrational, was bedeutet, dass es nicht dem Quotienten von zwei ganzen Zahlen entspricht.^[17] 1794 französischer Mathematiker Adrien-Marie Legendre bewies, dass π² ist irrational; Dies beweist auch, dass π irrational ist.^[18] Im Jahr 1882 deutscher Mathematiker Ferdinand von Lindemann bewiesen, dass π ist transzendental (nicht die Lösung von irgendeiner Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten), was eine Vermutung bestätigt durch beide Legendre und Euler.^{[17]: p. 196}

Dreiecksbereich

Heron (oder Held) von Alexandria gefunden, was bekannt ist als Herons Formel Für den Bereich eines Dreiecks in Bezug auf seine Seiten, und ein Beweis kann in seinem Buch gefunden werden, Metrica, um 60 n. Chr. Geschrieben. Es wurde vorgeschlagen, dass Archimedes kannte die Formel über zwei Jahrhunderte früher,^[19] und da Metrica Es ist eine Sammlung des in der Antike verfügbaren mathematischen Wissens, es ist möglich, dass die Formel vor der Referenz in dieser Arbeit geht.^[20]

In 499 Aryabhata, ein großer Mathematiker-Astronom aus dem klassischen Zeitalter von Indische Mathematik und Indische Astronomiedrückte die Fläche eines Dreiecks als die Hälfte der Grundzeit so aus wie die Höhe in der Aryabhatiya (Abschnitt 2.6).

Eine Formel entdeckt von den Chinesen unabhängig von den Griechen. Es wurde 1247 in veröffentlicht Shushu Jiuzhang (""Mathematische Abhandlung in neun Abschnitten"), geschrieben von Qin Jiushao.

Viereckiger Bereich

Im 7. Jahrhundert n. Chr., Brahmagupta entwickelte eine Formel, jetzt bekannt als als Brahmaguptas Formel, für den Bereich von a zyklischer Viereck (a Viereck eingeschrieben in einem Kreis) in Bezug auf seine Seiten. 1842 die deutschen Mathematiker Carl Anton Bretschneider und Karl Georg Christian von Staudt unabhängig eine Formel fand, bekannt als als Bretschneiders Formel, für die Fläche eines beliebigen Vierecks.

Allgemeiner Polygonbereich

Die Entwicklung von Kartesischen Koordinaten durch René Descartes Im 17. Jahrhundert erlaubte die Entwicklung der Formel des Vermessers für den Bereich eines jeden Polygons mit bekannter Scheitel Standorte von Gauß im 19. Jahrhundert.

Bereiche, die unter Verwendung von Kalkül ermittelt wurden

Die Entwicklung von Integralrechnung Im späten 17. Jahrhundert stellten Tools zur Verfügung, die anschließend zum Berechnen komplizierterer Bereiche wie dem Bereich eines verwendet werden konnten Ellipse und die Oberflächen von verschiedenen gekrümmten dreidimensionalen Objekten.

Gebietsformeln

Polygonformeln

Für eine Nicht-selbst-Intersektation (einfach) Polygon, die Kartesischen Koordinaten ${\ displayStyle (x_ {i}, y_ {i})}$ (i= 0, 1, ..., n-1) von wessen n Eckpunkte sind bekannt, der Bereich wird von der gegeben Formel des Vermessers:^[21]

$oder +1} y_ {i}) {\ biggr \ vert}}$

wo wann i=n-1, dann i+1 wird ausgedrückt als Modul n und so bezieht sich auf 0.

Rechtecke

Der Bereich dieses Rechtecks ​​istlw.

Die grundlegendste Gebietsformel ist die Formel für den Bereich von a Rechteck. Ein Rechteck mit Länge gegeben l und Breite wDie Formel für den Bereich lautet:^[2][22]

A = lw (Rechteck).

Das heißt, der Bereich des Rechtecks ​​ist die Länge multipliziert mit der Breite. Als Sonderfall als l = w Im Falle eines Quadrats die Fläche eines Quadrats mit Seitenlänge s wird durch die Formel angegeben:^[6][2][23]

A = s² (Quadrat).

Die Formel für den Bereich eines Rechtecks ​​folgt direkt aus den grundlegenden Eigenschaften des Gebiets und wird manchmal als a Definition oder Axiom. Andererseits, wenn Geometrie wird vorher entwickelt ArithmetikDiese Formel kann verwendet werden, um zu definieren Multiplikation von reale Nummern.

Dissektion, Parallelogramme und Dreiecke

Die meisten anderen einfachen Formeln für den Bereich folgen aus der Methode von Präparation. Dies beinhaltet das Schneiden einer Form in Stücke, deren Bereiche müssen Summe in den Bereich der ursprünglichen Form.

Ein Diagramm, das zeigt, wie ein Parallelogramm in die Form eines Rechtecks ​​umgewandelt werden kann.

Zum Beispiel alle Parallelogramm kann in a unterteilt werden Trapez und ein rechtwinkliges Dreieck, wie in Abbildung links gezeigt. Wenn das Dreieck auf die andere Seite des Trapezs bewegt wird, ist die resultierende Figur ein Rechteck. Daraus folgt, dass der Bereich des Parallelogramms dem Bereich des Rechtecks ​​entspricht:^[2]

A = BH (Parallelogramm).

Ein Parallelogramm in zwei gleiche Dreiecke aufgeteilt.

Das gleiche Parallelogramm kann jedoch auch entlang a geschnitten werden Diagonale in zwei kongruent Dreiecke, wie in der Figur rechts gezeigt. Daraus folgt, dass der Bereich von jedem Dreieck ist die Hälfte der Fläche des Parallelogramms:^[2]

${\ displayStyle a = {\ frac {1} {2}} bh}$ (Dreieck).

Ähnliche Argumente können verwendet werden, um Bereichsformeln für die zu finden Trapez^[24] sowie komplizierter Polygone.^[25]

Gebiet der gekrümmten Formen

Kreise

Ein Kreis kann unterteilt werden in Sektoren welche um eine ungefähre Formation neu ordnen Parallelogramm.

Die Formel für den Bereich von a Kreis (besser als den Bereich bezeichnet, der von einem Kreis oder dem Bereich von a eingeschlossen ist Scheibe) basiert auf einer ähnlichen Methode. Einen Radiuskreis gegeben rEs ist möglich, den Kreis aufzuteilen Sektoren, wie in der Abbildung nach rechts gezeigt. Jeder Sektor ist ungefähr dreieckig in Form, und die Sektoren können um ein ungefähres Parallelogramm neu angeordnet werden. Die Höhe dieses Parallelogramms ist rund die Breite ist die Hälfte der Umfang des Kreises oder πr. Somit ist die Gesamtfläche des Kreises πr²:^[2]

A = πr² (Kreis).

Obwohl die in dieser Formel verwendete Dissektion nur ungefähr ist, wird der Fehler immer kleiner, da der Kreis in immer mehr Sektoren aufgeteilt wird. Das Grenze der Bereiche der ungefähren Parallelogramme ist genau genau πr², das ist der Bereich des Kreises.^[26]

Dieses Argument ist tatsächlich eine einfache Anwendung der Ideen von Infinitesimalrechnung. In der Antike die Erschöpfungsmethode wurde in ähnlicher Weise verwendet, um den Bereich des Kreises zu finden, und diese Methode wird jetzt als Vorläufer erkannt Integralrechnung. Mit modernen Methoden kann der Bereich eines Kreises mit a berechnet werden definitiv integral:

${\ displayStyle a \; {2}.}$

Ellipsen

Die Formel für den Bereich, der von einem eingeschlossen ist Ellipse bezieht sich auf die Formel eines Kreises; für eine Ellipse mit Semi-Major und Halbminor Äxte x und y Die Formel lautet:^[2]

${\ displayStyle a = \ pi xy.}$

Nicht planare Oberfläche

Archimedes zeigte, dass die Oberfläche von a Kugel ist genau das Vierfache der Fläche einer Wohnung Scheibe vom gleichen Radius und das von der Kugel umgeschlossene Volumen beträgt genau 2/3 des Volumens von a Zylinder von gleicher Größe und Radius.

Die grundlegendsten Formeln für Oberfläche Kann durch Schneiden von Oberflächen und Abflachungen erhalten werden (siehe: Entwicklbare Oberflächen). Zum Beispiel, wenn die Seitenfläche von a Zylinder (oder irgendein Prisma) wird in Längsrichtung geschnitten, die Oberfläche kann in ein Rechteck abgeflacht werden. In ähnlicher Weise, wenn ein Schnitt entlang der Seite von a gemacht wird KegelDie Seitenoberfläche kann in einen Kreissektor abgeflacht und der resultierende Bereich berechnet werden.

Die Formel für die Oberfläche von a Kugel ist schwieriger abzuleiten: weil eine Kugel ungleich Null hat Gaußsche KrümmungEs kann nicht abgeflacht werden. Die Formel für die Oberfläche einer Kugel wurde zuerst durch erhalten durch Archimedes In seiner Arbeit Auf der Kugel und dem Zylinder. Die Formel lautet:^[7]

A = 4πr² (Kugel),

wo r ist der Radius der Kugel. Wie bei der Formel für den Bereich eines Kreises verwendet jede Ableitung dieser Formel von Natur aus, ähnliche Methoden wie Infinitesimalrechnung.

Allgemeine Formeln

Bereiche von 2-dimensionalen Figuren

Dreiecksbereich ${\ displayStyle a = {\ tfrac {b \ cdot h} {2}}}$

• A Dreieck: ${\ displayStyle {\ tfrac {1} {2}} bh}$ (wo B ist jede Seite und h ist der Abstand von der Linie, auf der B liegt an den anderen Scheitelpunkt des Dreiecks). Diese Formel kann verwendet werden, wenn die Höhe h ist bekannt. Wenn die Längen der drei Seiten bekannt sind, dann sind dann bekannt Herons Formel kann verwendet werden: ${\ displaystyle {\ sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)}}}$ wo a, b, c sind die Seiten des Dreiecks und ${\ displayStyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a+b+c)}$ ist die Hälfte seines Umfangs.^[2] Wenn ein Winkel und seine beiden eingeschlossenen Seiten angegeben sind, ist der Bereich ${\ displayStyle {\ tfrac {1} {2}} ab \ sin (c)}$ wo C ist der gegebene Winkel und a und b sind seine eingeschlossenen Seiten.^[2] Wenn das Dreieck auf einer Koordinatenebene drapiert ist, kann eine Matrix verwendet werden und wird zum absoluten Wert von vereinfacht $oder x_ {3} y_ {2} -x_ {1} y_ {3})}$. Diese Formel ist auch als die bekannt Schneideformel und ist eine einfache Möglichkeit, den Bereich eines Koordinatendreiecks zu lösen, indem Sie die 3 Punkte ersetzen (x₁, y₁), (x₂, y₂), und (x₃, y₃). Die Schnürsenformel kann auch verwendet werden, um die Bereiche anderer Polygone zu finden, wenn ihre Eckpunkte bekannt sind. Ein weiterer Ansatz für ein Koordinatendreieck ist die Verwendung Infinitesimalrechnung Um den Bereich zu finden.
• A Einfacher Polygon auf einem Gitter gleicherdiener Punkte gebaut (d. H. Punkte mit ganze Zahl Koordinaten) so dass alle Eckpunkte des Polygons Grid -Punkte sind: ${\ displayStyle i+{\ frac {b} {2}}-1}$, wo i ist die Anzahl der Netzpunkte innerhalb des Polygons und b ist die Anzahl der Grenzpunkte. Dieses Ergebnis ist bekannt als Wählen Sie den Satz.^[27]

Fläche im Kalkül

Die Integration kann als Messung des Gebiets unter einer Kurve angesehen werden, definiert durch f(x) zwischen zwei Punkten (hier a und b).

Der Bereich zwischen zwei Diagrammen kann bewertet werden, indem die Differenz zwischen den Integralen der beiden Funktionen berechnet wird

• Die Fläche zwischen einer positiv-bewerteten Kurve und der horizontalen Achse, gemessen zwischen zwei Werten a und b (B ist definiert als das größere der beiden Werte) auf der horizontalen Achse wird durch das Integral von gegeben a zu b der Funktion, die die Kurve darstellt:^[6]

${\ displayStyle a = \ int _ {a}^{b} f (x) \, dx.}$

• Der Bereich zwischen dem Grafiken von zwei Funktionen ist gleich zum Integral- von einem Funktion, f(x), Minus- das Integral der anderen Funktion, g(x):

${\ displayStyle a = \ int _ {a}^{b} (f (x) -g (x)) \, dx,}$ wo ${\ displayStyle f (x)}$ ist die Kurve mit dem größeren Y-Wert.

• Ein Bereich, der von einer Funktion begrenzt ist ${\ displayStyle r = r (\ theta)}}$ ausgedrückt Polar Koordinaten ist:^[6]

${\ displayStyle a = {1 \ über 2} \ int r^{2} \, d \ theta.}$

• Der von a umschlossene Bereich Parametrische Kurve ${\ displayStyle {\ vec {u}} (t) = (x (t), y (t))}$ mit Endpunkten ${\ displaystyle {\ vec {u}} (t_ {0}) = {\ vec {u}} (t_ {1})}$ wird von der gegeben Linienintegrale:

$oder \ dot {x}} \, dt = {1 \ über 2} \ oint _ {t_ {0}}^{t_ {1}} (x {\ dot {y}}-y {\ dot {x}} ) \, dt}$

oder der z-Teil von

${\ displaystyle {1 \ über 2} \ oint _ {t_ {0}}^{t_ {1}} {\ vec {u}} \ times {\ dot {\ vec {u}} \, dt.}, dt.$

(Einzelheiten finden Sie unter Green's Theorem § Flächenberechnung.) Dies ist das Prinzip der Planimeter mechanische Vorrichtung.

Begrenzte Fläche zwischen zwei quadratischen Funktionen

Um den begrenzten Bereich zwischen zwei zu finden quadratische Funktionenwir subtrahieren einen vom anderen, um den Unterschied als zu schreiben

${\ displayStyle f (x) -g (x) = ax^{2}+bx+c = a (x- \ alpha) (x- \ beta)}$

wo f(x) ist die quadratische Obergrenze und g(x) ist die quadratische Untergrenze. Definiere das Diskriminanz von f(x)-g(x) wie

${\ displayStyle \ delta = b^{2} -4ac.}$

Durch Vereinfachung der integralen Formel zwischen den Grafiken von zwei Funktionen (wie im obigen Abschnitt angegeben) und verwendet Vietas Formelwir können erhalten^[28][29]

$oder \ qquad a \ neq 0.}$

Das obige bleibt gültig, wenn eine der Begrenzungsfunktionen linear statt quadratisch ist.

Oberfläche der 3-dimensionalen Figuren

• Kegel:^[30] ${\ displaystyle \ pi r \ links (r+{\ sqrt {r^{2}+h^{2}} \ rechts)}}}$, wo r ist der Radius der kreisförmigen Basis und h ist die Höhe. Das kann auch als umgeschrieben werden als ${\ displayStyle \ pi r^{2}+\ pi rl}$^[30] oder ${\ displaystyle \ pi r (r+l) \, \!}$ wo r ist der Radius und l ist die schräge Höhe des Kegels. ${\ displayStyle \ pi r^{2}}$ ist der Basisbereich während ${\ displayStyle \ pi rl}$ ist die laterale Oberfläche des Kegels.^[30]
• Würfel: ${\ displayStyle 6s^{2}}$, wo s ist die Länge einer Kante.^[7]
• Zylinder: ${\ displayStyle 2 \ pi r (r+h)}$, wo r ist der Radius einer Basis und h ist die Höhe. Das ${\ displayStyle 2 \ pi r}$ kann auch als umgeschrieben werden wie ${\ displayStyle \ pi d}$, wo d ist der Durchmesser.
• Prisma: ${\ displayStyle 2b+ph}$, wo B ist der Bereich einer Basis, P ist der Umfang einer Basis und h ist die Höhe des Prismas.
• Pyramide: ${\ displaystyle b+{\ frac {pl} {2}}}$, wo B ist der Bereich der Basis, P ist der Umfang der Basis und L ist die Länge der Neigung.
• Rechteckiges Prisma: ${\ displayStyle 2 (\ ell w+\ ell H+wh)}$, wo ${\ displayStyle \ ell}$ ist die Länge, w ist die Breite und h ist die Höhe.

Allgemeine Formel für die Oberfläche

Die allgemeine Formel für die Oberfläche des Diagramms einer kontinuierlich differenzierbaren Funktion ${\ displayStyle z = f (x, y),},}$ wo ${\ displayStyle (x, y) \ in d \ subset \ mathbb {r} ^{2}}$ und ${\ displayStyle d}$ ist eine Region in der XY-Ebene mit der glatten Grenze:

$oder } {\ partial y}} \ rechts)^{2} +1}} \, dx \, dy.}$

Eine noch allgemeinere Formel für den Bereich des Graphen von a Parametrische Oberfläche in der Vektorform ${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (u, v),},},},},},},},},},}$ wo ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ist eine kontinuierlich differenzierbare Vektorfunktion von ${\ displayStyle (u, v) \ in d \ subset \ mathbb {r} ^{2}}$ ist:^[9]

${\ displaystyle a = \ iint _ {d} \ links | {\ frac {\ partial \ mathbf {r} {\ partial u}} \ Times {\ frac {\ partial \ mathbf {r} {\ partial v v. }} \ rechts | \, du \, dv.}$

Liste der Formeln

Zusätzliche gemeinsame Formeln für den Bereich:

Form	Formel	Variablen
Rechteck	${\ displayStyle a = ab}$
Dreieck	${\ displayStyle a = {\ frac {1} {2}} bh \, \!}$
Dreieck	${\ displayStyle a = {\ frac {1} {2}} ab \ sin (\ gamma) \, \!}$
Dreieck (Herons Formel))	${\ displayStyle a = {\ sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)}} \, \!}$	${\ displayStyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a+b+c)}$
Gleichschenkligen Dreiecks	${\ displaystyle a = {\ frac {b} {4}} {\ sqrt {4a^{2} -c^{2}}}}$
Regulär Dreieck (gleichseitiges Dreieck))	${\ displayStyle a = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} a^{2} \, \!}$
Rhombus/Drachen	${\ displayStyle a = {\ frac {1} {2}} de}$
Parallelogramm	${\ displayStyle a = ah_ {a} \, \!}$
Trapez	${\ displayStyle a = {\ frac {(a+c) h} {2}} \, \!}$
Regulär Hexagon	${\ displaystyle a = {\ frac {3} {2}} {\ sqrt {3}} a^{2} \, \!}$
Regulär Achteck	${\ displayStyle a = 2 (1+{\ sqrt {2}}) a^{2} \, \!}$
Regelmäßiges Vieleck (${\ displayStyle n}$ Seiten)	${\ displayStyle a = n {\ frac {ar} {2}} = {\ frac {pr} {2}}}$ ${\ displaystyle \ quad = {\ tfrac {1} {4}} na^{2} \ cot ({\ tfrac {\ pi} {n}})}$ ${\ displaystyle \ quad = nr^{2} \ tan ({\ tfrac {\ pi} {n}})}$ ${\ displaystyle \ quad = {\ tfrac {1} {4n}} p^{2} \ cot ({\ tfrac {\ pi} {n}})}$ $oder$	${\ displayStyle p = na \}$ (Umfang) ${\ displayStyle r = {\ tfrac {a} {2}} \ cot ({\ tfrac {\ pi} {n}}),},},}$ $oder$ ${\ displayStyle r:}$ Incircle Radius ${\ displayStyle r:}$ Umkreis Radius
Kreis	${\ displayStyle a = \ pi r^{2} = {\ frac {\ pi d^{2}} {4}}}$ (${\ displayStyle d = 2r:}$ Durchmesser))
Kreissektor	$oder$
Ellipse	${\ displayStyle a = \ pi ab \, \!}$
Integral	$oder$
	Oberfläche
Kugel	${\ displayStyle a = 4 \ pi r^{2} = \ pi d^{2}}$
Quader	${\ displayStyle a = 2 (ab+ac+bc)}}$
Zylinder (inkl. Unten und oben)	${\ displayStyle a = 2 \ pi r (r+h)}$
Kegel (inkl. Unten)	${\ displayStyle a = \ pi r (r+{\ sqrt {r^{2}+h^{2}})}$
Torus	${\ displayStyle a = 4 \ pi ^{2} \ cdot r \ cdot r}$
Oberfläche der Revolution	$oder d} x}$ (Rotation um die x-Achse)

Die obigen Berechnungen zeigen, wie man die Bereiche vieler gemeinsamer finden Formen.

Die Bereiche unregelmäßiger (und damit willkürlicher) Polygone können mit dem "berechnet werden" berechnet werden "Formel des Vermessers"(Schneiderformel).^[26]

Umfangsbeziehung

Das isoperimetrische Ungleichheit gibt an, dass für eine geschlossene Längekurve L (Die Region, die sie umschließt, hat also Umfang L) und für den Bereich A der Region, die sie umschließt,

${\ displayStyle 4 \ pi a \ leq l^{2},}$

und Gleichheit gilt nur dann, wenn die Kurve a ist Kreis. Somit hat ein Kreis die größte Fläche einer geschlossenen Zahl mit einem bestimmten Umfang.

Im anderen Extrem eine Zahl mit gegebenem Umfang L könnte ein willkürlich kleiner Bereich haben, wie von a veranschaulicht Rhombus das ist willkürlich weit "übergepippt", so dass zwei davon Winkel sind willkürlich nahe 0 ° und die anderen beiden sind willkürlich nahe 180 °.

Für einen Kreis das Verhältnis des Bereichs zu der Umfang (Der Begriff für den Umfang eines Kreises) entspricht der Hälfte der Hälfte der Radius r. Dies ist aus der Gebietsformel aus zu sehen πr² und die Umfangsformel 2πr.

Der Bereich von a regelmäßiges Vieleck Ist die Hälfte der Umfangszeiten die Apothema (wo das Apothem die Entfernung von der Mitte bis zum nächsten Punkt auf jeder Seite ist).

Fraktale

Die Verdoppelung der Kantenlängen eines Polygons multipliziert seine Fläche mit vier, was zwei (das Verhältnis der neuen zur alten Seitenlänge) ist, die bis zur Leistung von zwei erhöht wird (die Dimension des Raums, in dem das Polygon lebt). Aber wenn die eindimensionalen Längen von a fraktal In zwei Dimensionen gezeichnet werden alle verdoppelt, der räumliche Gehalt der fraktalen Skalen durch eine Kraft von zwei, die nicht unbedingt eine Ganzzahl ist. Diese Kraft wird die genannt fraktale Dimension des Fraktals.^[31]

Gebietssektoren

Es gibt eine Unendlichkeit von Linien, die den Bereich eines Dreiecks halbieren. Drei von ihnen sind die Mediane des Dreiecks (das die Mittelpunkte der Seiten mit den gegenüberliegenden Eckpunkten verbindet), und diese sind gleichzeitig im Dreieck des Dreiecks Schwerpunkt; In der Tat sind sie die einzigen Bisektoren, die durch den Schwerpunkt gehen. Jede Linie durch ein Dreieck, das sowohl den Bereich des Dreiecks als auch seinen Umfang in zwei Hälften spaltet Incircle). Es gibt entweder ein, zwei oder drei davon für ein bestimmtes Dreieck.

Jede Linie durch den Mittelpunkt eines Parallelogramms halbiert das Gebiet.

Alle Bereiche Bisektoren eines Kreises oder anderer Ellipse gehen durch das Zentrum und alle Akkorde durch das Zentrum den Bereich halbieren. Im Falle eines Kreises sind sie die Durchmesser des Kreises.

Optimierung

Bei einer Drahtkontur, der Oberfläche des kleinsten Bereichs ("Füllung") ist es a Minimale Oberfläche. Zu den bekannten Beispielen gehören Seifenblasen.

Die Frage der Füllbereich des Riemanner Kreis bleibt offen.^[32]

Der Kreis hat die größte Fläche von zweidimensionalen Objekten mit demselben Umfang.

A zyklisches Polygon (Einer in einem Kreis eingeschrieben) hat die größte Fläche jedes Polygons mit einer bestimmten Anzahl von Seiten derselben Längen.

Eine Version der isoperimetrische Ungleichheit Für Dreiecke besagt, dass das Dreieck der größten Gebiet unter allen Personen mit einem bestimmten Umfang ist Gleichgewicht.^[33]

Das Dreieck der größten Fläche aller in einen gegebenen Kreis eingeschriebenen Kreis ist gleichseitig; und das Dreieck des kleinsten Bereichs aller um einen bestimmten Kreis umschriebenen Kreis ist gleichseitig.^[34]

Das Verhältnis der Fläche des Incircle zu der Fläche eines gleichseitigen Dreiecks, ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}}$, ist größer als das eines nicht-äquilateralen Dreiecks.^[35]

Das Verhältnis der Fläche zum Quadrat des Umfangs eines gleichseitigen Dreiecks, ${\ displaystyle {\ frac {1} {12 {\ sqrt {3}}}},},},},}$ ist größer als das für jedes andere Dreieck.^[33]

Siehe auch

• Brahmagupta Viereck, ein zyklischer Viereck mit Ganzzahlseiten, ganzzahligen Diagonalen und ganzzahliger Fläche.
• EQUEIREAL MAP
• Heronisches Dreieck, ein Dreieck mit Ganzzahlseiten und Ganzzahl.
• Liste der Dreieck -Ungleichheiten
• One-seventh area triangle, ein inneres Dreieck mit einem siebten Bereich des Referenzdreiecks.

• Rouths Theorem, eine Verallgemeinerung des einst jeweiligen Gebietsdreiecks.

• Größenordnungen- Eine Liste der Bereiche nach Größe.
• Ableitung der Formel eines Pentagons
• Planimeter, ein Instrument zur Messung kleiner Bereiche, z. auf Karten.
• Gebiet eines konvexen Vierecks
• Robbins Pentagon, ein zyklisches Pentagon, dessen Seitenlängen und Fläche rationale Zahlen sind.

Verweise

Externe Links