Absolut unendlich

Das Absolut unendlich (Symbol: Ω) ist eine Erweiterung der Idee von Unendlichkeit vorgeschlagen von Mathematiker Georg Cantor.

Es kann als eine Zahl betrachtet werden, die größer ist als jede andere denkbare oder unvorstellbare Menge, entweder endlich oder transfinite.

Cantor verband das absolute Unendliche mit Gott,[1][2]: 175[3]: 556 und glaubte, dass es verschiedene hatte mathematisch Eigenschaften, einschließlich der Reflexionsprinzip: Jede Eigenschaft des absoluten Unendlichen wird auch von einem kleineren Objekt gehalten.[4][Klarstellung erforderlich]

Cantors Ansicht

Cantor sagte:

Das tatsächliche Unendliche wurde durch drei Beziehungen unterschieden: Erstens, wie es in der höchsten Perfektion in der völlig unabhängigen, extra weltlichen Existenz in Deo realisiert wird, wo ich es absolut unendlich oder einfach absolut nenne; zweitens in dem Maße, in dem es in der abhängigen, schöpferischen Welt dargestellt wird; Drittens kann es in Abstracto als mathematische Größe, Anzahl oder Ordnungstyp in Abstracto konzipiert werden. In den beiden letztgenannten Beziehungen, in denen es sich offensichtlich als begrenzt und für die weitere Verbreitung als begrenzt offenbart und damit dem Finite vertraut ist, nenne ich es es Transfinitum und kontrastieren Sie es stark mit dem Absoluten.[5]

Cantor erwähnte auch die Idee in seinen Briefen an Richard Dedekind (Text in quadratischen Klammern, die nicht in Original vorhanden sind):[7]

A Vielzahl wird genannt geordnet Wenn es die Bedingung erfüllt, dass jede Submultikität eine erste hat Element; Eine solche Multiplizität, die ich für ein kurzes "Sequenz" bezeichne.

...

Jetzt stelle ich mir das System aller [Ordnungs-] Zahlen vor und bezeichne es Ω.

...

Das System Ω In seiner natürlichen Reihenfolge ist nach Größe eine "Sequenz".
Lassen Sie uns nun 0 als zusätzliches Element dieser Sequenz angrenzen und sie offensichtlich in die erste Position platzieren; Dann erhalten wir eine Sequenz Ω ':

0, 1, 2, 3, ... ω0, ω0+1, ..., γ, ...
von denen man sich leicht davon überzeugen kann, dass jede in ihm auftretende Zahl γ der Typ [d. H. Ordertyp] der Sequenz aller seiner vorhergehenden Elemente (einschließlich 0) ist. (Die Sequenz Ω hat diese Eigenschaft zuerst für ω0+1. [ω0+1 sollte ω sein0.]))

Jetzt Ω ' (und damit auch Ω) kann keine konsistente Multiplizität sein. Für if Ω ' waren konsequent, dann als gut geordneter Satz als Zahl δ würde ihm entsprechen, was größer wäre als alle Zahlen des Systems Ω; die Nummer δgehört jedoch auch zum System Ω, weil es alle Zahlen umfasst. Daher δ wäre größer als δ, was ein Widerspruch ist. Deswegen:

Das System ω aller [ordinalen] Zahlen ist eine inkonsistente, absolut unendliche Multiplizität.

Das Burali-Forti-Paradoxon

Die Idee, dass die Sammlung aller Ordnungsnummern logisch nicht existieren kann, scheint paradox zu vielen. Dies hängt mit Cesare Burali-Fortis "Paradox" Was besagt, dass es nicht das größte geben kann Ordinalzahl. All diese Probleme können auf die Idee zurückgeführt werden, dass es für jede Eigenschaft, die logisch definiert werden kann, eine Reihe aller Objekte mit dieser Eigenschaft existiert. Wie in Cantors Argument (oben) führt diese Idee jedoch zu Schwierigkeiten.

Allgemeiner, wie von festgestellt wird A. W. MooreEs kann kein Ende des Prozesses von geben einstellen Bildung und damit keine Gesamtheit aller Sätze, oder der Setzen Sie Hierarchie. Eine solche Gesamtheit müsste selbst ein Set sein und so irgendwo in der liegen Hierarchie und damit nicht jeden Satz enthalten.

Eine Standardlösung für dieses Problem findet sich in Zermelos festgelegte Theorie, was die uneingeschränkte Bildung von Mengen aus willkürlichen Eigenschaften nicht zulässt. Vielmehr können wir die Menge aller Objekte bilden, die eine bestimmte Eigenschaft haben und in einem bestimmten Satz liegen (Zermelo Axiom der Trennung). Dies ermöglicht die Bildung von Mengen, die auf Eigenschaften basieren, in begrenztem Sinne, während (hoffentlich) die Konsistenz der Theorie bewahrt.

Während dies das logische Problem löst, könnte man argumentieren, dass das philosophische Problem bleibt. Es scheint natürlich, dass eine Reihe von Individuen existieren sollte, solange die Individuen existieren. In der Tat, Naive Set -Theorie Könnte gesagt werden, dass sie auf diesem Begriff basieren. Obwohl Zermelos Fix a Klasse um willkürliche (möglicherweise "große") Entitäten zu beschreiben, diese Prädikate der Meta-Sprache kann in der Theorie keine formale Existenz (d. H. Wie ein Satz) haben. Zum Beispiel wäre die Klasse aller Sätze a richtige Klasse. Dies ist für einige philosophisch unbefriedigend und hat zusätzliche Arbeiten motiviert Mengenlehre und andere Methoden zur Formalisierung der Grundlagen der Mathematik wie z. Neufundamente durch Willard Van Orman Quine.

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ §3.2, Ignacio Jané (Mai 1995). "Die Rolle des absoluten Unendlichen in Cantors Konzeption von Set". Erkenntnis. 42 (3): 375–402. doi:10.1007/bf01129011. JStor 20012628. Cantor (1) nahm das Absolute als Manifestation Gottes an [...] Wenn das Absolute zum ersten Mal in Grundlagen eingeführt wird, ist es mit Gott verbunden: "Der wahre Unendliche oder Absolute, der in Gott ist, gibt keine Art von Entschlossenheit zu "(Cantor 1883b, S. 175) Dies ist keine zufällige Bemerkung, denn Cantor ist sehr explizit und beharrlich in Bezug auf die Beziehung zwischen dem Absoluten und Gott.
  2. ^ a b c Georg Cantor (1932). Ernst Zermelo (Hrsg.). Gesamnen -Abhandlungen -Mathematischen und Philosophische Inhalationen. Berlin: Verlag von Julius Springer. Zitiert als Cantor 1883b von Jané; mit Biographie von Adolf Fraenkel; Nachdruck Hildesheim: Georg Olms, 1962 und Berlin: Springer-Verlag, 1980,, ISBN3-540-09849-6.
  3. ^ Georg Cantor (1883). "Ueber Unendliche, Lineare PunktmannichfaltigKeiten (5)". Mathematische Annalen. 21 (4): 545–591. Originaler Artikel.
  4. ^ Infinity: Neue Forschung und Grenzen von Michael Heller und W. Hugh Woodin (2011), p. 11.
  5. ^ https://www.uni-sigen.de/fb6/phima/lehre/phima10/quellentexte/handout-phima-teil4b.pdf
    Übersetzter Zitat vom Deutsch:

    Es wurde Das Aktual-unendliche (a-u.) Nachdei Beziehungen Interschiden: Erstens, Sofern es in der Höchsten vollkompenheit, im völlig unabhängigen außen, ohne Unabhängigkeit, ohne Absolut, in deren Absolut, in deren Absolut, in deren Absolut, in deren Absolut, in deren Absolut, in deren Absolut, in deren Absolut, in deren Absolut, in deren Absolut, in deren Absolut, in deren Absolut, wo-iga es, in der Unordnung, in der Unordnung, in der Unordnung, in der Unordnung, in der Unordnung, in der Unordnung, in der Unordnung, in der Unordnung, in der Unordnung, in der Unordnung, in der Unordnung, in dem, wo-iga ese, in der unnöten, wost, wo-iga es, in der uth-änder änder, wob Zweitens, Sofern ES in Der Abhängigen, Kreatürschen Welt Vertreten ist; Drittens, Sofern es als Mathematische Grö In den labten Beziehungen, der Offenbar, die Beziehungen, der Offenbar-BEISCHE-BEZRUNKTES, NOCH WERPERER VERMEHRUNG FEHIGES UNDERFENT DEIDEND DELDLICHEN VERWANDTES A.-U. Sich Dartellt, Nenne ICH ES Transfinitum UND SETZE ES Dem Absoluten Strengsten entgegen.

    [Ca-a,[2] p. 378].
  6. ^ Die Wiederentdeckung der Korrespondenz von Cantor-Dedekind, I. Grattan-Guinness, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 76 (1974/75), S. 104–139, bei S. 126 ff.
  7. ^ GeAsammelte Abhandlungen,[2] Georg Cantor, hrsg. Ernst Zermelo, Hildesheim: Georg Olms Verlagsbuchhandling, 1962, S. 443–447; ins Englische übersetzt in Von Frege nach Gödel: Ein Quellbuch in der mathematischen Logik, 1879-1931, ed. Jean van Heijenoort, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1967, S. 113–117. Diese Referenzen geben beide an, ein Brief von Cantor an Dedekind vom 28. Juli 1899 zu sein Ivor Grattan-Guinness hat herausgefunden,[6] Dies ist in der Tat eine Verschmelzung durch Cantors Herausgeber. Ernst Zermelovon zwei Briefen von Cantor nach Dedekind, dem ersten vom 28. Juli und dem zweiten vom 3. August.

Literaturverzeichnis