Annäherungsrückverringerung

Im Computerbarkeitstheorie und Computerkomplexitätstheorieinsbesondere das Studium von Näherungsalgorithmen, ein Annäherungsrückverringerung ist ein Algorithmus für die Transformation eines Optimierungsproblem in ein anderes Problem, so dass die Entfernung der Lösungen von optimal bis zu einem gewissen Grad erhalten bleibt. Annäherungsvorstellungen sind eine Untergruppe von allgemeineren Reduzierungen in der Komplexitätstheorie; Der Unterschied besteht Annäherungsprobleme oder Optimierungsprobleme, im Gegensatz zu Entscheidungsprobleme.

Intuitiv ist Problem A auf Problem B über eine Annäherungs-Erziehungsreduktion reduzierbar, wenn bei einer Instanz von Problem A und A (möglicherweise ungefähr) Löser für Problem B die Instanz von Problem A in eine Instanz von Problem B umwandeln kann, bewerben Der Löser für Problem B und wiederherstellen eine Lösung für Problem A, die auch eine gewisse Annäherungsgarantie hat.

Definition

Im Gegensatz zu einer Verringerung der Entscheidungsprobleme muss eine Reduzierung der Annäherlung mehr als die Wahrheit der Probleminstanzen bei der Verringerung eines Problems auf ein anderes beibehalten. Es muss auch eine gewisse Garantie für die Beziehung zwischen den Kosten der Lösung und den Kosten für das Optimum bei beiden Problemen beibehalten. Formalisieren:

Lassen $A$ und $B$ Optimierungsprobleme sein.

Lassen $x$ ein Problem sein $A$ , mit optimaler Lösung ${\ displayStyle {\ text {opt}} (x)}$ . Lassen ${\ displayStyle c_ {a} (x, y)}$ bezeichnen die Kosten einer Lösung $y$ zu einem Fall $x$ von Problemen $A$ . Dies ist auch die Metrik, die verwendet wird, um zu bestimmen, welche Lösung als optimal angesehen wird.

Ein Annäherungsrückverringerung ist ein Paar Funktionen ${\ displayStyle (f, g)}$ (die in Polynomzeit oft berechnet werden müssen), so dass:

$f$ Karten an Beispiel $x$ von $A$ zu einem Beispiel ${\ displayStyle x '}$ von $B$ .
$g$ Karten a Lösung ${\ displayStyle y '}$ von $B$ zu einem Lösung $y$ von $A$ .
$g$ bewahrt einige Garantien der Lösung der Lösung Leistung, oder Annäherungsverhältnis, definiert als $oder )}}, {\ frac {c_ {a} (x, y)} {c_ {a} (x, {\ text {opt}} (x))} \ rechts)}}$ .

Typen

Es gibt viele verschiedene Arten von Annäherungsvorstellungssenkungen, die alle eine andere Garantie haben (der dritte Punkt in der obigen Definition). Im Gegensatz zu anderen Reduzierungen überschneiden sich jedoch die Annäherungsvorstellungsreduzierungen häufig in den Eigenschaften, die sie auf Optimierungsproblemen zeigen (z. B. Mitgliedschaft oder Vollständigkeit der Komplexitätsklassen oder unangemessene). Die verschiedenen Arten von Reduktionen werden stattdessen als unterschiedliche Reduktionstechniken verwendet, da die anwendbare Reduktion, die am einfachsten an das Problem angepasst wird, verwendet wird.

Nicht alle Arten von Annäherungsvorstellungssenkungen können verwendet werden, um die Mitgliedschaft in allen Klassen für die Komplexität des Annäherraums zu zeigen, von denen die bemerkenswertesten sind PTAs und APX. Eine Reduzierung unten Bewahrung der Mitgliedschaft In einer Komplexitätsklasse C, wenn ein Problem A über das Reduktionsschema auf Problem B reduziert wird und B in C ist, dann ist A auch in C. Einige unten gezeigte Reduzierungen bewahren nur die Mitgliedschaft in APX oder PTAs, jedoch nicht in der anderen. Aus diesem Grund muss bei der Auswahl einer Annäherungsrückverzögerungssenkungen eine sorgfältige Auswahl getroffen werden, insbesondere zum Nachweis Vollständigkeit eines Problems innerhalb einer Komplexitätsklasse.

Crescenzi schlägt vor, dass die drei idealsten Reduktionsstile sowohl zur Benutzerfreundlichkeit als auch zur Beweisleistung PTA-Reduktion, AP-Reduktion und L-Reduktion sind.^[1] Die folgenden Reduktionsbeschreibungen stammen aus Crescenzis Übersicht über die Annäherungsvorstellungssenkungen.

Strenge Reduktion

Strenge Reduktion ist die einfachste Art der Annäherungsvorratsreduzierung. In einer strikten Verringerung muss das Annäherungsverhältnis einer Lösung y 'zu einer Instanz x' eines Problems B höchstens so gut sein wie das Annäherungsverhältnis der entsprechenden Lösung y zu Instanz x von Problem A mit anderen Worten:

{\ displayStyle r_ {a} (x, y) \ leq r_ {b} (x ', y')}

zum

{\ displayStyle x '= f (x), y = g (y')}

.

Die strenge Reduktion ist am einfachsten: Wenn eine strikte Reduktion von Problem A zu Problem B besteht, kann das Problem A immer mindestens so gutes Verhältnis angenähert wie Problem B. Die strenge Reduktion bewahrt die Mitgliedschaft sowohl in PTAs als auch in APX.

Es gibt ein ähnliches Konzept von einem S-Reduktion, für welche ${\ displayStyle c_ {a} (x, y) = c_ {b} (x ', y')}$ und das Optima der beiden entsprechenden Instanzen muss auch die gleichen Kosten haben. S-Reduktion ist ein ganz besonderer Fall strikter Reduzierung und noch einschränkender. Tatsächlich müssen die beiden Probleme A und B in nahezu perfekter Korrespondenz miteinander sein. Die Existenz einer S-Reduktion impliziert nicht nur die Existenz einer strikten Reduktion, sondern auch jede andere Reduktion, die hier aufgeführt ist.

L-Reduktion

L-Reduktionen bewahren die Mitgliedschaft in PTAs sowie APX (aber Nur für Minimierungsprobleme im Fall des letzteren). Infolgedessen können sie nicht im Allgemeinen verwendet werden, um die Vollständigkeitsergebnisse über APX, Log-APX oder Poly-APX zu beweisen, aber dennoch werden sie für ihre natürliche Formulierung und Benutzerfreundlichkeit in Beweisen geschätzt.^[1]

PTAS-Reduktion

Die PTAS-Reduktion ist ein weiteres häufig verwendetes Reduktionsschema. Obwohl es die Mitgliedschaft in PTAs bewahrt, ist dies für APX nicht. Dennoch wird die APX-Vervollständigung in Bezug auf PTA-Reduktionen definiert.

PTAS-Reduktionen sind eine Verallgemeinerung von P-Reduktionen, die unten gezeigt sind, wobei der einzige Unterschied darin besteht, dass die Funktion $g$ ist vom Annäherungsverhältnis abhängen $r$ .

A-Reduktion und P-Reduktion

A-Reduktion und P-Reduktion sind ähnliche Reduktionsschemata, mit denen die Mitgliedschaft in APX bzw. PTAs gezeigt werden kann. Beide führen eine neue Funktion ein $c$ , definiert auf Zahlen größer als 1, die berechnet werden müssen.

In einer A-Reduktion haben wir das

oder

.

In einer P-Reduktion haben wir das

oder

.

Die Existenz einer P-Reduktion impliziert die Existenz einer PTAS-Reduktion.

E-Reduktion

E-Reduktion, eine Verallgemeinerung strikter Reduktion, aber sowohl A-Reduktion als auch P-Reduktion impliziert, ist ein Beispiel für einen weniger restriktiven Reduktionsstil, der die Mitgliedschaft nicht nur in PTAs und APX, sondern auch in den größeren Klassen bewahrt Log-apx und Poly-APX. E-Reduktion führt zwei neue Parameter ein, ein Polynom, ein Polynom $p$ und eine Konstante ${\ displayStyle \ Beta}$ . Seine Definition ist wie folgt.

In einer E-Reduktion haben wir das für ein Polynom $p$ und konstant ${\ displayStyle \ Beta}$ Anwesend

$oder ))}$ , wo ${\ displayStyle | x |}$ bezeichnet die Größe der Beschreibung der Probleminstanz.
Für jede Lösung ${\ displayStyle y '}$ zu $B$ , wir haben ${\ displayStyle r_ {a} (x, y) \ leq 1+ \ Beta \ cdot (r_ {b} (x ', y')-1)}$ .

Um eine A-Reduktion aus einer E-Reduktion zu erhalten, lassen Sie es ${\ displayStyle c (r) = 1+\ beta \ cdot (r-1)}$ und um eine P-Reduktion aus einer E-Reduktion zu erhalten, lassen Sie es ${\ displayStyle c (r) = 1+(r-1)/\ beta}$ .

AP-Reduktion

AP-Reduktionen werden verwendet, um die Vollständigkeit in den Klassen zu definieren Log-apx und Poly-APX. Sie sind ein Sonderfall einer PTA -Reduzierung und erfüllen die folgenden Einschränkungen.

In einer AP-Reduktion haben wir das für einige Konstante ${\ displayStyle \ alpha}$ Anwesend

oder

mit der zusätzlichen Verallgemeinerung, dass die Funktion $g$ ist vom Annäherungsverhältnis abhängen $r$ , wie in Ptas-Reduktion.

AP-Reduktion ist auch eine Verallgemeinerung der E-Reduktion. Eine zusätzliche Einschränkung muss tatsächlich für die AP-Reduktion auferlegt werden, um die Mitgliedschaft der Log-APX und Poly-APX zu erhalten, wie es die E-Reduktion bewirkt $f, g$ Muss mit zunehmendem Annäherungsverhältnis nicht erhöht sein.

Lückenreduzierung

Eine Lückenreduzierung ist eine Art von Reduktion, die zwar nützlich bei der Nachweis einiger unangemessener Ergebnisse ist, ähnelt jedoch nicht den anderen hier gezeigten Reduktionen. Lückenreduzierungen befassen sich mit Optimierungsproblemen in einem Entscheidungsproblembehälter, das durch Ändern des Problemziels zur Unterscheidung zwischen der optimalen Lösung und den Lösungen ein multiplikatives Faktor schlechter als das Optimum geändert wird.

Siehe auch

Verweise

^ ^a ^b Crescenzi, Pierluigi (1997). "Ein kurzer Leitfaden zur Erhaltung von Annäherungserhaltungen". Verfahren der 12. jährlichen IEEE -Konferenz zur Berechnung der Komplexität. Washington, D.C.: IEEE Computer Society: 262–. doi:10.1109/ccc.1997.612321. ISBN 0-8186-7907-7.

[crescenzi-1] Crescenzi, Pierluigi (1997). "Ein kurzer Leitfaden zur Erhaltung von Annäherungserhaltungen". Verfahren der 12. jährlichen IEEE -Konferenz zur Berechnung der Komplexität. Washington, D.C.: IEEE Computer Society: 262–. doi:10.1109/ccc.1997.612321. ISBN 0-8186-7907-7.

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