APX
Im Computerkomplexitätstheorie, die Klasse APX (Eine Abkürzung von "überzeugend") ist der Satz von von Np Optimierungsprobleme das erlaubt Polynomzeit Näherungsalgorithmen mit dem Annäherungsverhältnis, der durch eine Konstante begrenzt ist (oder Algorithmen mit konstanter Faktor-Approximation kurz). In einfachen Worten haben Probleme in dieser Klasse effizient Algorithmen Dies kann eine Antwort in einem festen multiplikativen Faktor der optimalen Antwort finden.
Ein Annäherungsalgorithmus wird als eine genannt -Approximationsalgorithmus für die Eingangsgröße Wenn nachgewiesen werden kann, dass die Lösung, die der Algorithmus findet, höchstens ein multiplikativer Faktor von ist Zeiten schlechter als die optimale Lösung. Hier, wird genannt Annäherungsverhältnis. Probleme in APX sind solche mit Algorithmen, für die das Approximationsverhältnis ist eine Konstante . Das Annäherungsverhältnis wird herkömmlich von mehr als 1 angegeben. Bei Minimierungsproblemen,, ist die Punktzahl der gefundenen Lösung geteilt durch die Punktzahl der optimalen Lösung, während für Maximierungsprobleme das Gegenteil der Fall ist. Für Maximierungsprobleme, bei denen eine minderwertige Lösung eine kleinere Punktzahl hat, wird manchmal als weniger als 1 angegeben; In solchen Fällen der Gegenstand von ist das Verhältnis der Punktzahl der gefundenen Lösung zur Bewertung der optimalen Lösung.
Ein Problem soll eine haben Polynom-Zeit-Näherungsschema (PTAs) wenn wegen jeder Multiplikativer Faktor des Optimums schlechter als 1 Es gibt einen Polynom-Zeit-Algorithmus, um das Problem innerhalb dieses Faktors zu lösen. Wenn nicht P = np Es gibt Probleme, die in APX sind, jedoch ohne PTAs, sodass die Klasse der Probleme mit einem PTAs in APX streng enthalten ist. Ein solches Problem ist das Packungsproblem.
APX-Hartness und APX-Vervollständigung
Ein Problem soll sein APX-HARD Wenn da ein ... ist PTA -Reduktion von jedem Problem in APX bis zu diesem Problem und zu sein APX-Complete Wenn das Problem APX-Hard und auch in APX ist. Als Folge von p ≠ np ⇒ ptas ≠ apx, wenn p ≠ np angenommen wird, hat kein APX-HART-Problem ein PTAs. In der Praxis wird das Verringern eines Problems auf ein anderes zur Nachweis der APX-Vervollständigung wird häufig unter Verwendung anderer Reduktionsschemata durchgeführt, wie z. L-Reduktionen, die PTA -Reduktionen implizieren.
Beispiele
Eines der einfachsten APX-Complete-Probleme ist Max-3SAT-3, eine Variation der Boolesche Zufriedenheitsproblem. In diesem Problem haben wir eine boolesche Formel in Konjunktive normale Form wobei jede Variable höchstens dreimal erscheint und wir die maximale Anzahl von Klauseln kennen, die gleichzeitig durch eine einzige Zuordnung von wahren/falschen Werten zu den Variablen erfüllt werden können.
Andere APX-Complete-Probleme umfassen:
- Max Independent Set In Gradgradegräbchen (hier hängt das Annäherungsverhältnis vom maximalen Grad des Diagramms ab, ist jedoch konstant, wenn der maximale Grad festgelegt ist).
- Min -Scheitelpunktabdeckung. Die Ergänzung eines maximalen unabhängigen Satzes muss eine Scheitelpunktabdeckung sein.
- Min -dominierende Set in Gradgradegrafiken.
- Das Problem mit reisenden Verkäufern Wenn die Entfernungen in der Grafik die Bedingungen von a erfüllen metrisch. TSP ist NPO-Complete im allgemeinen Fall.
- Das Token -Rekonfiguration Problem, via L-Reduktion Aus Set -Cover.
Verwandte Komplexitätsklassen
PTAs
PTAs (Polynomzeitnäherungsschema) besteht aus Problemen, die sich innerhalb eines konstanten Faktors außer 1 in der Zeit angenähert, die der Eingangsgröße polynomisch ist, aber das Polynom hängt von solchen Faktoren ab. Diese Klasse ist eine Teilmenge von APX.
APX-Intermediate
Wenn nicht P = npEs gibt Probleme in APX, die weder in PTAs noch APX-Complete sind. Solche Probleme können als Härte zwischen PTA-Problemen und APX-Complete-Problemen angesehen werden und können aufgerufen werden APX-Intermediate. Das Packungsproblem wird als APX-Intermediate angesehen. Obwohl das Bin Packing-Problem nicht bekannt ist, hat es mehrere "asymptotische PTAs" -Algorithmen, die sich wie ein PTAs verhalten, wenn die optimale Lösung groß ist. Intuitiv kann es einfacher sein als Probleme, die APX-HART sind.
Ein weiteres Beispiel für ein potenziell APX-Intermediate-Problem ist Minkendfärbung.
f (n) -apx
Man kann auch eine Familie von Komplexitätsklassen definieren -Apx, wo -APX enthält Probleme mit einem Polynomzeitnäherungsalgorithmus mit a Annäherungsverhältnis. Man kann analog definieren -APX-Complete-Klassen; Einige solcher Klassen enthalten bekannte Optimierungsprobleme. Log-APX-Vervollständigung und Poly-APX-Vervollständigung sind in Bezug auf die AP-Reduktionen eher als Ptas-Reduktionen; Dies liegt daran, dass PTAS-Reduktionen nicht stark genug sind, um die Mitgliedschaft in Log-APX und Poly-APX zu erhalten, obwohl sie für APX ausreichen.
Log-APX-Complete, bestehend aus den schwierigsten Problemen, die in einem Faktor logarithmisch in der Eingangsgröße effizient angenähert werden können, einschließlich Min -dominierende Set Wenn der Abschluss unbegrenzt ist.
Poly-APX-Complete, bestehend aus den schwierigsten Problemen, die in einem Faktorpolynom in der Eingangsgröße effizient angenähert werden können Max Independent Set im allgemeinen Fall.
Es gibt auch Probleme, die exp-apx-komplett sind, wobei das Approximationsverhältnis in der Eingangsgröße exponentiell ist. Dies kann auftreten, wenn die Näherung vom Wert der Zahlen innerhalb der Probleminstanz abhängt. Diese Zahlen können in Raum logarithmisch in ihrem Wert ausgedrückt werden, daher der exponentielle Faktor.
Siehe auch
- Annäherungsrückverringerung
- Komplexitätsklasse
- Näherungsalgorithmus
- Max/min CSP/ONES -Klassifizierungssätze - Eine Reihe von Theoremen, die die mechanische Klassifizierung von Problemen in Bezug
- Maxsnp - Eine eng verwandte Unterklasse
Verweise
- Komplexitätszoo: APX
- C. Papadimitriou und M. Yannakakis. Optimierung, Näherung und Komplexitätsklassen. Journal of Computer and System Sciences, 43: 425–440, 1991.
- Pierluigi Crescenzi, Viggo Kann, Magnús Halldórsson, Marek Karpinski und Gerhard Woeginger. Maximale Erfüllbarkeit Archiviert 2007-04-13 bei der Wayback -Maschine. Ein Kompendium von NP -Optimierungsproblemen Archiviert 2007-04-05 am Wayback -Maschine.