Algebra über ein Feld

Im Mathematik, ein Algebra über ein Feld (oft einfach als ein genannt Algebra) ist ein Vektorraum ausgestattet mit a bilinear Produkt. Somit ist eine Algebra eine algebraische Struktur bestehend aus a einstellen zusammen mit Operationen von Multiplikation und Addition und Skalarmultiplikation durch Elemente von a aufstellen und die Axiome zu erfüllen, die durch "Vektorraum" und "bilinear" impliziert werden.^[1]

Der Multiplikationsbetrieb in einer Algebra kann sein oder auch nicht assoziativ, führt zu den Vorstellungen von assoziative Algebren und Nicht assoziative Algebren. Eine Ganzzahl gegeben n, das Ring von real Quadratmatrizen von Ordnung n ist ein Beispiel für eine assoziative Algebra über das Gebiet von reale Nummern unter Matrixzusatz und Matrix-Multiplikation Da die Matrixmultiplikation assoziativ ist. Dreidimensional Euklidischer Raum mit der Multiplikation durch die Vektorkreuzprodukt ist ein Beispiel für eine nicht assoziative Algebra über das Gebiet der realen Zahlen, da das Vektorkreuzprodukt nicht assoziativ ist und die erfüllt Jacobi -Identität stattdessen.

Eine Algebra ist Unentschieden oder Einheitlich Wenn es eine hat Identitätselement in Bezug auf die Multiplikation. Der Ring der realen Quadratmatrizen der Ordnung n bildet seit der eine ungewöhnliche Algebra Identitätsmatrix von Ordnung n ist das Identitätselement in Bezug auf die Matrixmultiplikation. Es ist ein Beispiel für eine ungewöhnliche assoziative Algebra, a (unenträftig) Ring Das ist auch ein Vektorraum.

Viele Autoren verwenden den Begriff Algebra meinen Assoziative Algebra, oder Unital assoziative Algebraoder in einigen Themen wie z. Algebraische Geometrie, Unital assoziative kommutative Algebra.

Ersetzen des Feldes der Skalare durch a Gewinnring führt zu dem allgemeineren Begriff von a Algebra über einem Ring. Algebren sind nicht zu verwechseln mit Vektorräumen, die mit a ausgestattet sind bilineare Form, wie innere ProdukträumeWie für einen solchen Raum befindet sich das Ergebnis eines Produkts nicht im Raum, sondern im Bereich der Koeffizienten.

Definition und Motivation

Beispiele motivieren

Algebra	Vektorraum	bilinearer Operator	Assoziativität	Amtativität
komplexe Zahlen	${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{2}}$	Produkt von komplexen Zahlen ${\ displaystyle \ links (a+ib \ rechts) \ cdot \ links (c+id \ rechts)}$	Ja	Ja
Kreuzprodukt von 3D -Vektoren	${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{3}}$	Kreuzprodukt ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}}}$	Nein	Nein (antikommutativ))
Quaternionen	${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{4}}$	Hamilton -Produkt ${\ displayStyle (a+{\ vec {v}}) (b+{\ vec {w}})}$	Ja	Nein
Polynome	${\ displaystyle \ mathbb {r} [x]}$	Polynommultiplikation	Ja	Ja

Definition

Lassen K ein Feld sein und lassen A sei a Vektorraum Über K ausgestattet mit einem zusätzlichen Binäroperation aus A × A zu Abezeichnet hier von · (Das heißt, wenn x und y sind zwei beliebige Elemente von A, dann x · y ist ein Element von A das heißt das Produkt von x und y). Dann A ist ein Algebra Über K Wenn die folgenden Identitäten für alle Elemente gelten x, y, z in A und alle Elemente (oft genannt Skalare) a und b in K:

• Recht Verbreitung: (x + y) · z = x · z + y · z
• Linke Verteiligkeit: z · (x + y) = z · x + z · y
• Kompatibilität mit Skalaren: (Axt) · (durch) = ((ab) (x · y).

Diese drei Axiome sind eine andere Art zu sagen, dass die binäre Operation ist bilinear. Eine Algebra vorbei K wird manchmal auch als a genannt K-Algebra, und K wird genannt Basisfeld von A. Die binäre Operation wird oft als als bezeichnet Multiplikation in A. Die in diesem Artikel angenommene Konvention ist, dass die Multiplikation von Elementen einer Algebra nicht unbedingt ist assoziativ, obwohl einige Autoren den Begriff verwenden Algebra sich auf eine beziehen Assoziative Algebra.

Wenn ein binärer Betrieb auf einem Vektorraum ist kommutativ, linke Verteilung und die rechte Verteilung sind gleichwertig, und in diesem Fall erfordert nur eine Vertriebsfähigkeit einen Nachweis. Im Allgemeinen sind für nichtkommutative Operationen die linke Verbreitung und die rechte Verteilung nicht gleichwertig und erfordern separate Beweise.

Grundlegendes Konzept

Algebra -Homomorphismen

Gegeben K-Algebas A und B, a K-Algebra Homomorphismus ist ein K-lineare Karte f: A → B so dass f(xy) = f(x) f(y) für alle x, y in A. Der Raum von allen K-Algebra homomorphismen zwischen A und B wird häufig als geschrieben als

${\ displaystyle \ mathbf {hom} _ {k {\ text {-alg}}} (a, b).}$

A K-Algebra Isomorphismus ist ein Bijektiv K-Algebra Homomorphismus. Für alle praktischen Zwecke unterscheiden sich isomorphe Algebren nur durch Notation.

Subalgebren und Ideale

A Subalgebra einer Algebra über ein Feld K ist ein linearer Unterraum Das hat die Eigenschaft, dass das Produkt von zwei seiner Elemente wieder im Unterraum ist. Mit anderen Worten, eine Subalgebra einer Algebra ist eine nicht leere Untergruppe von Elementen, die unter Zugabe, Multiplikation und skalare Multiplikation geschlossen wird. In Symbolen sagen wir, dass eine Untergruppe L von a K-Algebra A ist eine Subalgebra, wenn für jeden x, y in L und c in K, wir haben das x · y, x + y, und CX sind alle in L.

Im obigen Beispiel der komplexen Zahlen, die als zweidimensionale Algebra über die realen Zahlen angesehen werden, ist die eindimensionale reale Linie eine Subalgebra.

A Ideal belassen von a K-Algebra ist ein linearer Unterraum, der über die Eigenschaft verfügt, dass jedes Element des Unterraums links von jedem Element der Algebra links multipliziert wird. In Symbolen sagen wir, dass eine Untergruppe L von a K-Algebra A ist ein links ideal, wenn für jeden x und y in L, z in A und c in KWir haben die folgenden drei Aussagen.

1. x + y ist in L (L wird unter Hinzufügung geschlossen),
2. CX ist in L (L ist unter skalarer Multiplikation geschlossen),
3. z · x ist in L (L wird unter links Multiplikation durch willkürliche Elemente geschlossen).

Wenn (3) durch ersetzt wurden durch x · z ist in Ldann würde dies a definieren Richtiges Ideal. EIN Zweiseitiger Ideal ist eine Untergruppe, die sowohl links als auch ein rechtes Ideal ist. Der Begriff Ideal Allein wird normalerweise ein zweiseitiges Ideal bezeichnet. Natürlich sind wenn die Algebra kommutativ ist, dann sind alle diese Ideen des Ideals gleichwertig. Beachten Sie, dass die Bedingungen (1) und (2) zusammen gleich sind L ein linearer Unterraum von sein A. Es folgt aus der Bedingung (3), dass jedes linke oder rechte Ideal eine Subalgebra ist.

Es ist wichtig zu bemerken, dass sich diese Definition von der Definition eines unterscheidet Ideal eines RingsHier benötigen wir den Zustand (2). Natürlich, wenn die Algebra unentwickelt ist, impliziert der Zustand (3) Zustand (2).

Erweiterung von Skalaren

Wenn wir eine haben Feldverlängerung F/K, das heißt ein größeres Feld F das beinhaltet Kund dann gibt es eine natürliche Möglichkeit, eine Algebra zu konstruieren F von jeder Algebra über K. Es ist die gleiche Konstruktion, die man verwendet, um einen Vektorraum über ein größeres Feld zu schaffen, nämlich das Tensorprodukt ${\ displayStyle v_ {f}: = v \ otimes _ {k} f}$. Also wenn A ist eine Algebra vorbei K, dann ${\ displayStyle a_ {f}}$ ist eine Algebra vorbei F.

Arten von Algebren und Beispielen

Algebren über Feldern sind in vielen verschiedenen Typen erhältlich. Diese Typen werden spezifiziert, indem auf einigen weiteren Axiomen bestehen, wie z. Amtativität oder Assoziativität des Multiplikationsvorgangs, die in der breiten Definition einer Algebra nicht erforderlich sind. Die Theorien, die den verschiedenen Arten von Algebren entsprechen, sind oft sehr unterschiedlich.

UNITAL ALGEBRA

Eine Algebra ist Unentschieden oder Einheitlich Wenn es eine hat Einheit oder Identitätselement I mit Ix = x = xi für alle x in der Algebra.

Null -Algebra

Eine Algebra heißt Null -Algebra wenn UV = 0 für alle u, v in der Algebra,^[2] Nicht zu verwechseln mit der Algebra mit einem Element. Es ist von Natur aus nichtunal (außer im Fall von nur einem Element), assoziativ und kommutativ.

Man kann a definieren UNITAL Null -Algebra durch Nehmen direkte Summe von Modulen eines Feldes (oder allgemeiner ein Ring) K und ein K-Vektorraum (oder Modul) Vund definieren das Produkt jedes Elementpaares von V Null sein. Das heißt, wenn λ, μ ∈ K und u, v ∈ V, dann (λ + u) (μ + v) = λμ + (λv + μU). Wenn e₁, ... e_d ist eine Grundlage von V, Die Unital -Null -Algebra ist der Quotient des Polynomrings K[E₁, ..., E_n] bis zum Ideal generiert von der E_iE_j Für jedes Paar (i, j).

Ein Beispiel für Unital Zero -Algebra ist die Algebra von Doppelzahlen, das Unenthalt Null R-Algebra aus einem eindimensionalen realen Vektorraum.

Diese Unital -Null -Algebren können allgemeiner nützlich sein, da sie es ermöglichen, eine allgemeine Eigenschaft der Algebren in Eigenschaften von Vektorräumen zu übersetzen oder Module. Zum Beispiel die Theorie von Gröbner -Basen wurde vorgestellt von Bruno Buchberger zum Ideale in einem Polynomring R = K[x₁, ..., x_n] über ein Feld. Der Bau der Unital Zero -Algebra über eine freie R-Module ermöglicht die Erweiterung dieser Theorie als Gröbner -Basistheorie für Submodule eines freien Moduls. Diese Erweiterung ermöglicht es für die Berechnung einer Gröbner -Basis eines Submoduls, ohne Änderung von Algorithmus und jeder Software zum Berechnen von Gröbner -Idealen zu verwenden.

Assoziative Algebra

Beispiele für assoziative Algebren umfassen

• die Algebra von allen n-durch-n Matrizen über einem Feld (oder kommutativen Ring) K. Hier ist die Multiplikation gewöhnlich Matrix-Multiplikation.
• Gruppenalgebren, wo ein Gruppe dient als Grundlage für den Vektorraum und die Algebra -Multiplikation erweitert die Gruppenmultiplikation.
• die kommutative Algebra K[x] von allen Polynome Über K (sehen Polynomring).
• Algebren von Funktionen, so wie die R-Algebra aller realen Wert kontinuierlich Funktionen, die auf dem definiert sind Intervall [0,1] oder die C-Algebra von allen Holomorphe Funktionen definiert auf einigen festen offenen Set in der Komplexe Ebene. Diese sind auch kommutativ.
• Inzidenzalgebren sind auf bestimmter gebaut teilweise bestellte Sets.
• Algebren von lineare Operatorenzum Beispiel auf a Hilbert Raum. Hier wird die Algebra -Multiplikation von der gegeben Komposition von Operatoren. Diese Algebren tragen auch a Topologie; Viele von ihnen sind auf einem zugrunde liegenden definiert Banach -Raum, was sie in verwandeln Banach -Algebren. Wenn auch eine Involution gegeben wird, erhalten wir B*-Algebras und C*-Algebras. Diese werden in untersucht Funktionsanalyse.

Nicht assoziative Algebra

A Nicht assoziative Algebra^[3] (oder Verteilungsalgebra) über einem Feld K ist ein K-Vektorraum A ausgestattet mit a K-bilineare Karte ${\ displayStyle a \ mal a \ rightarrow a}$. Die Verwendung von "nicht assoziativ" hier soll vermitteln, dass die Assoziativität nicht angenommen wird, aber es bedeutet nicht, dass sie verboten ist-das heißt "nicht unbedingt assoziativ".

Beispiele, die im Hauptartikel aufgeführt sind, umfassen:

• Euklidischer Raum R³ mit der Multiplikation durch die Vektorkreuzprodukt
• Oktonionen
• Lügen Sie Algebren
• Jordan Algebren
• Alternative Algebren
• Flexible Algebren
• Power-Associativ-Algebren

Algebren und Ringe

Die Definition eines assoziativen K-Algebra mit Einheit wird auch häufig auf alternative Weise angegeben. In diesem Fall eine Algebra über ein Feld K ist ein Ring A zusammen mit a Homomorphismus Ring

${\ displaystyle \ eta \ colon k \ bis z (a),}$

wo Z(A) ist der Center von A. Seit η ist ein Ring -Homomorphismus, dann muss man das haben A ist der Null Ring, oder das η ist injektiv. Diese Definition entspricht der oben genannten, mit skalarer Multiplikation

${\ displayStyle k \ mal a \ bis a}$

gegeben durch

${\ displayStyle (k, a) \ mapsto \ eta (k) a.}$

Angesichts von zwei solchen assoziativen Unentschieden K-Algebas A und B, ein Unenthalt K-Algebra Homomorphismus f: A → B ist ein Ring -Homomorphismus, der mit der skalaren Multiplikation durch Pendelung durchführt η, welches als schreiben kann als

${\ displayStyle f (ka) = kf (a)}$

für alle ${\ displayStyle k \ in k}$ und ${\ displayStyle a \ in a}$. Mit anderen Worten, das folgende Diagramm pendelt:

$oder {matrix}} && b \ end {matrix}}}$

Strukturkoeffizienten

Für Algebren über ein Feld die bilineare Multiplikation von A × A zu A wird vollständig durch die Multiplikation von bestimmt Basis Elemente von A. Umgekehrt einmal eine Grundlage für A Wurde ausgewählt, können die Produkte von Basiselementen willkürlich festgelegt und dann auf einzigartige Weise auf einen bilinearen Betreiber ausgedehnt werden A, d.h.

Daher angesichts des Feldes K, jede endlichdimensionale Algebra kann angegeben werden bis zu Isomorphismus durch Geben Abmessungen (sagen n) und angeben n³ Strukturkoeffizienten c_i,j,k, welche sind Skalare. Diese Strukturkoeffizienten bestimmen die Multiplikation in A über die folgende Regel:

$oder }}$

wo e₁, ...,e_n bilden eine Grundlage von A.

Beachten Sie jedoch, dass verschiedene Sätze von Strukturkoeffizienten zu isomorphen Algebren führen können.

Im Mathematische PhysikDie Strukturkoeffizienten werden im Allgemeinen mit oberen und unteren Indizes geschrieben, um ihre Transformationseigenschaften unter Koordinatentransformationen zu unterscheiden. Insbesondere sind niedrigere Indizes Kovariante Indizes und transformieren Sie über Rückzieher, während obere Indizes sind kontravariant, verwandeln unter Pushforwards. Somit werden die Strukturkoeffizienten häufig geschrieben c_i,j^kund ihre definierende Regel wird mit dem geschrieben Einstein Notation wie

e_ie_j = c_i,j^ke_k.

Wenn Sie dies an Vektoren anwenden, die geschrieben wurden Indexnotationdann wird das

(xy)^k = c_i,j^kxⁱy^j.

Wenn K ist nur ein kommutativer Ring und kein Feld, dann funktioniert der gleiche Prozess, wenn A ist ein Kostenloses Modul Über K. Wenn dies nicht der Fall ist, wird die Multiplikation immer noch vollständig durch seine Aktion auf einem Satz bestimmt, der sich erstreckt A; Die Strukturkonstanten können jedoch in diesem Fall nicht willkürlich angegeben werden, und nur die Strukturkonstanten gibt die Algebra nicht bis zum Isomorphismus an.

Klassifizierung von niedrigdimensionalen, nicht vital assoziativen Algebren über die komplexen Zahlen

Zweidimensionale, dreidimensionale und vierdimensionale unenträftige assoziative Algebren über das Gebiet der komplexen Zahlen wurden vollständig auf Isomorphismus eingestuft Eduard -Studie.^[4]

Es gibt zwei solcher zweidimensionalen Algebren. Jede Algebra besteht aus linearen Kombinationen (mit komplexen Koeffizienten) von zwei Basiselementen, 1 (das Identitätselement) und a. Gemäß der Definition eines Identitätselements,

$oder$

Es bleibt zu spezifizieren

${\ displaystyle \ textstyle aa = 1}$ für die erste Algebra,

${\ displaystyle \ textstyle aa = 0}$ für die zweite Algebra.

Es gibt fünf solcher dreidimensionalen Algebren. Jede Algebra besteht aus linearen Kombinationen von drei Basiselementen, 1 (das Identitätselement). a und b. Unter Berücksichtigung der Definition eines Identitätselements reicht es aus, festzulegen

$oder$ für die erste Algebra,

$oder$ für die zweite Algebra,

$oder$ für die dritte Algebra,

$oder$ für die vierte Algebra,

$oder$ für die fünfte Algebra.

Das vierte dieser Algebren ist nicht kommutativ und die anderen sind kommutativ.

Verallgemeinerung: Algebra über einem Ring

In einigen Bereichen der Mathematik, wie z. kommutative AlgebraEs ist üblich, das allgemeinere Konzept von einem zu betrachten Algebra über einem Ring, wo ein kommutatives Unenthaltsring R ersetzt das Feld K. Der einzige Teil der Definition, der sich ändert A wird als ein angenommen R-Modul (anstelle eines Vektorraums über K).

Assoziative Algebren über Ringe

A Ring A ist immer eine assoziative Algebra über ihre Centerund über die Ganzzahlen. Ein klassisches Beispiel für eine Algebra über ihr Zentrum ist die Split-Biquaternion-Algebra, was isomorph ist ${\ displaystyle \ mathbb {h} \ times \ mathbb {h}}$, das direkte Produkt von zwei Quaternionalgebren. Das Zentrum dieses Rings ist ${\ displaystyle \ mathbb {r} \ times \ mathbb {r}}$und daher hat es die Struktur einer Algebra über seinem Zentrum, das kein Feld ist. Beachten Sie, dass die Split-Biquaternion-Algebra natürlich auch eine 8-dimensionale ist ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$-Algebra.

In kommutativen Algebra, wenn A ist ein Gewinnringdann jeder Unenthaltsring -Homomorphismus ${\ displayStyle r \ to a}$ definiert an R-modulstruktur auf A, und das ist das, was als das bekannt ist R-Algebra -Struktur.^[5] Ein Ring kommt also mit einem natürlichen ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$-Modulstruktur, da man den einzigartigen Homomorphismus einnehmen kann ${\ displayStyle \ mathbb {z} \ to a}$.^[6] Andererseits können nicht alle Ringe die Struktur einer Algebra über ein Feld erhalten (zum Beispiel den Ganzzahlen). Sehen Feld mit einem Element Für eine Beschreibung eines Versuchs, jedem Ring eine Struktur zu geben, die sich wie eine Algebra über ein Feld verhält.

Siehe auch

• Algebra über einen Operad
• Alternative Algebra
• Clifford Algebra
• Differentialalgebra
• Freie Algebra
• Geometrische Algebra
• Max-plus Algebra
• Mutation (Algebra)
• Operatoralgebra
• Zariskis Lemma

Anmerkungen

Verweise

• HaMewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Algebren, Ringe und Module. Vol. 1. Springer. ISBN 1-4020-2690-0.